《北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期中考试数学含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期中考试数学含答案.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第1页/共4页 2023 北京海淀高三（上）期中 数 学 2023.11 本试卷共 6页，150分，考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合2Ax x=，1,2B=，则AB=(A)(),2 (B)(2,(C)1 (D)1,2 (2)若复数 z满足2i1 iz=+，则 z=(A)1 i (B)1i+(C)1 i (D)1i+(3)下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+上单调递增的
2、是(A)lnyx=(B)3yx=(C)tanyx=(D)2xy=(4)已知向量 a，b 满足)1(2a=，12()ab=，则a b=(A)-5 (B)0(C)5 (D)7(5)设等差数列 na的前 n 项和为nS，且515S=，则24a a的最大值为(A)94 (B)3(C)9 (D)36(6)设4log 6a=，2log 3b=，32c=，则(A)abc (B)cba (C)bac (D)bca (7)“sintan0+”是“为第一或第三象限角”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)在ABC中，sinsin2BA=，2ca=，则|
3、第2页/共4页 (A)B为直角 (B)B为钝角(C)C为直角 (D)C为钝角(9)古典吉他的示意图如图所示.0A，B 分别是上弦枕、下弦枕，121(9)iiA=，是第i品丝.记ia为iA与1iA 的距离，iL为iA与0A的距离，且满足1LiiXLaM=，i=1，2，19，其中LX为弦长(0A与 B 的距离)，M 为大于 1 的常数，并规定00L=.则(A)数列1219,a aa是等差数列，且公差为2LXM (B)数列1219,a aa是等比数列，且公比为1MM (C)数列1219,L LL是等比数列，且公比为21MM(D)数列1219,L LL是等差数列，且公差为2(1)LMXM(10)在等腰
4、直角三角形 ABC 中，AB=2，M 为斜边 BC 的中点，以 M 为圆心，MA 为半径作，点 P 在线段BC 上，点 Q在上，则APMQ+的取值范围是(A)010，(B)022+，(C)2201，(D)2222+，第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。(11)函数()()1lg1f xxx=+的定义域是_.(12)在平面直角坐标系xOy中，角 a 以 Ox为始边，终边经过点2(1)P，则tan2=_.(13)已知非零向量()12ax ee=+，12beye=+，其中1e，2e是一组不共线的向量.能使得 a 与 b 的方向相反的一组实数 x，y
5、 的值为 x=_，y=_.(14)已知函数()()2sinf xx=+的部分图象如图所不.函数()f x的最小正周期为_；将函数()f x的图象向右平移()0t t 个单位长度，得到函数()g x的图象.若函数()g x为奇函数，则 t 的最小值是_.第3页/共4页 (15)已知函数()22,2,.xa xaf xxax xa+=+给出下列四个结论:当 a=0 时，()f x的最小值为 0；当13a 时，()f x存在最小值;记()f x的零点个数为()g a，则函数()g a的值域为0312，;当1a 时，对任意12,x xR，()2121(2()2)xf xf xxf+其中所有正确结论的序
6、号是_.三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题 14 分)已知无穷等比数列 na的各项均为整数，其前 n 项和为nS，23a=，1310aa+=.(I)求 na的通项公式；(II)证明：对*12N,3,2,kkkkSSS+这三个数成等差数列.(17)(本小题 14 分)已知函数()2coscos()()2f xxx=+，从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x存在.(I)求的值；(II)求()f x在区间,02上的最大值和最小值.条件:()13f=；条件：函数()f x在区间0,4上是增函数；条件：2,()()3x
7、R f xf 注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.(18)(本小题 14 分)已知曲线2:4C yx=与 x 轴交于不同的两点 A，B(点 A 在点 B 的左侧)，点()0P t，在线段 AB 上(不与端点重合)，过点 P 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 Q.(I)若APQ为等腰直角三角形，求APQ的面积；(D)记APQ的面积为()S t，求()S t的最大值.第4页/共4页 (19)(本小题 14 分)某景区有一人工湖，湖面有 A，B 两点，湖边架有直线型栈道 CD，长为 50m，如图所示.现要测量 A，B 两点之间的距离，工作人
8、员分别在 C，D 两点进行测量，在 C 点测得45ACD=，30BCD=;在 D 点测得135ADB=，120BDC=.(A，B，C，D在同一平面内)(I)求 A，B 两点之间的距离；(n)判断直线 CD与直线 AB 是否垂直，并说明理由.(20)(本小题 14 分)已知函数()2xaf xxb+=+，且()114f=，()2419f=(I)求 a，b 的值；(II)求()f x的单调区间；(III)设实数 m 满足：存在kR，使直线ykxm=+是曲线()yf x=的切线，且()kxmf x+对0,)x+恒成立，求 m的最大值.(21)(本小题 15 分)设无穷数列 na的前 n 项和为nS，
9、ni为单调递增的无穷正整数数列，记1()12nnniiASSn+=，定义*N0,1,2,kjjSSkjj=+.(I)若2(12)nnanin n=，写出12AA，的值；(II)若11()()212nnan=，求;(III)设()1,0,sgn0,0,1,0.xxxx=求证：对任意的无穷数列 na，存在数列 ni，使得sgn()nA为常数列.高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 7 页）海淀区 20232024 学年第一学期期中练习 高三数学参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）B（2）A（3）D（4）C （5）C（6）D（7）C（8）C（9）B （10）
10、A 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）(1,0)(0,)（12）43（13）1 1（答案不唯一）（14）32 8（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 14 分）解：（）设等比数列na的公比为q.因为23a，1310aa，所以13aq，21110aaq 所以13,1,qa或11,39.qa 因为na均为整数，所以13,1.qa 所以13nna(1,2,3,)n （）由（）知，312nnS(1,2,3,)n 所以11131311 32323222kkkkkSS，2112131311 322222kkkkkSS 高三年级（数学）参考答案 第 2
11、页（共 7 页）所以1121132322kkkkkSSSS.所以3kS，12kS，2kS是以1132k为公差的等差数列（17）（共 14 分）解：选择条件：()13f.（）因为()2coscos()f xxx，所以2coscos()133，即cos()13.所以2()3kkZ.因为|2，所以3 （）由（）可得：()2coscos()3f xxx 132cos(cossin)22xxx 2132cossin222xx 131cos2sin2222xx 1cos(2)32x.因为,02x，所以42333x 所以当23x，即3x 时，cos(2)3x 取得最小值1.所以()f x在区间,02上的最小
12、值是12；当233x，即0 x 时，cos(2)3x 取得最大值12 所以()f x在区间,02上的最大值是1 高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 7 页）选择条件：x R，2()()3f xf.（）由题意得：()2coscos()f xxx 2cos(coscossinsin)xxx 22coscossin2sinxx cos2cossin2sincosxx cos(2)cosx.因为x R，2()()3f xf，所以()f x的最小值为2()3f，即4cos()13.所以4(21)2()33kkkZ.因为|2，所以3 （）同选择条件的（）.（18）（共 12 分）解：（）由题意令24
13、0 x得2x 所以(2,0)A，(2,0)B.因为点(,0)P t在线段AB上（不与端点重合），所以22t .因为APQ为等腰直角三角形，所以|PQAP.由题意可知点Q在x轴上方，所以(,2)Q t t 因为点Q在曲线C上，所以224tt.所以12t （舍），21t，即(1,3)Q.所以APQ的面积为119|3 3222AP PQ 高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 7 页）（）由题意可知2(,4)Q tt，22t .所以23211()(2)(4)(248)22S tttttt 所以21()(344)2S ttt.令23440tt，得12t ，223t ()S t与()S t在区间(2,
14、2)上的情况如下：t 2(2,)3 23 2(,2)3()S t 0 ()S t 极大值 因为2128()327S，所以当23t 时，()S t取得最大值12827（19）（共 13 分）解：（）连接AB.因为135ADB，120BDC，所以105ADC 因为45ACD，所以30CAD.在ACD中，sinsinCDADCADACD 所以2ADCD 因为30BCD，所以30DBC 所以BDCD.在ABD中，2222cos135ABADBDAD BD 25CD.因为50CD，高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 7 页）所以550 5ABCD，即A，B两点之间的距离为50 5 m.（）CD与A
15、B不垂直理由如下：延长CD交AB于点E.在ABD中，sinsinABADADBABD.所以51sin52ABD.因为090ABD，所以30ABD.所以18090BECCBEBCD.所以直线CD与直线AB不垂直 （20）（共 14 分）解：（）因为1(1)4f，2(4)19f，所以11,1422,1619abab 解得0,3.ab（）由（）得2()3xf xx 所以2221(3)22()(3)xxxxfxx 2223(1)2(3)xx x.令()0fx，得1x 当(0,1)x时，()0fx；当(1,)x时，()0fx.所以()f x的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1,).（）由（）可
16、知当1x 时，()f x取得最大值14.当14m 时，存在直线14y 是曲线()yf x在点1(1,)4处的切线，且1()4f x EDCBA高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 7 页）对0,)x恒成立，符合题意 当14m 时，设直线ykxm为曲线()yf x的切线，切点为00(,)xy，则000,1.4xy 所以000ymkx 取1mxk，则10 x.因为1121()03xf xx，10kxm，所以11()kxmf x，即存在1(0,)x，11()kxmf x，不符合题意.综上可知，m的最大值是14 （21）（共 15 分）解：（）19A,235A （）由题意知221()332nnS
17、.若j为奇数，则111()02jjjjSSa.所以 j 若j为偶数，则当1,2,kjj时，211211()()()()0322322jkjkkjSS .所以 j 所以|2,1,2,x xm m.（）（1）若为有限集，设其最大元素为m（若为空集，取0m），则当1,2,jmm时，存在kj满足0kjSS.令11im，1min*|,0nnnkiikkiSSN（1,2,n），则高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 7 页）10nnniiASS.所以 sgn()1nA（1,2,n）；（2）若为无限集，设12,jj，其中12jj，记1nnnjjBSS，则0nB（1,2,n）.若数列nB中只有有限项为正数，记max*|0nmnBN（若nB中没有正数项，取0m），则0m nB（1,2,n）令nm nij（1,2,n），则10nnniim nASSB（1,2,n）.所以 sgn()0nA（1,2,n）；若数列nB中有无穷项为正数，将这些项依次记为12,ttB B，其中12tt，则10nttnntjjBSS（1,2,n）.令nntij（1,2,n），则+1+1+11+=0ttnnnnnnnjjttttASSBBBB.所以 sgn()1nA（1,2,n）.综上所述，对任意的无穷数列 na都存在数列 ni，使得sgn()nA为常数列.