《2024届湖南金太阳高三10月联考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届湖南金太阳高三10月联考数学试题含答案.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷高三数学试卷注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡
2、一并交回4本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围一、选择题：本题共本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题:0,1px，333x，则 p 的否定是（）A0,1x，333x B0,1x，333x C0,1x，333x D0,1x，333x 2定义集合,xAxBz zA y
3、yB已知集合4,8A，1,2,4B，则AB的元素的个数为（）A3 B4 C5 D63已知函数 3132f xxxx的图象在0 xa a处的切线的斜率为 k a，则（）A k a的最小值为 6B k a的最大值为 6C k a的最小值为 4 D k a的最大值为 44已知某公司第 1 年的销售额为 a 万元，假设该公司从第 2 年开始每年的销售额为上一年的 1.2 倍，则该公司从第 1 年到第 11 年（含第 11 年）的销售总额为（参考数据：取111.27.43）A35.15a万元 B33.15a万元 C34.15a万元 D32.15a万元5设函数 f x的定义域为R，且1f x是奇函数，23
4、fx是偶函数，则（）A 00fB 40fC 50fD20f 2024届湖南金太阳高三10月联考数学试题含答案学科网（北京）股份有限公司6设0,2，0,2，且1tantancos，则（）A22 B22 C22 D227已知函数 cos12f xx，sin 46g xx，则“曲线 yf x关于直线xm对称”是“曲线 yg x关于直线xm对称”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件8对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣如图，在菱形 ABCD 中，120ABC，2AB，以菱形 ABCD 的四条边为直径向外作四个
5、半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若DPDADC ，则的最大值为（）A52 B3 C5 D32二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9已知函数 241lg4f xxx，则（）A f x的最小值为 1 Bx R，12ff xC92log 23ff D0.10.18119322ff10若正项数列 na是等差数列，且25a，则（）A当37a 时，715a B4a
6、的取值范围是5,15C当7a为整数时，7a的最大值为 29 D公差 d 的取值范围是0,511若函数 f x的定义域为 D，对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得121f xf x，则称学科网（北京）股份有限公司 f x为“A 函数”，则下列说法正确的是（）A函数 lnf xx是“A 函数”B已知函数 f x，1f x的定义域相同，若 f x是“A 函数”，则 1f x也是“A 函数”C已知 f x，g x都是“A 函数”，且定义域相同，则 f xg x也是“A 函数”D已知0m，若 sin xf xm，,2 2x 是“A 函数”，则2m 12定义在0,上的函数 f x的导函数为 fx，0f
7、 x 且 232xxfxf xfxf x恒成立，则（）A 11212122ffffffB0,a，函数 0f xayxxf x有极值C 11212122ffffffD0,a，函数 0f xayxxf x为单调函数三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13设向量,2ABxx 在向量3,4AC 上的投影向量为15AC，则x _14若0,2，1cos23，则sin3_15若关于 x 的不等式277xaa x的解集恰有 50 个整数元素，则 a 的取值范围是_，这 50个整数元素之和为_16如图，已知平面五边形 ABCDE 的周长为 12，若四边
8、形 ABDE 为正方形，且BCCD，则当BCD的面积取得最大值时，AB_学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知coscos2abbBAc（1）求tan A；（2）若17a，ABC的面积为2 2，求ABC的周长18（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PAAB，E，F，M 分别是 PB，CD，PD 的中点（1）证明：/EF平面 PAD（2）求平面
9、 AMF 与平面 EMF 的夹角的余弦值19（12 分）已知数列 na满足12312121223nnaaaaaaaaann（1）求 na的通项公式；（2）求数列nan的前 n 项和nS20（12 分）某商场在 6 月 20 日开展开业酬宾活动顾客凭购物小票从 620 这 15 个号码中依次不放回地抽取 2 个号码，第 1 个号码为 a，第 2 个号码为 b设 X 是不超过ba的最大整数，顾客将获得购物金额 X 倍的商场代金券（若0X，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用（1）已知某顾客抽到的 a 是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；（2）求 X 的数学期望21（12 分）以坐标原点为对称
10、中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点0,1C，83,55D（1）求椭圆的方程（2）设 P 是椭圆上一点（异于 C，D），直线 PC，PD 与 x 轴分别交于 M，N 两点，证明在 x 轴上存在两点学科网（北京）股份有限公司A，B，使得MB NA 是定值，并求此定值22（12 分）已知函数 1lnaxf xeax有两个零点1x，2x（1）求 a 的取值范围；（2）证明：122xxa高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案1A p 的否定是0,1x，333x 2B 因为4,8A，1,2,4B，所以1,2,4,8AB，故AB的元素的个数为 43C 221922 924fxxx，当且仅当419x 时，等号成
11、立，所以 k a的最小值为 44D 设第i i1,2,11年的销售额为ia万元，依题意可得数列 ii1,2,11a是首项为 a，公比为1.2 的等比数列，则该公司从第 1 年到第 11 年的销售总额为11111 1.21.21102.2210.27.433.151.aaaa万元5C 因为1fx是奇函数，所以11fxf x ，则 10f又23fx是偶函数，所以2323fxfx，所以 510ff6A 因为1tantancos，所以sinsin1coscoscos，所以sincoscossincos，即sinsin2又0,2，0,2，所以2，即22或2，即2（舍去）7A 令1112mkkZ，得111
12、2mkkZ，所以曲线 yf x关于直线1112xkkZ对称令22462mkkZ，得22124kmkZ，所以曲线 yg x关于直线22124kxkZ对称因为1112km mkZ真包含于学科网（北京）股份有限公司22124mkkmZ，所以“曲线 yf x关于直线xm对称”是“曲线 yg x关于直线xm对称”的充分不必要条件8A 如图，设DEkDA，DFkDC，设 P 是直线 EF 上一点，令DPxDEyDF，则1xy，k xyk因为 P 是四个半圆弧上的一动点，所以当 EF 与图形下面半圆相切时，取得最大值设线段 AB 的中点为 M，线段 AC 的中点为1O，连接 MP，连接1DO并延长使之与 E
13、F 交于点2O，过 M 作2MNDO，垂足为 N因为120ABC，2AB，所以11DO，1212132OOO NNOO NMP，则252DO 由DACDEF，得2152DODEkDADO，故的最大值为529ACD 21lg10lg1012f xx，A 正确因为当且仅当12x 时，f x取得最小值，且最小值为 1，所以 11f，所以 12ff x，B 错误因为9lg2lg210log 2lg9lg83，所以911log 226，又211326，且 f x在1,2上单调递减，在1,2上单调递增，所以92log 23ff，C 正确因为0.10.20.189331，所以0.10.1811193222，
14、所以，D 正确10ABC 当37a 时，公差2d，7347815aad，A 正确因为 na是正项等差数列，所以150ad，且0d，所以公差 d 的取值范围是0,5，D 错误因为452ad，所以4a的取值范围是5,15，B 正确7555,30ad，当7a为整数时，7a的最大值为 29，C 正确学科网（北京）股份有限公司11BD 对于选项 A，当11x 时，10f x，此时不存在2x，使得121f xf xA 不正确对于选项 B，由 f x，1f x的定义域相同，若 f x是“A 函数”，则对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得121f xf x，则对于任意1xD，都存在唯一的2xD，使得121
15、11f xf x，所以 1f x也是“A 函数”B 正确对于选项 C，不妨取 f xx，1g xx，0,x，令 12F xf xg xxx，则124F xF x，故 f xg x不是“A 函数”C 不正确对于选项 D，因为 sinf xmx，,2 2x ，是“A 函数”，所以sin0mx在,2 2 上恒成立又0m，所以10m，且12sinsin1mmxx，即对于任意1,2 2x ，都存在唯一的2,2 2x ，使得21sins1inmmxx，因为11sin1mxmm，所以1n1i1111smmmxmmm，由111111mmmm，解得2m D 正确12AD 设函数 10f xg xxxf x，则
16、23222220 xfxf xf xx fxxfxf xfxgxxf xxf x，所以 g x在0,上单调递减，B 错误，D 正确从而 12gg，即 12111122ffff，因为 0f x，所以 10f，20f，所以 11212122ffffff，C 错误，A 正确光速解法：取 0f xx x，满足 0f x 且 232xfxf xx fxf x，则学科网（北京）股份有限公司 11212122ffffff，0,a，函数 0f xayxxf x为单调函数131 向量,2ABxx 在向量3,4AC 上的投影向量为3825AB ACACxxACACAC ，则138525xx，解得1x 145 39
17、 因为0,2，所以20,，所以22 2sin21cos23，因为21cos22cos13，0,2，所以6cos3，3sin3，所以5 3sin3sin 2sin2 coscos2 sin91544,4357,58；925或 1625 不等式277xaa x等价于不等式70 xax当7a 时，70 xax的解集为，不合题意；当7a 时，70 xax的解集为,7a，则 50 个整数解为43，42，5，6，所以4443a ，这 50 个整数元素之和为436509252；当7a 时，70 xax的解集为7,a，则 50 个整数解为 8，9，56，57，所以5758a，这 50 个整数元素之和为8575
18、016252综上，a 的取值范围是44,4357,58，这 50 个整数元素之和为925或 162516273 178 过点 C 作CFBD，垂足为 F设0ABx x，则BDAEDEx，因为BCCD，所以3212ABBC，则362BCx由0BC，BCCDBD，得03x在BCF中，222223162183622CFBCBFxxxx记BCD的面积为 S，则4321291822SBDxxFxC设函数 432918f xxxx，则学科网（北京）股份有限公司 3224273642736fxxxxxxx，令 0fx，得0 x 或273 178x当273 1708x时，0fx；当273 1738x时，0fx
19、故当273 178x时，f x取得最大值，则 S 取得最大值，此时273 178AB17解：（1）因为coscos2abbBAc，所以sincos2sincossinsinABBABC 2 分又sinsinsincoscossinCABABAB，所以3sincossinBAB 3 分因为sin0B，所以cos13A 4 分又0,A，所以sin2 23A，tan2 2A 5 分（2）ABC的面积n122 22si3ASbcbc，则6bc 7 分由22222c23s2oabcbcbcbcA，得224253bcabc，9 分所以5bc，故ABC的周长为517 10 分18（1）证明：取 PA 的中点
20、 N，连接 EN，DN，因为 E 是 PB 的中点，所以/EN AB，12ENAB1 分又底面 ABCD 为正方形，F 是 CD 的中点，所以/EN DF，ENDF，所以四边形 ENDF 为平行四边形，所以/EF DN 3 分因为EF 平面 PAD，DN 平面 PAD，所以/EF平面 PAD 4 分（2）解：以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令2AB，则1,0,1E，1,2,0F，0,0,2P，0,2,0D，0,1,1M 5 分从而1,1,0EM ，1,1,1MF，1,2,0AF 6 分学科网（北京）股份有限公司设平面 A
21、MF 的法向量为111,mx y z，则11111200 xyxyz，令11y，得2,1,1m 8 分设平面 EMF 的法向量为222,nxyz，则2222200 xyzxy，令21y，得1,1,2n 10 分1cos,2m nm nm n 11 分故平面 AMF 与平面 EMF 的夹角的余弦值为12 12 分19解：（1）当1n 时，12a 1 分当2n 时，111221 21 2nnnnaaannnn，3 分即1121 2nnaaan n，4 分当1n 时，上式也成立，所以1221 212322nnnnan nnnn nn 5 分当1n 时，也符合232nnan n，所以232nnan n
22、 6 分（2）由（1）知232nnann 7 分1024 25 232nnSn，8 分01124 25 232nnSn，9 分则012111122223222132221nnnnnnSnnn，11分学科网（北京）股份有限公司所以1221nnSn 12 分20解：（1）当ba时，该顾客能获得代金券设“a 是偶数”为事件 A，“ba”为事件 B，则 21520620820 1856421015P ABA，2 分 2158 14815P AA，3 分所以 41158215P ABP BP AA，所以当顾客抽到的 a 是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为12 4 分（2）X 可能的取值为 0，1，2，
23、3当0X 时，ba，则102P X 5 分当1X 时，121aba，若11a，则120ab 对每一个 a，b 有20a种不同的取值，则,a b共有98145 种可能的取值 6 分若610a，对每一个 a，b 有1a种不同的取值，则,a b共有5678935 种可能的取值，所以21545358121P XA 7 分当2X 时，231baa若7a，则220ab对每一个 a，b 有212a种不同的取值，则,a b共有753 116 种情况若6a，则1217b，,a b共有 6 种可能的取值所以215166112105P XA9 分当3X 时，341baa，,a b只有6,18，6,19，6,20这
24、3 种情况，所以31321070P X 10 分所以181111331901232211057021030E X 12 分21（1）解：设椭圆方程为221pxqy，1 分学科网（北京）股份有限公司则164912525qpq，解得141pq，3 分所以椭圆的方程为2214xy4 分注：若直接设22221xyab得到2214xy，扣 1 分（2）证明：设00,P xy，,0A m，,0B n，直线003385:8555yPD yxx，令0y，得000385535Nxyxy5 分直线001:1yPC yxx令0y，得001Mxxy6 分00000000000038583355311 535xynyn
25、xmyymxxMB NAnmyyyy 8 分令00058333myymnyn，令583mn，33mn，得4n，4m ，10 分则2222200000020000003443444412 583121 531 53583yxyyyyMB NAyyyyyy 故存在4,0A 和4,0B，使得MB NA 是定值，且定值为12 12 分22（1）解：令 0f x，得10lnaxexa，则11ln11lnaxxeaexx2 分令函数 xg xex，则11lngagxx，因为 g x在R上单调递增，所以11lnaxx，即n1laxx 3 分令函数 n1lh xxx，则 21xh xx，则 h x在0,1上单
26、调递减，在1,上单调递增，所以 min11h xh 4 分因为当0 x 时，lnl11nxxxxx，当x 时，1ln xx，5 分学科网（北京）股份有限公司依题意可得方程n1laxx有两个不相等的正根，所以1a，即 a 的取值范围是1,6 分（2）证明：令函数 2ln11xxxx，则 22102xxx，所以 x在0,上单调递减7 分因为 10，所以当0,1x时，0 x；当1,x时，0 x8 分不妨假设12xx，则由（1）知1201xx，所以10 x，20 x，所以111111111111l2n22xaxxxxxx，则21121axx，9 分222222211111l2n22xaxxxxxx，则22221axx，10 分所以22121212122a xxxxxxxx，因为120 xx，所以122xxa