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1、天津市朱唐庄中学2023-2024学年度第一次检测高三 数学本试题分为第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.考生务必填写清楚班级、姓名、学号.将答案填写在答题卡上，考试结束后上交.第卷（共60分） 一、单项选择（每题 5分，共 60 分.每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上）1. 已知，则（ ）A. B. C. D. 2. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 4. 已知p：，q：，则p是q的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充要也不必要条件5. 已知，命题是一
2、元二次方程的一个根，命题，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 下列可能是函数的图象的是（ ）A. B. C. D. 8. 函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 设，则、的大小关系为
3、（ ）A. B. C. D. 11. 设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则，大小关系为（ ）A B. C. D. 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，共30分）13. 已知i是虚数单位，化简的结果为_14. 复数（其中i虚数单位），则=_.15. 已知复数为共轭复数，则的虚部为_.16. 在的展开式中，的系数是_17. 若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为_.18. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为_三、解答题（每题15分，共60分）19. 在中，内角，所对的边分别为，（1）求的
4、值；（2）求的值；（3）求的值20. 在中，角、所对的边分别为、.已知，.（1）求的值；（2）求值；（3）求的值21. 已知底面是正方形，平面，点、分别为线段、的中点（1）求证：平面；（2）求直线EF与平面夹角的正弦值；（3）求点F到面PAC的距离22. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求点N到直线BC的距离（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.天津市朱唐庄中学2023-2024学年度第一次检测高三 数学本试题分为第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.考生务必填写清楚班
5、级、姓名、学号.将答案填写在答题卡上，考试结束后上交.第卷（共60分） 一、单项选择（每题 5分，共 60 分.每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上）1. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】,所以，故选：A2 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式化简,进而由集合的交并补运算即可求解.【详解】或，由得,所以，故选：D3. 已知全集，集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合、，利用并集和补集的定义可求得集合.【详解】因为，又因为，所
6、以，所以故选：D.4. 已知p：，q：，则p是q的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充要也不必要条件【答案】A【解析】【分析】画出数轴，结合小范围可以推出大范围即可求得结果.【详解】如图所示， 所以，故p是q的充分不必要条件.故选：A.5. 已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分、必要性的定义判断命题间的推出关系，即可得答案.【详解】对于命题，为方程的根，则，充分性成立；对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立；
7、所以是的充分必要条件.故选：C6. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解出不等式和，根据两个不等式的解集即可得出答案【详解】由，得，解得；由，得，得因为当时，一定可以推出，而当时，不能推出。所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A7. 下列可能是函数的图象的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD.【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当时，排除选项D，故选：C.8. 函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用
8、函数的奇偶性和单调性进行判断，可得到答案.【详解】因为，所以，又因为函数定义域为，所以函数为奇函数，故A选项错误，又因为当时，函数单调递增，故B和C选项错误.故选：D9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的图象关于原点对称排除部分选项，再由，时的函数值判断.【详解】解：的图象关于原点对称，则是奇函数，排除B；当时，排除C；当时，排除D；故选：A10. 设，则、的大小关系为（
9、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、的大小关系.【详解】因为，因此，.故选：A.11. 设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，即可判断出答案.【详解】由题意得，由于为上的单调增函数，故，故，故选：C12. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则，大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数幂，对数的运算法则进行比较大小，利用函数的奇偶性和单调性进行转化求解即可.【详解】，因为是定义在上的偶函数，所以，因为，且在上单调递
10、减，所以，即.故选：A.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，共30分）13. 已知i是虚数单位，化简的结果为_【答案】#【解析】【分析】利用复数除法化简复数即可.【详解】.故答案为：14. 复数（其中i为虚数单位），则=_.【答案】【解析】【分析】先化简复数，求出可得答案.【详解】因为，所以，.故答案为：.15. 已知复数为的共轭复数，则的虚部为_.【答案】#【解析】【分析】根据复数的运算以及共轭复数的定义即可求解.【详解】由，则的共轭复数，则的虚部为.故答案为：16. 在的展开式中，的系数是_【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于，计算展开式中含有项的系数即可.
11、【详解】由题意得：，只需，可得，所以，故答案为：.17. 若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为_.【答案】【解析】【分析】根据二项式系数和得到，再计算第三项的二项式系数即可.【详解】展开式的二项式系数和为，故，展开式中第三项的二项式系数为.故答案为：.18. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为_【答案】80【解析】【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式通项公式即可得到结果.【详解】由题意，令，则，解得，则的展开式第项，令，解得，所以.故答案为：三、解答题（每题15分，共60分）19. 在中，内角，所对的边分别为，（1）求的值；（2）求的
12、值；（3）求的值【答案】（1） （2） （3）【解析】分析】（1）由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理计算可得；（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由两角差的正弦公式计算可得.【小问1详解】由余弦定理知，所以，即， 解得或（舍负），所以【小问2详解】由正弦定理知，所以，所以【小问3详解】由余弦定理知， 所以， 所以.20. 在中，角、所对的边分别为、.已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到，代入余弦定理计算得到答案.（2）计算，再根据正弦定理计算即可.（3）确定，再根据和差公式计算得到答案.【小问1详解】，则，故，即
13、，解得或（舍去）.故.【小问2详解】，则，则.小问3详解】，故为锐角，则，则，.21. 已知底面是正方形，平面，点、分别为线段、的中点（1）求证：平面；（2）求直线EF与平面夹角的正弦值；（3）求点F到面PAC的距离【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行即可；（2）利用空间向量求线面角即可；（3）利用空间向量研究点面距离即可.【小问1详解】根据平面，平面，所以,又底面是正方形，则,可以建立如图所示以A为原点，所在直线对应轴的空间直角坐标系，则，所以，易知是平面的一个法向量，而，平面，所以平面；【小问2详解】由（1）
14、知，设平面的一个法向量为，则有，所以，令，即，设直线EF与平面夹角为，所以；【小问3详解】由（1）知，显然是平面的一个法向量，则点F到面PAC的距离为.22. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求点N到直线BC的距离（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1） （2） （3）存在，【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面与平面的法向量，根据向量的夹角公式计算即可.（2）计算，再根据点到直线的距离公式计算得到答案.（3）令，得到点坐标，确定平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.小问1详解】如图所示：为中点，连接，则，则四边形为矩形，故，以为轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，取得到，设平面的法向量为，则，取得到，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【小问2详解】，则，故，点N到直线BC的距离为【小问3详解】令，设，则，则，即，平面的一个法向量，故，解得或（舍），故存在点满足条件，.第18页/共18页（北京）股份有限公司