《2024届高考数学专项破解离心率问题之建立齐次式和几何化含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届高考数学专项破解离心率问题之建立齐次式和几何化含答案.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1破解离心率问题之建立齐次式和几何化破解离心率问题之建立齐次式和几何化一选择题(共9小题)一选择题(共9小题)1 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率为()A.63B.2 33C.12D.222 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，且PF1=3F1Q，若PF2垂直于x轴，则椭圆C的离心率为()A.13B.12C.33D.323 设F1，F2分别是双曲线C:
2、x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为()A.125B.135C.132D.134 如图，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且F2Q=2F1P，则双曲线的离心率为()2024届高考数学专项破解离心率问题之建立齐次式和几何化2A.102B.173C.394D.3755设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2若曲线上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=5:4:2，则曲线的
3、离心率等于()A.43或12B.43或34C.2或47D.43或476设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，AF2x轴，若|AF1|，|AF2|，|F1F2|成等差数列，则椭圆的离心率为()A.13B.19C.2 23D.247如图，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且F1P=13F2Q，则双曲线的离心率为()A.102B.173C.394D.3758如图，已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲
4、线的右焦点，且满足AFBF，设ABF=，且12,6，则该双曲线离心率e的取值范围为()3A.2,3+1B.3,2+3C.2,2+3D.3,3+19已知在菱形ABCD中，BCD=60，曲线C1是以A，C为焦点，且经过B，D两点的椭圆，其离心率为e1；曲线C2是以A，C为焦点，渐近线分别和AB，AD平行的双曲线，其离心率为e2，则e1e2=()A.12B.33C.1D.2 33二多选题二多选题(共共1 1小题小题)10已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)，双曲线N:x2m2-y2n2=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是()A
5、.椭圆的离心率e=3-1B.双曲线的离心率e=2C.椭圆上不存在点A使得AF1 AF2 0D.双曲线上存在点B使得BF1 BF2 b0)，双曲线N:x2m2-y2n2=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M与双曲线N的离心率之积为12如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且OT=3OM 则该椭圆的离心率为13如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0
6、)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是414如图，在平面直角坐标系xOy中，F为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一个交点为D，且直线CD的斜率为12，则该椭圆的离心率为15如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点，点B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB=45，则椭圆E的离心率等于ABCOxy16已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，过F1的直线l与圆x2+y2=a2相切，且与双曲线的两渐近线分别
7、交于点A，B，若(F2A+F2B)AB=0，则该双曲线C的离心率为17已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O:x2+y2=c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，且有|F2A|=a，AB=23AF2，则双曲线C的离心率是18设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=6:5:4，则曲线C的离心率等于19已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支上有一点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足AF BF=0，且ABF=6，则双曲线的离心率e的
8、值是1破解离心率问题之建立齐次式和几何化破解离心率问题之建立齐次式和几何化一选择题一选择题(共共9 9小题小题)1如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率为()A.63B.2 33C.12D.22【解答】解：设右焦点F(c,0)，将y=b2代入椭圆方程可得x=a1-b24b2=32a，可得B-32a，b2，C32a，b2，由BFC=90，可得kBFkCF=-1，即有b2-32a-cb232a-c=-1，化简为b2=3a2-4c2，由b2=a2-c2，即有3c2=2a2，由e=ca，可得e
9、2=c2a2=23，可得e=63，故选：A2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，且PF1=3F1Q，若PF2垂直于x轴，则椭圆C的离心率为()A.13B.12C.33D.322【解答】解：设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，设P(m,n)，n0，由PF2垂直于x轴可得m=c，由n2=b21-c2a2=b4a2，可得n=b2a，设Q(s,t)，由PF1=3F1Q，可得-c-c=3(s+c)，-b2a=3t，解得
10、s=-53c，t=-b23a，将Q-53c，-b23a代入椭圆方程可得259c2a2+b29a2=1，即25c2+a2-c2=9a2，即有a2=3c2，则e=ca=33，故选：C3设F1，F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为()A.125B.135C.132D.13【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，由题意可得2m=3n，由双曲线的定义可得m-n=2a，由勾股定理可得m2+n2=4(a2+b2)，联立消去m，n，可得：36a2+16a2
11、=4a2+4b2，即b2=12a2，则e=ca=1+b2a2=1+12=13，故选：D4如图，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且F2Q=2F1P，则双曲线的离心率为()A.102B.173C.394D.375【解答】解：设F1(-c,0)，F2(c,0)，3由x2+y2=a2+b2=c2x2a2-y2b2=1 整理可得：(b2+a2)x2=a2c2+a2b2，即c2x2=a2(a2+b2)+a2b2=a2(a2+2b2)，因为点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第二象限的一个
12、交点，所以xp=-a a2+2b2c，y2=c2-x2=c2-a2c2+a2b2c2=c4-a2c2-a2b2c2=c2(c2-a2)-a2b2c2=(c2-a2)b2c2=b4c2，所以点P坐标为-a a2+2b2c,b2c，设点Q(m,n)，则F1P=c-a a2+2b2c,b2c，F2Q=(m-c,n)，由F2Q=2F1P 可得2c-2a a2+2b2c=m-cn=2b2c，所以m=3c-2a a2+2b2cn=2b2c，因为点Q(m,n)在双曲线x2a2-y2b2=1上，所以3c-2a a2+2b2c2a2-2b2c2b2=1，整理可得：9c2a2-12 b2+c2a+4(b2+c2)
13、c2-4b2c2=1，所以9c2a2=12 b2+c2a-3，即3c2a2+1=4 b2+c2a，两边同时平方可得：9c4a4+6c2a2+1=16b2+16c2a2=16c2-16a2+16c2a2=32c2a2-16，所以9c4a4-26c2a2+17=0，即9e4-26e2+17=0，(9e2-17)(e2-1)=0，可得：e2=179或e2=1(舍)，所以e=173，故选：B5设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2若曲线上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=5:4:2，则曲线的离心率等于()A.43或12B.43或34C.2或47D.43或47【解答】解：由题意可设：|PF
14、1|=5t，|F1F2|=4t，|PF2|=2t(t0)当圆锥曲线为椭圆时，2c=|F1F2|=4t，2a=|PF1|+|PF2|=7t离心率e=ca=47；当圆锥曲线为双曲线时，2c=|F1F2|=4t，2a=|PF1|-|PF2|=3t，离心率e=ca=43综上可知，圆锥曲线的离心率为43或47故选：D6设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，AF2x轴，若|AF1|，|AF2|，|F1F2|成等差数列，则椭圆的离心率为()A.13B.19C.2 23D.244【解答】解：|AF1|，|AF2|，|F1F2|成等差数列，2|AF2|=|AF1|+|F1F2|
15、，由椭圆定义可得，|AF1|+|AF2|=2a，|AF2|=b2a，|AF1|=2a-b2a，4c2+b2a2=2a-b2a4，2b2a=2a-b2a+2c，可得3e2+2e-1=0，所以椭圆的离心率e=13；故选：A7如图，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且F1P=13F2Q，则双曲线的离心率为()A.102B.173C.394D.375【解答】解：F1(-c,0)，F2(c,0)，联立x2+y2=a2+b2=c2x2a2-y2b2=1，解得x2=(a2+2b2)a2c2y2=
16、b4c2，P在第二象限，P-aca2+2b2,b2c，设Q(m,n)，则F1P=c-aca2+2b2,b2c，F2Q=(m-c,n)，由F1P=13F2Q，得13(m-c)=c-a a2+2b2c，13n=b2c，m=4c-3a a2+2b2c，n=3b2c，又m2a2-n2b2=1，16c2a2-24 c2+b2a+9(c2+b2)c2-9b2c2=1，化简得：4c4a4-14c2a2+10=0，即2e4-7e2+5=0，解得：e2=52或e2=1(舍)可得e=102(e1)故选：A58如图，已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦
17、点，且满足AFBF，设ABF=，且12,6，则该双曲线离心率e的取值范围为()A.2,3+1B.3,2+3C.2,2+3D.3,3+1【解答】解：在RtABF中，|OF|=c，|AB|=2c，在直角三角形ABF中，ABF=，可得|AF|=2csin，|BF|=2ccos，取左焦点F，连接AF，BF，可得四边形AFBF为矩形，|BF|-|AF|=|AF|-|AF|=2c|cos-sin|=2a，e=ca=1|cos-sin|=12 cos+4，126,3+4512，cos+46-24,12 ,2 cos+43-12,22 ，e 2,3+1，故选：A9已知在菱形ABCD中，BCD=60，曲线C1是
18、以A，C为焦点，且经过B，D两点的椭圆，其离心率为e1；曲线C2是以A，C为焦点，渐近线分别和AB，AD平行的双曲线，其离心率为e2，则e1e2=()A.12B.33C.1D.2 33【解答】解：BCD=60，BCA=30，设OB=1，则BC=2，OC=3，椭圆C1是以A，C为焦点，且经过B，D两点的椭圆，c=OC=3，2a=BA+BC=2+2=4，得a=2，则椭圆的离心率为e1=ca=32，则双曲线C2是以A，C为焦点渐近线分别和AB，AD平行的双曲线，则双曲线中c=OC=3，AB的斜率k=tan30=33，即ba=33，则b2a2=13，即c2-a2a2=c2a2-1=13，得e22=13
19、+1=43，则e2=43=23，6则e1e2=3223=1，故选：C二多选题二多选题(共共1 1小题小题)10已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)，双曲线N:x2m2-y2n2=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是()A.椭圆的离心率e=3-1B.双曲线的离心率e=2C.椭圆上不存在点A使得AF1 AF2 0D.双曲线上存在点B使得BF1 BF2 b0)，双曲线N:x2m2-y2n2=1，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆的右焦点坐标(c,0)，则正六边形的一个顶点c2
20、,3c2，对于A将c2,3c2代入椭圆方程，得：c24a2+3c24b2=1，结合e1=ca,a2=b2+c2，可得e41-8e21+4=0，因为e1(0,1)，解得e1=3-1，故A正确；对于 B把c2,3c2代入双曲线的渐近线方程 y=nmx(不妨设 m 0，n 0)，得32c=nm12c，所以nm=3，则双曲线的离心率e2=1+nm2=2，故B正确；对于C当A点是短轴的端点时，F1AF2最大，由ca=3-1，得c2a2=4-2 3，又c2=a2-b2，从而可得b2a2=2 3-3，c2b2=4-2 32 3-3=2 331，所以cb，则12F1AF24，即F1AF22，所以AF1 AF2
21、 0，故C错误；对于D当B点在实轴的端点时，向量BF1 与向量BF2 夹角为，此时，BF1 BF2 b0)，双曲线N:x2m2-y2n2=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M与双曲线N的离心率之积为2(3-1)【解答】解：不妨设m，n0，可设椭圆的焦点坐标F(-c,0)，C(c,0)，7正六边形的一个顶点B12c，32c，由|FB|+|CB|=2a，即c+3c=2a，解得椭圆的e1=ca=23+1=3-1；双曲线的渐近线的斜率为tan60=3，即nm=3，可得双曲线的离心率为e2=1+n2m2=1+3=2即有椭圆M与双曲线N的离心率之积为
22、2(3-1)故答案为：2(3-1)12如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且OT=3OM 则该椭圆的离心率为 5-172【解答】解：直线A1B2的方程为y=bax+b，直线B1F的方程为y=bcx-b，联立方程组y=bax+by=bcx-b，解得T2aca-c，ab+bca-cOT=3OM，M2ac3(a-c)，ab+bc3(a-c)，8把M代入椭圆方程得：4a2b2c29(a-c)2+a2b2(a+c)29(a-c)2=a2b2，即4c2+(a+c)
23、2=9(a-c)2，化简得：2a2+c2-5ac=0，e2-5e+2=0，解得e=5-172或e=5+172(舍去)故答案为：5-17213如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是 5-12【解答】解：F(c,0)，A(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)，FB2=(-c,b)，B1A=(a,b)，B2FAB1，FB2 B1A=-ac+b2=0，a2-c2-ac=0，化为：e2+e-1=0，0eb0)的右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一个交
24、点为D，且直线CD的斜率为12，则该椭圆的离心率为22【解答】解：由题意可得B(0,b)，C(0,-b)，F(c,0)，由直线BF的方程bx+cy=bc代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，消去y，可得x=2a2ca2+c2，y=b(c2-a2)c2+a2，即为D2a2ca2+c2，b(c2-a2)c2+a2，9直线CD的斜率为12，可得b(c2-a2)+b(c2+a2)2a2c=12，即有a2=2bc，由a2=b2+c2，可得b=c=22a，即e=ca=22故答案为：2215如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点，点B、C在椭圆上，若四边形
25、OABC为平行四边形，且OAB=45，则椭圆E的离心率等于 63 ABCOxy【解答】解：AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，BCOA，则B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，B、C两点是关于y轴对称的由题知：OA=a四边形OABC为平行四边形，则BC=OA=a，可设B-a2，yCa2，y，代入椭圆方程解得：|y|=32b，设D为椭圆的右顶点，由于OAB=45，四边形OABC为平行四边形，则COx=45，对C点：tan45=32ba2=1，解得a=3b，根据a2=c2+b2得a2=c2+13a2，即有c2=23a2，e2=23，即e=63故答案为：6316已知F1，F
26、2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，过F1的直线l与圆x2+y2=a2相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A，B，若(F2A+F2B)AB=0，则该双曲线C的离心率为3【解答】解：法1(代数法)：因为l与O:x2+y2=a2相切，所以直线斜率k=ab，10由对称性不妨考虑k=ab情形又双曲线C的渐近线方程为y=bax，则l垂直其中一条渐近线，故l与一渐近线的交点A，即为该渐近线与O在第二象限的交点，可得A-a2c,abc，如图，设AB中点为M，由(F2A+F2B)AB=0，即2F2M AB=0，则有F2Ml，又OAl，故OAF2M，且O为F1F2的中点，所以A为
27、F1M的中点，则A，M三等分F1B，由F1B=3F1A，得B3b2c-c,3abc，由B在另一渐近线y=bax上，即有3abc=ba3b2c-c，则c2=3a2，故离心率e=3法2(几何法)：设BOF2=，则AOB=-2，由题意易知|AF1|=b，|AB|=2b，在RtOAB中，tanAOB=tan(-2)=2ba，又tan=ba，则有-2ba1-ba2=2ba，即b2=c2-a2=2a2，故离心率e=3法3(参数方程法)：直线l的参数方程为x=-c+bcty=act(t为参数)，代入y=bax，可得B对应的参数tB=bc2b2-a2又A对应的参数tA=b，由(F2A+F2B)AB=0及l与O
28、:x2+y2=a2相切，可知F1B=3F1A，即tB=3tA，则bc2b2-a2=3b，则有c2=3a2，故离心率e=3故答案为：317已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A是圆O:x2+y2=c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，且有|F2A|=a，AB=23AF2，则双曲线C的离心率是62【解答】解：由|F2A|=a，AB=23AF2，可得|AB|=23a，|BF2|=13a，由双曲线的定义可得|BF1|=2a+13a=73a，在直角三角形ABF1中，|AF1|2=|BF1|2-|AB2=499a2-49a2=5a
29、2，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，11即为4c2=5a2+a2=6a2，则e=ca=62故答案为：6218设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=6:5:4，则曲线C的离心率等于12或52【解答】解：|PF1|:|F1F2|:|PF2|=6:5:4，|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，若圆锥曲线C是椭圆，则2a=4c，e=ca=12；若圆锥曲线C是双曲线，则e=2c2a=|F1F2|PF1|-|PF2|=56-4=52故答案为：12或5219已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支上有一点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足AF BF=0，且ABF=6，则双曲线的离心率e的值是1+3【解答】解：AF BF=0，可得AFBF，在RtABF中，|OF|=c，|AB|=2c，在直角三角形 ABF 中，ABF=6，可得|AF|=2csin6=c，|BF|=2ccos6=3c，取左焦点 F，连接AF，BF，可得四边形AFBF为矩形，|BF|-|AF|=|AF|-|AF|=3c-c=2a，e=ca=23-1=3+1故答案为：3+1