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1、2021年 2 月孝感市高级中学高三数学调研试题卷考试时间：1 5 0 分钟 卷面总分：1 5 0 分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分,共计40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，情把答案添涂在答题卡相应位置上)1.若集合4=卜|9B=xllgx0,则4 n 8=()A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)2.已知命题p:VxeR,则-1P是()A.Vx e R,x2 0 B.Vx g R,C.3 x0 e R x/0 D.3 x0 e R,x02 0,b 0）的上、下焦点，过点F?的直线与双曲线的上支交于点P,若过原点0作直线P%的垂线，垂足
2、为M,|OM|=a,黑=3,则双曲线的渐近线方程为（）A 一号B.y=xC 3C.y=-xn 5D.y=-x2 98 .己知加=2 1 n*n-p=-,则1 1 1兀-1 2-In%A.nmp B.pnm C.mnp D.npm二、多 项 选 择 题（本大题共4小题，每小题5分，共2 0分.在每小题给出的四个选2项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置匕全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得。分.)9.在 封1中，%4=2,*c|=l,AB+AC=2 AP 则下列结论正确的是A-PB PC0 B.P S +P C =6C.PB=-AB-AC D.AP-BP=-2 2 4
3、10 .已知函数/(x)=2(|c o s x|+c o s x s i n x,给出下列四个命题：()A J(x)的最小正周期为n对称C./(x)在 区 间 上 单 调 递 增B.芥)的图象关于直线=D./(*)的值域为-2,2 11.在棱长为1的正方体4 B C D-4 8 c A中，A/川 分别为8。,4。的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足M P 1 C N,则下列说法正确的是()A.点P可以是棱3旦的中点B.线段M P的最大值为士4C点P的轨迹是正方形D.点P轨迹的长度为2+若12.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口
4、袋，重复S e N)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为扁恰有2个黑球的概率为p,，恰有1个黑球的概率为%,则下列结论正确的 是()3、16 7A.p22 =2 7 ,%2=27:、，1 1B.数列 2 p,+g-l 是等比数列C.兄的数学期望E（兄）=1+（；）（N 1D.数列0 的通项公式为凡=（）”-；（1 +L（/?6 N,）10 9 2 3 5三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计2 0 分.请把答案填写在答题卡相应位置上）713.（f+l）（x ）6 展开式中含f 的 项 的 系 数 为.（用数字填写答案）14.一个口袋里装有大小相同的5 个小球，其中红色两个，其余3 个颜
5、色各不相同现从中任意取出3 个小球，其中恰有2 个 小 球 颜 色 相 同 的 概 率 是；若变量丫为取出的三个小球中红球的个数，则 X 的数学期望E（X）=.15.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形,4 B C 的斜边力3、直角边BC、AC,N 为4C的中点，点。在以4 2为直径的半圆上.已知以直角边4。，为直径的两个半圆的面积之比为3,3sin Z.DAB=-,则 cos/DVC5416 .己知正方形ABCD-A B i Q D i的棱长为1,以顶点A为球心，半为半经作一个球,则 球 面 与 正 方 体 的 表 面 相 交 所 得 的 曲
6、线 的 长 等 于.四、解答题(本大题共6小题，共计7 0分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .(本小题满分10 分)已知 M C的面积为4JL再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求:(1)b和c的值；(H)s i n(4-B)的值.1 7条件：a=6,c o s C =-；条件:N =C,8 s B =-.3 9注：如果选择条件而条件分别解答，按第一个解答计分.18.(本小题满分12分)已知数列 4的前 项和S.满足2 S,-加”=3(作N),同的=5.(1)证明：数列 4为等差数列，并求其通项公式；5(2)设b“=1=J一六，7；为数列但
7、的前项和，求使7；也成立的最4 M+i+J 也 1 0小正整数力的值.1 9 .(本小题满分1 2分)如图，在直三棱柱,4 5 C-48c中，AB=AC=2,利=4,A B 1 A C,B E L 4 B 交A 4于 点、E,。为C。的中点.(I )求证：B E 1平面4 B Q；(II)求二面角C-力4-D的余弦值.20 .(本小题满分1 2分)红铃虫(P e c i i n o p h o r a g o s s y p i e l l a)是棉花的主要害虫之一,其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y (个)和温度x(C)的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型y =e
8、加“，J=次2+”分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.6_g)20RO6O4O2 OO18 20 22 24 26 2B 30 32 34 温度忸1产卵数收点图差302 01 001 02 030殂-根据收集到的数据，计算得到如下值:XZt8力（占-刘）.1京-厅1.12（Z j-g-月）.182 52.896461 6842 2 68848.1 870 30 88 A 1 8表中4=l n%：z=-z/S 4=耳：t=曲;u 1.l b i.i（1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由：（2）根 据（1）,中所选择的膜型，求
9、出y 关于*的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数方并求温度为34C时，产卵数y 的预报值.参考数据：e 2 2 4,，黑 2 45,产 a2 68.附：对于一组数据（色，4），（/，V?）,，（与，）,其回归直线=&+/3 的n2冲 j-加斜率和截距的最小二乘估计分别为3=斗-瓦2 eq 2-加？2 1.（本小题满分1 2 分）2 2已知椭圆C：+!?1 4 27(1)求椭圆C的离心率和长轴长；(2)已知直线y =f c c+2与椭圆C有两个不同的交点4 8,P为x轴上一点.是否存在实数%,使 得24 8是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出上的值及点P的坐标；若不存在，说明理
10、由.22.(本小题满分1 2分)已知函.数/(x)=e*-2x+s i n x-l.(1)若函数/(x)在(0,+a)上为增函数，求实数。的取值范围；(2)当1 4 a 2-2f l f e c o s C=4 8 (所以c =4 85分（II）由正弦定理a _ b _ cs i n A s i n B s i n C6 2 班_ _ _-_ _ _ _ _ _ _ _ _s i n J s i n B 2&396Ch；-A.R 而所以 s i n 4 =,s i n 8 =.3 9因为4 Be(0，W),所以c o s 4 =,c o s B=.8分所以 s i n(Z-8)=s i n Z
11、 c o s B-c o s/s i n B瓜5后S a 40-X-X-=-3 9 3 9 910分若选择条件:解：（I ）在 4 BC中,因为力=。，所以a =c.因 为 总 所 以8吗 ,血B=g i学.-2分因为 S =-acsnB=-c2 x 勺二46,2 2 9所 以a=c=3&.4分由 余 弦 定 理b 2=/+c 2-2wc o s 3=64 ,所以6=8.5分（II）由 正 弦 定 理 得 昌=工,s i n J smB所以s i n/=2s i n B=x 勺2=1b 8 9 3因为月e(0,3),所以c o s/l =Jl-s i n 4j3 分所以 s i n(A B)=
12、s i n Z c o s 8 c o s 力 s i n 81 ,7、2“4近 23=-x()-X-=-3 9 3 9 2710分1 8.（本题12分）10解：（1）由2，一为=3 可得,当“22时,=3（-1），-得，（_1）4_（_2）勺=3522）,.2分所 以 当 时,（一2）%一（”-3）%=3,所以（-1院1-（-2）4=（-2）%-（-3）%,整理得2aH=4+%/23）,所以/为等差数列.4分又2S%=3,所以4=3,又见=5,所 以%-%=2,所以q=2+1（6乂）.6 分（2）由（1）可得,。瓜+%如向,向7（向+疯7）1 _ 2+3-S7i42n+1 J2+3（J2）+
13、1+,2 +3）2,2+1，2+3if 1_ 19分所以ii解得又e N*,所以的最小值为8.01 2分1 9.(本题1 2分)解：(I)因 为 三 棱 柱 为 直 三 棱 柱，所以9平面N 8 C,所 以 利1 2C.1分因为4 C上4 8,A B A A A,所以4 c l平面力/避避.3分因为8 E u平面4 4尚8,所以4 C 1 8 E因为B E l/片，A C Q A B A,所以8 E_ L平面，4 BQ.5分(II)由(I)知 典 鸠 制 两 两 垂 直,如图建立空间直角坐标系4-平.则 4(0,0,0),4(2,0,4),0(0,2,2),3(2,0,0).7分设 (0,0,
14、a),所以加=(0,2,2),.叫=(2,0,4)，啊-2,0 ,因 为 赢1赤，所以4 a-4 =0,即1.所以平面.四。的一个法向量为丽=(-2,0/).8分设平面ABD的法向量为 =(x,必z),所以n AD-0,一 所以ttABi=0.2 2z =。2x +4 z =0.y=-z,x=-2z.12令 z =-l,则 x=2,y =,所以平面，4 B Q的一个法向量为w=Q,l,-l).1 0分所以 CO S =竺=产 _ .由已知，二面角C-月BD为锐角，所以二面角C-修-D的余弦值为叵.1 2分620.体 题1 2分)(1)应该选择模型.由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，
15、且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会遮高，故选模型比较合适.3分(2)令z =l n y,z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则2=6+良.8 8.Z叼-血2（炉）卜 产）b=-=r-=S y 0.29,-源 讣 可1 68j o li l6分所以 6=7 底=2.8 9-0.29 x 25 *-4.36.8分则Z关于X的线性回归方程为z =0,29 X-4.36.于是有 1”=0.29 4.36,G-4。必-4%所以产卵数y关于温度X的回归方程为V =e1 0分当 x=34 时，片 =(个)所以，在气温在34 c时,一个红铃虫的产卵数的预报值为
16、24 5个.1 2分1 321.（本题12分）解：（I）由题意：=4,=2,所以a=2.1 分因为薪=/+。2,所以,2=2,C=E.2分c亚所以e =-=-.3分a 2所以椭圆C 离心率为y ,长轴长为4.4 分y 二+2,（”立 昌 乙 消 建 理 得：（*1）八“4=0.1 4 2因为直线与椭圆交于4B 两点，故A。，解得产斗设力（/%），B L,%）,则演+七二嘘飞，玉 4二/石.6分设45中点G(%),n iI%+x,-4 k,2则 飞 二 丁 二 药 yo=hco +2 =,-4 i 2 、故 叱 西T赤7分假设存在上和点尸（见0）,使得P HB 是以P为直角顶点的等腰直角三角形,
17、则P G i 4 B,故/如=-!,2加罪3*备故+B分又因为4刖=,所 以 丽 丽=0.14所以（片-喝片）-（七-巩为）=，即（*-而-加）+W2 =0 -整理得（炉+1）砧+磔-0（演+须）+/+4=0.1“，”4 0分4Wk所以（必+1）寿一7一（2左一不一7+加、4=0,2 k+1 2 i+1一2代入用二 五=，整理得*=1,即F =L.1 1分LtC+12 2当 =T时，P点坐标为（1 0）；当上=1时，P点坐标为（-亍。）.此时，2 4 8是以P为直角顶点的等腰直角三角形.1 2分2 2.因 为f（x）=，-a+co sx,.1 分由函数/卜）在3,+s）上为增函数.则a“+co
18、 sx在x（0,。）上恒成立.令 A（x）=e*+co sx,x e（0,+o o）,h -ex-sinx.3 分当x 0时，ex l.所 以 卜）=/-S也0恒成立.所以6卜）在（0,2）为增函数.所以（x）（0）=2所以a4 2.4分（2）由g（x）=（x-2）f（x）=（x-2 W-o r+sin x-l）,则g（2）=0,g（0）=0所以=2 丫 =0是8卜）=卜一2）小）的两个零点.5分因为1 4 a/（0）=0,无零点.6分1 5所以下面证函数/（X）在（-8,0）上有且仅有1个零点.当x e（8,一可时，：1勺。2,.,.一依2兀加+sin x-l0 .无零点.当x e（-兀,0）时，,飞出不0,设“但 二 广 力 力 州 屋 釜 山 工。，.7分在（-90）上递增.X又：r（0）=2-a0、f（-ii）=en-l-a 0,存在睢-零 点”（一 兀 ）,使 得，）=.8分当X （-X。）时，/（x）0,f（x）在（-耳福）上递减；当X（x（）,o）时./（x）0,/（X）在（/,0）上递增.所以，函数/（X）在（一%0）上有且仅有1个零点.1;故函数/（X）在（-0 0,0）上有且仅有1个零点.综上：当1。2时、函数（力？）/）有且仅有3个零 点.1 2分16