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1、12024届高中数学公式与二级结论全测2024届高中数学公式与二级结论全测目录目录集合集合1.1.集合与简单逻辑 07不等式不等式1.1.不等关系与不等式081.1.不等式的基本性质081.2.倒数性质 081.3.有关分数的性质092.2.基本不等式 092.1基本不等式 092.2.均值定理 092.3常见求最值模型092.4其他不等式 102.5基本不等式求最值的方法103.3.一元二次不等式及其解法 103.1简单的分式不等式的解法103.2高次不等式的解法113.3一元二次不等式的解113.4超越不等式的解法114.4.含参数的不等式的解法125.5.含有几何意义的目标函数12函数函
2、数1.1.主方公式 1322.2.映射133.3.函数定义域 133.1.基本初等函数定义域 133.2.抽象函数定义域 134.4.函数的解析式 145.5.函数值域的求法 146.6.函数的单调性：注意单调区间书写“，”或“和”连接 166.1.函数单调性的定义 166.2.函数单调性的判别方法 167.7.函数的奇偶性188.8.函数的对称性：同号对称轴；异号对称中心199.9.函数的周期性2010.10.二次函数与一元二次方程根的分布2111.11.函数的图象变换2212.12.指数与对数2213.13.反函数2514.14.幂函数26导数导数1.1.变化率与导数、导数的计算271.1
3、平均变化率及瞬时变化率271.2导数的概念271.3导数的几何意义281.4.基本初等函数的导数公式281.5导数的运算法则281.6导数的切线方程282.2.利用导数研究函数的性质 2832.1函数的导数与单调性的关系282.2求函数的单调区间的步骤 292.3函数的极值与导数292.4函数的最值与导数303.构造函数304.证明题中常用的不等式315.泰勒展开式常见公式316.导数中常见的同构问题32三角函数三角函数1.1.任意角和弧度制以及任意角的三角函数321.1角的分类 321.2象限角 321.3角的弧度制 321.4任意角的三角函数 322.2.同角三角函数的基本关系及其诱导公式
4、 332.1同角三角函数的基本关系332.2三角函数的诱导公式332.3特殊角的三角函数值333.3.三角恒等变换 343.1三角变换技巧343.2三角恒等与不等式364.4.正弦定理与余弦定理 365.5.三角形中的三角变换376.6.三角形边、角关系定理及其面积公式 387.7.三角函数的图象与性质398.8.函数y=Asin wx+A0,0的性质409.9.求三角函数的值域414平面向量平面向量1.1.平面向量的概念及其线性运算421.1向量的有关概念 421.2向量的表示方法 421.3向量的线性运算 421.4共线向量定理432.2.平面向量基本定理 432.1平面向量的正交分解43
5、2.2平面向量的坐标运算443.3.平面向量的数量积 443.1平面向量数量积的有关概念443.2向量数量积的性质 443.3数量积的运算律 443.4数量积的坐标运算 454.4.向量的有关定理 454.1奔驰定理454.2极化恒等式464.3对角线向量定理464.4等和线定理465.5.三角形“四心”的向量表示 475.1三角形各心介绍475.2三角形各心的向量表示47数列数列1.1.an与Sn472.2.等差数列472.1通项公式及其前n项和 472.2等差数列的常用性质482.3.与等差数列各项的和有关的性质4853.3.等比数列484.4.一些特殊数列的前n项和495.5.常见的裂项
6、方式496.6.求和49立体几何立体几何1.1.立体几何初步502.2.常见几何体的外接球模型503.3.空间向量533.1基础知识 533.2利用空间向量证明位置关系533.3利用空间向量求解距离问题543.4利用空间向量求解距离问题544.4.面积射影定理555.5.三余弦定理55解析几何解析几何1.1.直线与圆561.1斜率公式 561.2直线的五种方程 561.3夹角公式 561.4斜率关系 57571.6平行与垂直 571.7距离公式 571.8四种直线系方程 572.2.圆的方程572.1圆的一般与标准方程 572.2圆的切点弦方程582.3圆系方程586圆锥曲线圆锥曲线1.1.椭
7、圆582.2.双曲线593.3.抛物线594.4.圆锥曲线共性公式、结论60排列与组合排列与组合1.1.两个计数原理612.2.排列数公式613.3.组合数公式及性质624.4.分配问题 625.5.二项式定理 63概率概率1.1.离散型随机变量641.性质642.离散随机变量的数学期望、方差、标准差643.常见分布列642.2.统计651.回归直线方程652.相关系数 653.3.独立性检验654.4.复数651.复数概念662.复数分类663.复数相等664.共轭复数665.复数的模6676.复数的四则运算法则667.关于x的实系数二次函数有复数根668.复数的计算高阶公式66集合集合1.
8、1.集合与简单逻辑集合与简单逻辑(1)集合关系及运算中常用结论AB=AAB=_A_BB_AAB=_AB=_；德摩根定律：CUAB=CUA CUB,CUAB=CUA CUB；(2)含有n个元素的集合共有_个子集；_个真子集；非空子集有_个；非空真子集有_个.(3)含逻辑连接词命题真假判定p与p真假_；pq一假即为_，两真才为_；pq一真即为_，两假才为_；(4)常见结论的否定形式结论是都是大于小于至少一个至多一个至少n个至多n个对所有x，成立p或qp且q对任何x，不成立否定(5)全称命题与特称命题的否定全称命题：对xA，使p x成立，其否定为：_；特称命题：xA，使p x成立，其否定为_.(6)
9、充要条件判定方法若pq，则p是q的_；8若qp，则p是q的_；若pq，且qp，则p是q的_.集合法：若满足条件p的集合为A，满足条件q的集合为B，若AB，则p是q的_；若BA，则p是q的_；若A=B，则p是q的_.不等式不等式1.1.不等关系与不等式不等关系与不等式1.1.1.1.不等式的基本性质不等式的基本性质（1）对称性：abb_a(双向性)（2）传递性：ab,bca_c(单向性)（3）可加性：aba+c_b+c(双向性)（4）同向可加性：ab,cda+c_b+d(单向性)（5）可乘性：ab,c0ac_bc;ab,cb0;cd0ac_bd（7）乘方法则：ab0，an_bnnN,n2（8）开
10、方法则：ab0na_nb(nN,n2)（9）若a,bR+,m,nN+，则am+n+bm+n_ambn+anbm(当且仅当a=b时等号成立)推广：若a,b,cR+，m,n,rN+，则am+n+r+bm+n+r+cm+n+r_ambncr+anbrcm+arbmcn(当且仅当a=b=c时等号成立)1.2.1.2.倒数性质倒数性质(1)ab0,则ab1a_1b(2)a0b1a_1b(3)ab0,0cdac_bd(4)0axb或axb01b_1x_1a1.3.1.3.有关分数的性质有关分数的性质9若ab0,m0则(1)ba_b+ma+m；ba_b-ma-mb-m0(2)ab_a+mb+m;ab_a-m
11、b-mb-m02.2.基本不等式基本不等式2.12.1基本不等式基本不等式(1)如果 a 0,b 0 那么 _，当且仅当 _ 时，等号成立.其中a+b2叫作 a,b的_，ab 叫作a,b的_，即正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.注意：a:基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指_，“二定”指_，“三相等”指_.b:连续使用不等式要注意取得一致.变形1：_；变形2：_；(2)重要不等式：a,bRa2+b2_；变形1：_；变形2：_；(3)基本不等式串：21a+1b_ ab_a+b2_a2+b22a,bR+2.2.2.2.均值定理均值定理已知x,yR+，(1)如果x+y=
12、S(定值)，则xy_x+y22=_(当且仅当“x=y”时等号成立).即“和为定值，积有_”(2)如果xy=P(定值)，则x+y_2 xy=_(当且仅当“x=y”时等号成立).即“积为定值，和有_”2.32.3常见求最值模型常见求最值模型模型一：mx+nx_ m0,n0，当且仅当_时等号成立；模型二：mx+nx-a=m x-a+_+_ _+_，当且仅当_时等号成立；10模型三：xax2+bx+c=1ax+cx+b_12 ac+ba0,c0，当且仅当_时等号成立；模 型 四：x n-mx=mx n-mxm_1mmx+n-mx22=_ m0,n0,0 xnm，当且仅当_时等号成立.2.42.4其他不
13、等式其他不等式(1)a3+b3+c3_；(2)a2+b2+c2_ab+ac+bc(a,b,cR，当且仅当_时取等号)(3)柯西不等式：设a1,a2an,b1,b2bnR，则_，当且仅当bi=0 i=1,2n或存在一个实数k，使得ai=kbii=1,2,3n时，等号成立.(4)权方和不等式：x2a+y2b_;当且仅当xa=yb等号成立 x,y,a,b0(5)绝对值不等式：对任意实数a,b，有 a+b_ a+b，其中等号成立的条件为_；对任意实数a,b，有 a-b_ a+b，其中等号成立的条件为_；对任意实数a,b，有 a-b_ ab_ a+b.2.52.5基本不等式求最值的方法基本不等式求最值的
14、方法（1）直接使用（2）分析法：a、凑项；b、凑系数；c、凑完全平方式；d、分离（3）代换：a、“1”的代换；b、消元；c、判别式法；d、局部代换；e、三角代换（4）构造（5）待定系数法3.3.一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法3.13.1简单的分式不等式的解法简单的分式不等式的解法（1）f xg x0 f xg x_0f x_0g x_0 或f x_0g x_0；（2）f xg x0=00的根_ax2+bx+c0 a0的解集_ax2+bx+c0的解集_3.43.4超越不等式的解法超越不等式的解法(1)指数不等式通过变形先化为af xag x的形式，再利用指数函数的单调性化为普通不等
15、式求解即可；即：当0aag x_；当a1时，af xag x_.(2)对数不等式先变形化为logf xalogg xa的形式，再利用对数函数的单调性化为普通不等式解即可，即：当0alogg xaf x_g xf x_0；当a1时，logf xalogg xaf x_g xg x_0.(3)三角不等式：先化为同名函数的大小关系，再结合单位圆中的三角函数线或该三角函数的图象求12出解集4.4.含参数的不等式的解法含参数的不等式的解法(1)含参数的一元二次不等式的解法：其关键是对参数分类讨论的标准的寻求，一般地考虑的次序为：二次项系数含参时，对二次项系数分：_，_，_；二次项系数确定时，讨论判别式的
16、_，_，_；有两根时(判别式0的前提下)，讨论两根的_，_，_.(2)不等式的恒成立(有解)，求参数的取值范围常用的处理方法有：直接转化为函数的最值问题(对于含参的一元二次不等式可以利用二次函数恒正(负)的等价条件处理)；分离参数后转化为函数的最值问题(优先考虑此方法)数形结合(尽量化为“动直线定曲线”型处理)转化为一元二次方程根的分布问题a：“判别式+韦达定理”，适用于两根均大(小)于k或两根一根大于k另一根小于k的情况b：数形结合的方法(总是利用以下三个方面列不等式求解)1)判别式的正负；2)对称轴必须满足的范围；3)已知区间端点处函数值的正负.5.5.含有几何意义的目标函数含有几何意义的
17、目标函数（1）形如z=x-a2+y-b2型的目标函数这是一个圆的模型，可化为求定义范围内的点_与点_之间距离的最值问题.其常见形式等价为_,_.（2）形如z=ay+bcx+dac0型的目标函数这是一个斜率模型，可将其变形为_，将问题化为求定义范围内的点_与_连线斜率的_倍的范围、最值等.其常见等价形式为_，_.（3）形如z=Ax+By+C型目标函数这是一个距离模型，可以化为_的形式，将问题转化为求定义范围内的点_到直线_的距离的_倍的最值.13函数函数1.1.立方公式立方公式（1）a3+b3=_；（2）a3-b3=_；（3）a+b3=_；（4）a-b3=_.2.2.映射映射（1）若A有m个元素
18、，B有n个元素；则映射 f:AB有 _个；映射 f:BA有_个3.3.函数定义域函数定义域3.1.3.1.基本初等函数定义域基本初等函数定义域已知函数解析式，若未作特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，一般有以下几种情况：（1）1x分式中分母_；（2）2nx 偶次方根的数或式_；（3）ax指数的底数_；（4）logxa对数函数的底数_，真数_；（5）tanx正切函数_；（6）cotx 余切函数_；（7）x0 幂函数中零次幂或者负指数次幂的底数_.3.2.3.2.抽象函数定义域抽象函数定义域一个“中心”，两个“基本点”（1）以“x”为中心；(2)对应法则相同，“()”内的取值范围
19、相等.3.3.3.3.定义域恒成立问题定义域恒成立问题1.复合型函数中定义域恒成立问题：f x定义域为R f x0恒成立；logaf x定义域为R f x0恒成立.2.对数函数复合型函数中值域恒成立问题：14logaf x值域为R f x能取到所有的正数.4.4.函数的解析式函数的解析式求函数解析式的4种方法：（1）换元法(从前到后)（2）配凑法(整体法)(从后到前)（3）待定系数法（4）解方程组法：f x与 f1x、f-x构建方程组5.5.函数值域的求法函数值域的求法(1)直接法(2)分离常数法类型一.一次一次：形如y=ax+bcx+d解决方法-“三线法”横线：一次项系数之比y=ac；竖线：
20、令分母部分为零x=-dc；象限：“撇-捺”(与k的符号作用相同)类型二.二次一次：形如y=ax2+bx+cdx+e解决方法-换元法令一次函数为t，解出x，并标注t的取值范围 f t；将函数 f x转化成关于t的函数 f t；利用对勾函数或者双刀函数的图像解出值域.预备知识：对勾函数：形如y=ax+bxa,b015定义域特殊点值域渐近线双刀函数：形如y=ax-bxa,b0定义域特殊点值域渐近线类型三.一次+一次：形如y=ax+b+cx+d(a,b,c,dR)解决方法：令一次=t，解出x，并标注t的取值范围 f t；将函数 f x转化成关于t的函数 f t；(3)代数换元法(4)三角换元法16类型
21、.一次+二次(5)配方法(6)单调性法(7)反函数法(8)判别式法(9)均值不等式法(10)调和函数法(11)实根分步法(12)数形结合法(13)余弦定理法(14)等式法(15)图象法(16)导函数法6.6.函数的单调性：注意单调区间书写用函数的单调性：注意单调区间书写用“，”或或“和和”连接连接6.1.6.1.函数单调性的定义函数单调性的定义设x1,x2 a,b，那么（1）若x1x2，f x1-f x20 f x为；若 x1-x2f x1-f x20 f x为_；(同号为增)（2）若x10 f x为_；若f x1-f x2x1-x20 f x为_；6.2.6.2.函数单调性的判别方法函数单调
22、性的判别方法(1)定义法定义法：一般处理抽象函数第一步：定义x1,x2 a,b，设x1x2,x=x1-x20；第二步：比较y=y1-y2与0的大小关系；17第三步：若xy0，函数为 a,b上的增函数；若xy0为_；f xf x0为_；f-1x为_；-f x为_；f xg xf x0,g x0为_；（3）复合函数的单调性若函数u=g x,y=f u,y=f g x；外层函数y=f u增函数增函数减函数减函数内层函数u=g x增函数减函数增函数减函数复合函数y=f g x注意：同增异减，如果是多层复合函数，判断顺序由内及外（4）导数法设 f x在定义域内可导，如果 f x0，那么函数在该区间上为_
23、；如果 f x0是函数 f x在其定义域内为增函数的_；（5）图象法从左到右，图象上升即为_；从左到右，图象下降即为_.解题小技巧：当y0的时候，y与y2的单调区间相同对于分段函数的单调性的判断必须注意两点18（6）每一段的单调性必须相同（7）各段之间的单调性要连续7.7.函数的奇偶性函数的奇偶性（1）前提条件：定义域关于原点对称：f x=f-x偶函数；f-x=-f x奇函数，（2）运算性质a：奇奇=_；b：偶偶=_；c：奇偶=_；d：奇奇=_；e：偶偶=_；f：奇偶=_；拓展：定义F x=f1x f2x fnx，注意(fix0，并且具有奇偶性)，若m为这n个函数中奇函数的个数，则F x=奇函
24、数，m为奇数偶函数，m为偶数（3）复合函数的奇偶性：若函数u=g x,y=f u,y=f g x：保证定义域关于原点对称外层函数y=f u奇函数奇函数偶函数偶函数内层函数u=g x奇函数偶函数奇函数偶函数复合函数y=f g x“有偶则偶”注意适用范围：a、内外层函数同时具有奇偶性b、只要内层函数为偶函数则一定为偶函数（4）奇偶性的常见性质a、偶函数图象关于_轴对称；奇函数图象关于_对称.b、奇函数如果原点有定义，必有 f 0=_.c、一般情况下，奇函数的反函数仍然是_，偶函数的反函数_.d、既是奇函数又是偶函数的函数是_，这是一类函数.e、任何一个定义域关于原点对称的函数 f x都可以写成一个
25、奇函数与一个偶函数和的形式 _.f、奇函数的导数是_，偶函数的导数是_.19g、f x=f x是函数 f x为偶函数的_.h、f x与 f x+aa0奇偶性的关系：f x为偶函数f x+a为偶函数f x为奇函数f x+a为奇函数f x+a为奇函数i、定义在R上的函数 f x=axn+bxn-1+cxn-2+t，若函数为奇函数，则偶次幂函数系数为 _；若函数为偶函数，则奇次幂系数为 _.j、奇函数的最大值与最小值之和为_.（5）奇函数模型特殊复合型g x=f x-f-x例如：_分数指数型 f x=ax-1ax+1例如：_对数分数型 f x=logamx+nmx-n例如：_对数根式型 f x=lo
26、g1+m2x2mxa例如：_双绝对值型 f x=x+a-x-a例如：_（6）偶函数模型特殊二次函数 f x=ax2+b,f x=ax2+b x例如：_特殊复合型g x=f x+f-x例如：_对数二倍型 f x=logamx+1a-m2x例如：_双绝对值型 f x=x+a+x-a例如：_8.8.函数的对称性：同号函数的对称性：同号 对称轴；异号对称轴；异号 对称中心对称中心(1)图象自身的对称性f x+a=f-x+ax=a；f x+a=-f-x+a a,0(2)两个函数的对称性-“取相等”y=f x与y=-f x关于_轴对称；y=f x与y=f-x关于_轴对称；20y=f x与y=-f-x关于_
27、对称；y=f x与y=f 2a-x关于直线_对称；y=f x+a与y=f a-x关于直线_对称；y=f x+a与y=-f a-x关于点_对称；y=f ax+b与y=f c-ax关于直线_对称；y=f ax+b与y=-f c-ax关于点_对称.9.9.函数的周期性函数的周期性（1）核心公式：f x+T=f xT0T；（2）周期结论f x与 f x+a关系推导出来的周期结论 f x+a=f x，周期为_；f x+a=-f x1f x-1f xf x-a，周期为_；f x+a=f x+1f x-1，周期为_；f x+a=f x-1f x+1，周围为_；f x=f x-a-f x-2a，周期为_；（3
28、）与对称性有关的周期结论定义在R上的函数 f x若函数有两个对称轴x=a,x=b，则函数 f x为周期函数，最小正周期为_；特殊地：f x+a=f a-xf x为偶函数 f x的周期为_；若函数有两个对称中心 a,0,b,0，则函数 f x为周期函数，最小正周期为 _；特殊地：f x+a=-f a-xf x为奇函数 f x的周期为_；若函数有一个对称中心 a,0，有一个对称轴x=b，则函数 f x为周期函数有，最小正周期为_；21特别地f a+x=f a-xf x为奇函数 f x的周期为_；f x+a=-f a-xf x为偶函数 f x的周期为_；若 f x和g x分别为周期为T1,T2的周期
29、函数，则 f xg x为周期函数T1T2Q.不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常函数；无敌公式：“+”得对称，“-”得周期，同号对称轴，异号对称中心f ax+b=f c-axx=b+c2af ax+b+f c-ax=db+c2a,d2f ax+b=f ax+cT=b-ca10.10.二次函数与一元二次方程根的分布二次函数与一元二次方程根的分布（1）解析式：一般式:_；顶点式：_；交点式：_；（2）一元二次方程根的分布判别式对称轴边界点（3）一元二次方程根的分布规律：f x=ax2+bx+c,a0零点分布图象满足条件x1x2m_ mx1x2_ 22x1mx2_mx1x2n_mx1nx20,且
30、a1，则x叫以a为底N的对数，记作x=logNa，其中a叫做底数，N叫做真数.真数和零没有对数.对数式与指数式的互化：x=logNaax=N a0,a1,N0（4）几个重要的对数恒等式log1a=_；logaa=_；logaba=_；（5）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即logN10；自然对数：lnN，即logNe(其中e=2.71828)（6）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么加法：logaM+logaM=_；减法：logaM-logaN=_；数乘：logaMn=_；alogaN=_；logamMn=_；换底公式：logNa=_；（7）指数函数的图象函数名称指数函数定义函数
31、y=axa0且a1叫做指数函数a10a1”和“0a1”两种情形讨论b:当0a1时x+，y0；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快c:指数函数y=ax与y=1ax的图象关于y轴对称函数y=ax；y=bx；y=cx；y=dx的图象如图(1)所示，则0ba1dc；即x(0，+)，bxaxdxaxdxcx图(1)图(2)d：特殊函数：函数y=2x，y=3x，y=12x，y=13x的图象如图(2)所示e：指数式大小比较方法单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数
32、的情况，在利用指数函数的单调性进行比较比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：1)若A-B0AB；若A-B0A1，或AB1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当0a0是等比数列，则 logcbnc0且c1是_数列.2.3.2.3.与等差数列各项的和有关的性质与等差数列各项的和有关的性质(1)若 an是等差数列，则Snn 也成等差数列，其首项为a1,公差是 an公差的_；(2)若 an是等差数列，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m是_数列；(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质若项数为2n，则S偶-S奇=_，S奇S偶=_.若项数为 2n-1，则 S偶=_，S奇=_，S奇-S偶
33、=_，S奇S偶=_.(4)两个等差数列 an、bn的前n项和Sn,Tn之间的关系为anbn=_.3.3.等比数列等比数列1.通项公式：_，推广：_；2.前n项和公式Sn=_或Sn=_；3.等比数列的性质(1)若m+n=p+q m,n,p,qN*，则_；(2)对有穷等比数列，与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积，即_.4.等比数列前n项和的性质：当q-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成_数列；5.两个等比数列 an与 bn的积、商、倒数组成的数列 anbn、anbn 、1bn 为_数列；496.等比数列 an的任意等距离的项构成的数列为_数列；7.an为等差数列，则 canc0是_
34、数列.4.4.一些特殊数列的前一些特殊数列的前n n项和项和1.12+22+32+n2=_;2.12+32+52+2n-12=_;3.13+23+33+n3=_;4.13+33+53+2n-13=_;5.12+23+34+n n+1=_;6.123+234+345+n n+1n+2=_.5.5.常见的裂项方式常见的裂项方式1.an=kAn+BAn+C=_;2.an为等差数列，公差为d，则1anan+1=_;3.An n+k=_;4.1n n+1n+2=_;5.1n+n+k=_;6.2n2n-12n+1-1=_;7.14n2-1=_;8.2n+1n2n+12=_;9.lgn+kn=_;10.nn
35、!=_;11.sinx=_;12.an为等差数列，公差为d，则sindcosancosan+1=_.6.6.求和求和an为公差为d的等差数列，bn为公比为q的等比数列，若数列 cn满足cn=anbn，则数列 cn的50前n项和为Sn=_.立体几何立体几何1.1.立体几何初步立体几何初步(1)斜二测画法直观图面积为原图形面积的_倍.(2)表面积与体积棱柱：S表=_，V=_；棱锥：S表=_，V=_；棱台：S表=_，V=_；圆柱：S表=_，V=_；圆锥：S表=_，V=_；圆台：S表=_，V=_；球：S表=_，V=_.(3)棱长为a的正四面体的内切球的半径为_，外接球的半径为_.(4)任意的简单 n面
36、体内切球半径为 _.(V是简单 n面体的体积，S表是简单 n面体的表面积)2.2.常见几何体的外接球模型与内切球常见几何体的外接球模型与内切球(1)墙角模型外接球半径R=_,其中a,b,c是几何体的长宽高(2)对棱相等模型51R2=_(3)汉堡模型该模型适用于有侧棱与底面垂直的锥或柱R=_ r是底面外接圆的半径，h是垂直底面的棱长(4)切瓜模型切瓜模型是有一个侧面与底面垂直的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面，即52：ABC与BCD都是直角三角形类型：ABC是等边三角形，BCD是直角三角形类型类型：交点O即为球心。类型：ABC和BCD都是等边三角形，分别过两个三角形的外心作各自面的垂线R2=_(
37、其中r1,r2分别为，的外接圆半径,l为交线BC的长)(5)斗笠模型适用于棱锥顶点在底面的射影是底面外心的棱锥R=_ h是几何体的高，r为底面圆的半径或外接圆的半径(6)鳄鱼模型53R2=OC2=OE2+CE2=O1O2sin2+l22=_;E为CD中点，O1E=m,O2E=n,为二面角(7)内切球半径求解方法主要有以下两种r=3VsV是棱锥或棱柱的体积，s为其表面积利用圆锥的轴截面的相似三角形进行处理3.3.空间向量空间向量3.13.1基础知识基础知识(1)模：A x1,y1,z1,B x2,y2,z2,则 AB=_;(2)平行：ab_或_；(3)垂直：ab_；(4)夹角：cos a，b=a
38、bab=_.3.23.2利用空间向量证明位置关系利用空间向量证明位置关系(1)证明线面平行设n是平面的法向量，AB,则AB _;（1）证明面面垂直54设n1,n2 分别是平面,的法向量，则：_.3.33.3利用空间向量求解距离问题利用空间向量求解距离问题(1)求两条异面直线间的距离如图，若n是a,b的公共法向量，点Ea,Fb,则异面直线a,b之间的距离d=_；(2)求点到平面的距离设 P 为平面 外一点，点 A 为平面 内任一点，平面 的法向量为 n，过点 P 作平面 的垂线 PO，则点P到平面的距离d=_.3.43.4利用空间向量求解距离问题利用空间向量求解距离问题(1)求直线与直线所成的角
39、若直线AB,CD所成的角是,则cos=_；(2)求直线与平面所成的角55已知 PA 为平面 的一条斜线，n为平面 的一个法向量，过 P 作平面 的垂线 PO，连接 OA，则PAO为斜线PA和平面所成的角，记为,则sin=_;（2）求二面角的大小在二面角 -l-中，n1 和 n2 分别为平面 和 的法向量，若二面角 -l-的大小为，则 cos=_.4.4.面积射影定理：面积射影定理：如图，设平面外的ABC在平面内的射影为ABO，分别记ABC的面积和ABO的面积为S和S，记ABC所在平面和平面所成的二面角为，则cos =_.5.5.三余弦定理：三余弦定理：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影
40、为AB，AC为面上的一条直线，那么OAC,BAC,OAB三角的余弦关系为：_.566.6.利用行列式快速求解平面法向量：利用行列式快速求解平面法向量：AB=x1,y1,z1CD=x2,y2,z2AB 与CD 是同一平面内一组不共线向量则平面法向量n=_;解析几何解析几何1.1.直线与圆直线与圆1.11.1斜率公式：斜率公式：倾斜角为,P1x1,y1,P2x2,y2,k=_.1.21.2直线的五种方程直线的五种方程点斜式：_；两点式：_；截距式：_；斜截式：_；一般式：_.1.31.3夹角公式：夹角公式：l1的倾斜角为1，l2的倾斜角为2，12，则l1与l2的夹角为=12,且tan=_.1.41
41、.4斜率关系斜率关系已知k1，k2，k3为过原点的直线l1，l2，l3的斜率，其中l2是l1和l3的角平分线，则k1，k2，k3满足关系：k1=_,k2=_,k3=_.571.51.5点关于直线对称点关于直线对称点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为 _.当所对应的对称直线斜率为1时，点p x0,y0的对称点p x1,y1的坐标满足f x0=y1f y0=x1 当所对应的直线斜率不为1时p x0,y0的对称点p x1,y1的坐标满足y0-y1x0-x1-AB=-1Ax0+x12+By0+y12+c=0 1.61.6平行与垂直平行与垂直(1)当重合的两条直线l1和l2的斜率存在时，
42、_；如果重合直线l1和l2的斜率都存在，那么它们都与x轴垂直，则l1l2;(2)当两条直线l1和l2的斜率存在时，_；若两条直线l1，l2中的一条斜率存在，则另一条斜率为0时，它们垂直.1.71.7距离公式距离公式点点距P1(x1,y1),P2(x2,y2)：_；点线距P(x0,y0),Ax+By+C=0：_；线线距Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0：_.1.81.8四种直线系方程四种直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P x0,y0直线系方程_;_.(2)共点直线系方程：经过两直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程：_；(3)平行直线系方程：与直线
43、Ax+By+C=0平行的直线系方程：_；(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程：_.2.2.圆的方程圆的方程2.12.1圆的一般与标准方程圆的一般与标准方程(1)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F0，则圆半径r=_.(2)若圆的直径端点A x1,y1,B x2,y2，则圆的方程为：_.(3)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上任意一点P(x0,y0)的切线方程为：_.2.22.2圆的切点弦方程圆的切点弦方程58(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外任意一点P(x0,y0)的切点弦方程为：_；(2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外任意
44、一点P(x0,y0)的切点弦方程为：_.2.32.3 圆系方程圆系方程(1)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0两个交点的圆的方程为 _;(2)过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线Ax+By+C=0两个交点的圆的方程为_;2.42.4 两个圆的公共弦方程两个圆的公共弦方程过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0两个交点的直线方程为 _;圆锥曲线圆锥曲线1.1.椭圆椭圆(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)的面积S为_.(2)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)绕Ox坐标轴
45、旋转所得的旋转体的体积为_.(3)过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的_.(4)已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2中PF1F2=，则焦点三角形面积S=_.(5)过x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点做长轴的垂线与椭圆的焦点弦长为.(6)椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为x0的点P的距离)公式_.(7)y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于两点，则纵坐标之和为_.(8)过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的_ 为定值.(9)过椭圆x2a
46、2+y2b2=1(ab0)的一个焦点做一条斜率存在的直线与椭圆交于A,B两点，AB与x59轴正半轴夹角为，且满足AFBF=,则满足_;(10)过原点的直线与椭圆x2a2+y2b2=1的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值_.推论：椭圆y2a2+x2b2=1上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值 _.(11)假设椭圆焦点三角形的顶点p x0,y0,则内切圆圆心坐标为_;(12)过椭圆外一点做椭圆的两条切线，且两条切线互相垂直的点的轨迹是一个圆，所在方程为 _;俗称蒙日圆(13)设直线l与椭圆交于两点A,B且直线斜率k存在，AB的中点为M x0,y
47、0,则满足_;2.2.双曲线双曲线(1)双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值_.(2)AB是双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则 _;(3)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为_.(4)双曲线焦点三角形的面积S=_;(5)过双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0上任一点A x0,y0任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC=_;3.3.抛物线抛物线(1)抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与_的连线垂直于该焦点弦.(2)AB是过抛物线y2=
48、2px p0的焦点F的弦，A x1,y1,B x2,y2,AF=m,BF=n,直线AB的倾斜角为.60 x1x2=_；y1y2=_.AB=_=_.1m+1n=_.SAOB=_.|AF|=_,|BF|=_;(3)若AB是过抛物线y2=2px p0的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线 _.(4)若AB是过抛物线y2=2px p0的焦点F的弦，过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1,B1,则A1FB1=_.(5)若AB是过抛物线y2=2px p0的焦点F的弦，抛物线的准线与x轴相较于点K，则_.(6)若AB是过抛物线y2=2px p0的焦点F的弦，O为抛物线的顶点，连接AO并延
49、长交该抛物线的准线于点C，则BC_OF4.4.圆锥曲线共性公式圆锥曲线共性公式、结论结论(1)圆锥曲线切线方程过椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)上任意一点P(x0,y0)的切线方程为_；过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上任意一点P(x0,y0)的切线方程为_.(2)圆锥曲线切点弦方程过椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)外任意一点P(x0,y0)的切点弦方程为_；过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)外任意一点P(x0,y0)的切点弦方程为_；过抛物线y2=2px(p0)外任意一点P(x0,y0)的切点弦方程为_.(3)直线与椭圆、双曲线相切条件61椭圆x2a2+
50、y2b2=1(a0,b0)与直线Ax+By+C=0(AB0)相切的条件是_；双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线Ax+By+C=0(AB0)相切的条件是_.（1）定比点差法：点A x1,y1,B x2,y2,AM=MB,则点M的坐标为x1+x21+,y1+y21+若AN=-NB,则Nx1-x21-,y1-y21-,在椭圆或双曲线x2a2y2b2=1 a0,b0中，设A,B是椭圆或双曲线上的两点，调和分割 A,B,即满足AM=MB,AN=-NB,一定有_;(5)蝴蝶定理1设A a,0,B b,0,C c,0,KMNKPQ=KMPKNQ2b2=ac3KMNKPQ=ba=cb=c-bb-