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1、 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省名校联盟辽宁省名校联盟 2023-2024 学年第一学期高三第学年第一学期高三第 3 次月考模拟卷次月考模拟卷 B 一、选择题：本题共一、选择题：本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知集合1NPx xx=，28xQx=，则PQ=（）A.x|14x B.x|1x、0b）在点(1,(1)f处的切线斜率为1，则8abab+的最小值为（）A.10 B.9 2 C.18 D.10 2 6.把函数()2sincosf xxx=的
2、图象向右平移6个单位长度得到函数()g x，若()g x在0,a上是增函数，则a的最大值为（）第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A.12 B.6 C.3 D.512 7.正项等比数列 na满足：7652aaa=+，若存在两项ma、pa，使得2116mpaaa=，则19mp+最小值为（）A.32 B.83 C.114 D.145 8.三棱锥ABCD中，AC 平面BCD，BDCD若3AB=，1BD=，则该三棱锥体积的最大值为（）A.2 B.43 C.1 D.23 二、选择题：本题共二、选择题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每
3、小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得5分，有选错的得分，有选错的得0分，部分选对的得分，部分选对的得2分分 9.已知实数a，b，c满足0abc B.bbcaac+C.2abcacbc+D.11()()abab+的最小值为 4 10.在ABC中，下列结论正确的是（）A.ABACCB=B.0ABBCCA+=C.若0ACAB ，则ABC是锐角三角形 D.若()()0ABACABAC+=，则ABC等腰三角形 11.已知ABC中，角,A B C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（）A.当5a=，7b=，60A=时，满足条件的三角形共有 1个 B.若22tanta
4、naBbA=，则ab=C.若4C=，22acbc=，则ABC为等腰直角三角形 D.若cos()cos()cos()1ABBCCA=，则ABC一定是等边三角形 12.已知函数()f x是定义在()0,+上的函数，()fx是()f x的导函数，若()()22exxf xx fx+=，且的是 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 12e2f=，则下列结论正确的是（）A.函数()f x定义域上单调递增 B.函数()f x在定义域上有极小值 C.函数()()2e lng xxf xx=的单调递增区间为()1,+D.不等式()2eexf x+的解集为1,2+三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题
5、，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分 13.古代典籍周易中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响图 1 是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗在正八边形ABCDEFGH中，若(,R)ACxAByAH x y=+，则xy+=_ 14.已知coscos1xy+=，则sinsinxy的取值范围是_.15.已知数列 na满足：11a=，12nnaa+=.设()232nnbnna=，若对于任意Nn，nb恒成立，则实数的取值范围为_ 16.直三棱柱111ABCABC的底面 ABC 是等腰直角三角形，12 2,3ACBCA A=若以点 C 为球心，r（02r）为半径的球与侧面11ACC A的交线长为23
6、，且所对的弦长为 r，则球 C 与三棱柱111ABCABC的交线长为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共6小题，共小题，共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列 na的前n项和22nnnS+=，等比数列 nb满足22ba=，331ba=+（1）求数列 na和 nb的通项公式；在的 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司（2）若1,nnnnna bnca b n+=为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项和2nT 18.已知向量33(cossin)22xxa=，、向量(cossin)22xxb=，、向量(11)c=，其中 2 2
7、x，.（1）求证：()()abab+；（2）设函数22()(|3)(|3)f xacbc=+，求()f x的最大值和最小值.19.锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3tantancosaBCcB=+（1）求角 C的值；（2）若2 3c=，D为 AB 的中点，求中线 CD 的范围 20.已知函数(1)()ln2a xf xxx=+.（1）若函数()f x在定义域内不单调，求实数a的取值范围；（2）若函数()f x在区间(0,1内单调递增，求实数a的取值范围；（3）若1x、2Rx+，且12xx成立，求m的最大值；（3）设11nnaCn=+，证明：23111123
8、nCCC+，()0h x；（ii）是否存在点()00,A xy，使得()f x和()g x在A处的切线相同？如果存在，直接写出点A坐标和切线方程；如果不存在，请说明理由.（2）讨论函数()h x在()0,+的零点的个数.的 第1页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省名校联盟辽宁省名校联盟 2023-2024 学年第一学期高三第学年第一学期高三第 3 次月考模拟卷次月考模拟卷 B 一、选择题：本题共一、选择题：本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1 已知集合1NPx
9、 xx=，28xQx=，则PQ=（）A.x|14x B.x|1x、0b）在点(1,(1)f处的切线斜率为1，则8abab+的最小值为（）A.10 B.9 2 C.18 D.10 2【答案】C【解析】【分析】由导数几何意义得出21ab+=，然后由基本不等式求得题设最小值【详解】()f x的定义域为 R，()2fxaxb=+，又()f x在点(1,(1)f处的切线斜率为1，()121fab=+=，()88181161628210218abababababbabababa+=+=+=+=，当且仅当16abba=，即16a=，23b=时，“=”成立，8abab+的最小值为18.故选：C 6.把函数()
10、2sincosf xxx=的图象向右平移6个单位长度得到函数()g x，若()g x在0,a上是增函数，则a的最大值为（）A.12 B.6 C.3 D.512【答案】D【解析】【分析】先由三角函数的平移变换规律求出()g x的解析式，再求出()g x的单调增区间，然后使区间0,a是其中一个增区间的子集求出a的范围，从而可求出a的最大值【详解】解：因为()2sin cossin2f xxxx=，所以sin2()sin(2)6)3(g xxx=，由222,232kxkkZ+，得5,1212kxkkZ+，第4页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 所以()g x在5,()1212kkkZ+上单调递
11、增，因为()g x在0,a上是增函数，所以5012a，7652aaa=+，6541112a qa qa q=+，22qq=+，即()()22210qqqq=+=，解得2q，2116mpaaa=，11211116mpa qa qa=，2422mp+=，6mp+=，()1911919198101026663pmpmmpmpmpmpmp+=+=+=，当且仅当9pmmp=，即3pm=，即32m=、92p=时，取得最小值，又,mpNN，1983mp+，只能逐一验证，当1m=、5p=时，19914155mp+=+=；当2m=、4p=时，191911244mp+=+=；第5页/共23页 学科网（北京）股份有
12、限公司 当3m=、3p=时，191910333mp+=+=；当4m=、2p=时，191919424mp+=+=；当5m=、1p=时，191946515mp+=+=，19mp+最小值为114.故选：C 8.三棱锥ABCD中，AC 平面BCD，BDCD若3AB=，1BD=，则该三棱锥体积的最大值为（）A.2 B.43 C.1 D.23【答案】D【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD平面ACD、BDAD与ACCD，从而利用基本不等式求得2ACDS，进而得到23A BCDB ACDVV=，由此得解.【详解】因为AC 平面BCD，BD平面BCD，所以ACBD，又BDCD，ACCD
13、C=，,AC CD 平面ACD，所以BD平面ACD，因为AD 平面ACD，所以BDAD，RtABD中，3AB=，1BD=，则222 2ADABBD=，因为AC 平面BCD，CD 平面BCD，所以ACCD，在RtACD中，不妨设(),0,0ACa CDb ab=，则由222ACCDAD+=得228ab+=，所以()221111222244ACDSAC CDababab=+=，当且仅当ab=且228ab+=，即2ab=时，等号成立，所以1122 1333A BCDB ACDACDVVSBD=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D.的在 第6页/共23页 学科网（北京）股份有限公司.二、选择题：
14、本题共二、选择题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得5分，有选错的得分，有选错的得0分，部分选对的得分，部分选对的得2分分 9.已知实数a，b，c满足0abc B.bbcaac+C.2abcacbc+D.11()()abab+的最小值为 4【答案】ABC【解析】【分析】根据实数a，b，c满足0abc，分别化简选项 A、B、C中的不等式即可判断；选项 D的判断要注意基本不等式取等条件的检验.【详解】由题0abc，故 A正确；()()bbcb aca bcbcacbaaa
15、c+，故 B正确；()()()()200abcacbcc cba cbcacb+，故 C正确；11()()2224bab aabababa b+=+=，当且仅当abba=即ab=时取等，又因为0ab，即11()()abab+无最小值，故 D 错误.故选：ABC.10.在ABC中，下列结论正确的是（）A.ABACCB=B.0ABBCCA+=C.若0ACAB ，则ABC是锐角三角形 第7页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 D.若()()0ABACABAC+=，则ABC是等腰三角形【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，B选项，利用向量加减法运算可判断；对于 C，由数量积运算只能判断角 A 是
16、锐角，但不能判断角 B、C 的大小；对于 D，由条件利用数量积运算可判断.【详解】A选项，由向量的减法法则可知 A 对；B选项，由向量的加法法则可知 B 对；C选项，由cos0AB ACAB ACA=，可得角 A是锐角，但不能判断角 B、C的大小，ABC不一定是锐角三角形，故 C 错误；D选项，由()()0ABACABAC+=，得220ABAC=，|ABAC=，ABC是等腰三角形.故选：ABD.11.已知ABC中，角,A B C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（）A.当5a=，7b=，60A=时，满足条件的三角形共有 1个 B.若22tantanaBbA=，则ab=C.若4C=，
17、22acbc=，则ABC为等腰直角三角形 D.若cos()cos()cos()1ABBCCA=，则ABC一定是等边三角形【答案】CD【解析】【分析】对于 A：利用余弦定理分析运算；对于 B：利用正弦定理结合倍角公式分析判断；对于 C：利用余弦定理分析运算；对于 D：根据角的范围结合余弦函数分析判断.【详解】对于选项 A：由余弦定理2222cosabcbcA=+，可得2125492 72cc=+，则27240cc+=，因为()274 1 24470=+的解集为1,2+【答案】AC【解析】第9页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【分析】令()()m xxf x=，得到()()m xf xx=，
18、求得()22e()xm xfxx=，令()2e()xh xm x=，利用导数得到()1()02h xh=，进而得到，可判定 A正确，B 不正确；求得()22eexgxx=，进而可判定 C正确；设()()2eexxf x=且102=，求得()()2n xxx=，可得()()221e244xn xxxx=，进而可判定 D错误.【详解】令()()m xxf x=，则()()()m xf xxfx=+，因为()()22exxf xx fx+=，可得()()2exf xxfxx=+，又由()()m xf xx=，可得()()()22222()()()e()xxf xx fxm xm xxm xm xfx
19、xxx+=，令()2e()xh xm x=，可得()22222e1212e()2ee(2)exxxxxxh xm xxxx=，当1(0,)2x时，()0h x，()h x单调递增，所以()11111()e()e()e2e022222h xhmf=，即 0fx，所以()f x单调递增，所以 A正确，B 不正确；由函数()()2e lng xxf xx=，可得()()()222eeexgxf xxfxxx=+=，令()0gx，即22ee0 x，解得1x，所以函数()g x的单调递增区间为()1,+，所以 C正确；设()()2eexxf x=，则102=，则()()22exxfx=因为()()22e
20、xxf xx fx+=，所以22e()()xxf xfxx=，第10页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 所以2222222e()e()2e()2exxxxxf xxf xxxxx=，令222()e()2exxn xxf xx=，则2222()2e()()4 e4exxxn xf xxfxxx=22222e2e4 e4exxxxxxx=()221e244xxxx=注意到12x 时，240 x，进而()()0,n xn x单减，111111()e()ee2ee0222222nf=时“()102n xn，即()0 x时()x单减，而102=，所以 D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：此题考
21、查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，极值，利用导数解决有关不等式的问题，解题的关键是根据题意合理构造函数，然后利用导数解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分 13.古代典籍周易中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响图 1 是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗在正八边形ABCDEFGH中，若(,R)ACxAByAH x y=+，则xy+=_ 【答案】22+#22+【解析】第11页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意结合向量的线性运算分析运算.【详解】如图，连接CH，则ABCH，
22、不妨设2AB=，则2 22CH=+，即()21HCAB=+，()21ACAHHCABAH=+=+，则21,1=+=xy，故22xy+=+.故答案为：22+.14.已知coscos1xy+=，则sinsinxy的取值范围是_.【答案】3,3【解析】【分析】【详解】设sinsinxyt=，易得2cosin sin1coss2yxytx=，即21cos()2txy+=.由于()1cos1xy+，所以21112t ，解得33t.故答案为：3,3.15.已知数列 na满足：11a=，12nnaa+=.设()232nnbnna=，若对于任意的Nn，nb恒成立，则实数的取值范围为_【答案】1,2+【解析】第
23、12页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【分析】由11a=，12nnaa+=可得112nna=，进而得到21322nnnnb=，结合()152nnnn nbb+=，分15n和6n 分类讨论，确定数列 nb的单调性，求出nb最大值，进而得解.【详解】由数列 na满足11a=、12nnaa+=得：na是首项为1，公比为12的等比数列，112nna=，21322nnnnb=，()()()22111312532222nnnnnnnn nnnbb+=，当15n时，10nnbb+，1nnbb+，当且仅当5n=时取等号，65bb=，当6n 时，10nnbb，1nnbb+，当5n 时，数列 nb单调递增，
24、当6n 时，数列 nb单调递减，则当5n=或6n=时，()24max2512152nb=，而任意的Nn，nb恒成立，则12，实数的取值范围为1,2+.故答案为：1,2+16.直三棱柱111ABCABC的底面 ABC 是等腰直角三角形，12 2,3ACBCA A=若以点 C 为球心，r（02r）为半径的球与侧面11ACC A的交线长为23，且所对的弦长为 r，则球 C 与三棱柱111ABCABC的交线长为_【答案】176【解析】【分析】球的半径大小影响球与三棱柱的上底面111ABC是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论，画出图形，由球与侧面11ACC A的交线长为23，结
25、合弧长公式去掉不合要求的情况，求出交线长.第13页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为底面 ABC是等腰直角三角形，且2 2ACBC=，所以224ABACBC=+=，故点 C到 AB的距离为22124BCAB=球的半径大小影响球与三棱柱的上底面111ABC是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论 若(0,3r，如图所示，设球 C与1CC，AC 分别交于点 D，E，则球 C与侧面11ACC A的交线长为12rACCr=，则223r=，即43r=，此时所对的弦长为4 23r，不满足题意；若(3,2r，如图所示，设球 C与11AC，AC 分别交于点 M，N，则MN
26、rMCCN=，所以3MCN=，所以球 C 与侧面11ACC A交线长为323r=，解得2r=，满足题意 则球 C与侧面11BCC B的交线长为23，与底面 ABC的交线长为2r=，在1RtCC M中，22111C MrCC=，的 第14页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 所以球 C 与平面111ABC的交线长为11112C MAC B=，所以球 C 与三棱柱111ABCABC的交线长为2172326+=故答案为：176.四、解答题：本题共四、解答题：本题共6小题，共小题，共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列 na的前n项
27、和22nnnS+=，等比数列 nb满足22ba=，331ba=+（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若1,nnnnna bnca b n+=为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项和2nT【答案】（1）nan=，12nnb=（2）2(41)3n【解析】【分析】（1）根据1nnnaSS=求得 na通项公式，进而得2b，3b，再计算 nb的公比与首项，求解通项公式即可；（2）结合（1）得12,2,nnnnncnn=为奇数为偶数，进而得212122nnncc+=，再结合等比数列求和公式求解即可.【小问 1 详解】解：当2n 时，221(1)(1)22nnnnnnnaSSn+=，又1n=时，111
28、aS=也成立，所以，nan=，所以，222ba=，3314ba=+=，所以，等比数列 nb的公比为322bb=，2112bb=，所以，12nnb=【小问 2 详解】第15页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 解：因为1,nnnnna bnca b n+=为奇数为偶数，即12,2,nnnnncnn=为奇数为偶数，所以212121212(21)2222,nnnnnccnn+=+=所以，数列 nc的前2n项和21234212nnnTcccccc=+1234212()()()nncccccc=+35212(1 4)22222(41)1 43nnn=+=18.已知向量33(cossin)22xxa=
29、，、向量(cossin)22xxb=，、向量(11)c=，其中 2 2x，.（1）求证：()()abab+；（2）设函数22()(|3)(|3)f xacbc=+，求()f x的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析 （2）max9()2f x=，min()8f x=【解析】【分析】（1）利用向量坐标运算以及同角三角函数关系式即可证明；（2）利用向量坐标运算以及求模公式表示出函数()f x，再结合正弦余弦的两角和与差的公式以及余弦二倍角公式转化为二次函数式求最值即可.【小问 1 详解】因为向量33(cossin)22xxa=，(cossin)22xxb=，所以22()()ababab+=22
30、2233(cossin)(cossin)2222xxxx=+1 10=，()()abab+；【小问 2 详解】由题意得33(cos1 sin1)22xxac+=+，22233|3(cos1)(sin1)322xxac+=+第16页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 332cos2sin22xx=，同理可得(cos1 sin1)22xxbc+=+，222|3(cos1)(sin1)322xxbc+=+2cos2sin22xx=+，函数22()(|3)(|3)f xacbc=+33(2cos2sin)(2cos2sin)2222xxxx=+33334(coscoscossinsincossin
31、sin)22222222xxxxxxxx=+4(cos2sin)xx=24(2sinsin1)xx=+2198(sin)42x=+，当1sin4x=时，()f x取最大值max9()2f x=，当sin1x=时，()f x取得最小值min()8f x=.19.锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3tantancosaBCcB=+（1）求角 C的值；（2）若2 3c=，D为 AB 的中点，求中线 CD 的范围【答案】（1）3C=（2）(7,3CD【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得出tanC，结合角C为锐角可求得结果；（2）由余弦定理可得出2212abab
32、=+，利用平面向量的线性运算可得出()12CDCACB=+，由平面向量数量积的运算可得出2132CDab=+，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得ab的取值范围，可得出2CD 的取值范围，即可得解【小问 1 详解】第17页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 由3tantancosaBCcB=+，()sin3sinsinsinsincoscossinsinsincoscoscoscoscoscoscoscoscosBCABCBCBCACBBCBCBCBC+=+=，sin3cosCC=，()0,C，tan3C=，3C=【小问 2 详解】()12CDCACB=+，()2214CDCACB=
33、+，()22214CDabab=+，由余弦定理有：222cabab=+，2212abab=+，所以()22214CDabab=+，()211122342CDabab=+=+，由正弦定理sinsinsinabcABC=，2 34sinsin32abAB=，4sinaA=，4sinbB=，212338sinsin38sinsin23CDabABAA=+=+=+，2238sinsincoscossin33AAA=+138sinco3ssin22AAA=+234 3sincos4sinAAA=+()32 3sin22 1 cos2AA=+3154sin2cos222AA=+54sin 26A=+254
34、sin 26CDA=+，因为ABC为锐角三角形，所以02A，则,6 2A，52666A,则(27,9CD，(7,3CD 20.已知函数(1)()ln2a xf xxx=+.（1）若函数()f x在定义域内不单调，求实数a的取值范围；（2）若函数()f x在区间(0,1内单调递增，求实数a的取值范围；第18页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（3）若1x、2Rx+，且12xx （2）3a （3）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导有()()()224342xa xfxx x+=+，则原问题等价于方程()24340 xa x+=有大于零的实根，结合二次方程根的分布理论可得a的范围；（2）
35、原问题等价于()24340 xa x+在区间(0,1内恒成立，结合函数单调性可得a的范围；（3）当12xx=时，不等式显然成立，当12xx，等价转化后结合（2）的结论即可证得题中的结论.【小问 1 详解】()f x的定义域为()0,+，()()()224342xa xfxx x+=+，因为()f x在定义域内不单调，所以方程()24340 xa x+=有大于零的实根，函数()2434yxa x=+的图像经过点()0,4，()2431604302aa=，83a.【小问 2 详解】函数()f x在区间(0,1内单调递增，()24340 xa x+在区间(0,1内恒成立，即434axx+在区间(0,
36、1内恒成立 对于44yxx=+，()()2222410 xxyxx+=+=在(0,1上恒成立，所以44yxx=+在(0,1上单调递减，故44yxx=+在1x=时取得最小值9，则39a，3a.【小问 3 详解】要证121212(lnln)(2)3()xxxxxx+，第19页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 当12xx=时，不等式显然成立，当12xx，又1x、2Rx+，且12xx成立，求m的最大值；（3）设11nnaCn=+，证明：23111123nCCC+=+，即(1)()f nf n+，数列()f n为递增数列，所以当2n 时，()f n的最小值为111119(2)345620f=+=，
37、第21页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 由题意得192020m，整数m的最大值为18；【小问 3 详解】因为1211nnnaCn=+，当2n 时，111111021222nnnnCC=，设231111.nSCCC+=+，则2232111111111(.)()22nnSSCCCCCC+=+，即2112121233nnSCCC+=，()0h x；（ii）是否存在点()00,A xy，使得()f x和()g x在A处的切线相同？如果存在，直接写出点A坐标和切线方程；如果不存在，请说明理由.（2）讨论函数()h x在()0,+的零点的个数.【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）存在，()1,
38、2A；切线方程为42yx=（2）答案见解析【解析】【分析】(1)(i)利用导函数讨论单调性并求出最小值即可;(ii)利用某点处切线方程求法即可；(2)根据a的不同取值利用导数和极值讨论零点个数.【小问 1 详解】（i）证明：当=2a时，()212()1 e2xh xxx=+，由0 x 可知，要证()2121 e20 xxx+，只需证1211e20 xx+，第22页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 设121()1e2xp xx=+，()3112332 e12()1exxxxp xxxx+=+=，设()32q xxx=+，因为()q x在区间()0,+内单调递增且()10q=，所以()0,1
39、x，()0p x，所以()p x在区间()0,1内单调递减，在区间()1,+内单调递增，所以当=1x时，()min0p x=，可得0 x，()0p x，所以0 x，()0h x.（其他方法酌情给分）（ii）解：存在()1,2A；切线方程为42yx=.（证明如下：由（i）中取等条件可知，当0 x 时，存在唯一=1x，使得()()112fg=，又恰好()()114fg=，进而得出公切线方程42yx=，而当0 x 时，()0fx，()0gx，又()()00fg，故无其他结果.）【小问 2 详解】令()0h x=，即()2121 e0 xxax+=，等价于1211e0 xax+=，设121()1exr xax=+，由（1）得，当=2a时，()h x在()0,+有 1个零点；当2a，故没有零点；当2a 时，min()(1)20r xra=+，11111(1e)e(1e0)eeeaeraaaaa=+=，第23页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 所以()r x在1,1ea，()1,ln1a+各有 1 个零点.综上所述，当=2a时，()h x在区间()0,+内有 1个零点；当2a 时，()h x在区间()0,+内有 2 个零点.