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1、2021年上海市高考数学试卷一、填 空 题（本大题共有12题，第 1 6 题每题4 分，第 7 12题每题5 分，满分54分）1.（4 分）己知 z i =l+i,z 2=2+3 i,求 z i+z 2=.2.（4 分）己知 A=R 2 x W l ,0,1 ,则 4CB=.3.（4分）若/+丁-2 x -4 y=0,求圆心坐标为.4.（4分）如图正方形A B C C,求 屈 正=.5.（4 分）已知 f（x）=3+2,贝 i j f i （1）=.x6.（4分）已知二项式（x+a）5展开式中，/的 系 数 为8 0,则。=.x437.（5分）已知 2 x-y-2 0,z=x-y,则z的最大值
2、为.3x+y-808.（5分）已知%为无穷等比数列,m=3,如的各项和为9,bn=a2n,则数列 晟 的各项和为.9.（5分）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,4 8为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则A B C的面积的取值范围为.1 0.（5分）已知花博会有四个不同的场馆A,B,C,D,甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为.1 1.（5分）已知抛物线V=2 p x （p 0）,若第一象限的A,8在抛物线上，焦点为F，|A F|=2,|B Q=4,|A 8|=3,求直线A 8的斜率为.1 2.（5分）已知G6N*（i=l,2,，9）对任意的髭N*（
3、2 W k W 8）,以=以一1+1或以=超+1-1中有且仅有一个成立，a=6,“9=9,则。1+9的最小值为.二、选 择 题（本大题共有4 题，每题5 分，满分20分）1 3.（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A.y-3x B.y=4 C.y=1 o g 3 x D.y=3x1 4.（5分）己知参数方程1 x=3t-142 t3,/6-1,1 J,以下哪个图符合该方程（）y=2tV 1-t2A.C.oD.1 5.（5分）已知（分=3 s i n x+2,对任意的x i O,=2/（x+0）+2 成立，则下列选项中，8可能的值是（）B.等c_62 5 1 6.（5 分）已知x i,
4、y,X2,）明 工 3,*,同时满足x i V y i,X2）%x s V”；x i+y i=x 2+”=X3+y 3；x i y i+x 3 y 3=2 x 2,以下哪个选项恒成立（）A.2X2 X1+X3C.X22XX3三、解答题1 7.（1 4 分）如图，在长方体 4 8 c -4 8 1 C i h 中，已知 A B=8 C=2,A 4 i=3.（1）若尸是棱4 1 上的动点，求三棱锥C-用。的体积;（2）求直线A B 1 与平面4 C C 1 4 的夹角大小.1 8.（1 4 分）在 A B C 中，已知 a=3,b=2c.（1）若 人=空3求 SAABC.(2)若 2 s i n
5、B -s i n C=1,求 CABC.1 9.（1 4分）已知一企业一年营业额1.1亿元，每年增加0.0 5亿元，利润0.1 6亿元，每年增长4%.（1）求营业额前2 0季度的和；（2）请问哪年哪季度营业额是利润的1 8%?22 0.（1 6分）已 知 三 _+）2=1,F i,放是其左、右交焦点，直线/过点P Cm,0）（/n W2-加）,交椭圆于4,8两点，且A,B在x轴上方，点A在线段B P上.（1）若8是上顶点，|B F；I=IP F；求?的值；（2）若 记 下=工，且原点。到直线/的距离为2叵，求直线/的方程；伊 r 2A 3 1 5（3）证明：对于任意70,zx-y,则 z 的最
6、大值为 4.,3x+y-8 0【解答】解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y=x-z,其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距的相反数，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，联立直线方程：J X=3,可得点的坐标为：B（3,-1）,3x+y-8=0据此可知目标函数的最大值为：物o r=3-（T）=4.故答案为：4.8.（5分）已知 为无穷等比数列，a i=3,c i的各项和为9,bn=a2n,则数列 加 的各项和为处.-5 一【解答】解：设“的公比为4，由。1=3,的各项和为9,可彳导=9,1-Q解得所以。=3义（2）I3加=4 2 =3X
7、（Z）2-1,3可得数列 晟 是首项为2,公比为且的等比数列，9则数列 加 的各项和为一号=卷.1飞故答案为：1 8.59.（5分）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,A 3为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则A B C的面积的取值范围为_ 2,泥 _.【解答】解：如 图1,上底面圆心记为0,下底面圆心记为0 ,连结0 C,过点C作垂足为点M,则 SAABC 蒋X A B X C M，根据题意，A B为定值2,所以SAABC的大小随着CM的长短变化而变化，如图2所示，当点M与点。重合时，C M=0C=F+22点,此时SA/IBC取 得 最 大 值 为x 2 X-x/5 =V 5;
8、如图3所示，当点M与点8重合，CM取最小值2,此时&ABC取得最小值为/x 2X 2=2-综上所述，SAABC的取值范围为 2,遥.故答案为：2,泥.1 0.（5分）已知花博会有四个不同的场馆A,B,C,D,甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 2.-3-【解答】解：甲选2个去参观，有 第=6种，乙选2个去参观，有c j=6种，共有6 X 6=3 6 种，若甲乙恰有应该馆相同，则选确定相同的馆有C；=4种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有A：=6种，共有4 X 6=2 4种，则对应概率p=2 =2,36 3故答案为：2.311.（5分）已知抛物线y=2 p x
9、 （p 0）,若第一象限的A,8在抛物线上，焦点为尸，依 同=2,由Q=4,|A B|=3,求直线A 8的斜率为 匹 .2-【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为/,作4 C，/于点C,BD_ U于点D,A E1 B D于点E,-BE=4-2=2,A E=7AB2-BE2=79-4=V5,直线 48 的斜率 kAB=tan/ABE=1_=故答案为：返.212.(5 分)已知 aWN*(z=l,2,9)对任意的&CN*(2W kW 8),你=次一1+1 或以=以+L 1 中有且仅有一个成立，41=6,49=9,则 41+49的最小值为 31.【解答】解：设从=次+1-以，由题意可得，b k,从-
10、1恰有一个为1，如果。1=历=加=历=加=1,那么 1=6,42=7,43HL 4=3+122,同样也有，。521,46=45+122,4721,48=47+122,全部加起来至少是6+7+1+2+1+2+1+2+9=31；如果历=84=/=6 8=1 ,那么8 =8,。2 2 1,。3 =2+122,同样也有，4421,4 5,2,。621,0122,全部加起来至少是6+1+2+1+2+1+2+8+9=32.综上所述，最小应该是31.故答案为：31.二、选 择 题（本大题共有4 题，每 题 5分，满分20分）13.（5 分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A.y=-3x B.y=x3
11、C.y=logir D.y=3x【解答】解：）=-3 x 在 R 上单调递减且为奇函数，A 符合题意；因为y=/在 R 上是增函数，8 不符合题意；y=log3x,y=3*为非奇非偶函数，C 不符合题意；故选：A.x=3t-4 t 314.（5 分）已知参数方程 二_,Z6-1,1,以下哪个图符合该方程（）y=2tv 1-t2c.【解答】解：利用特殊值法进行排除,当 j=0 时，1=0,1,-1,当 f=0 时，x=0,当 f=l 时，X-1,当 r=-1 时，x,故当y=0 时，x=0 或 1或-1,即图象经过（-1,0）,（0,0）,（1,0）三个点,对照四个选项中的图象，只有选项8 符合
12、要求.故选：B.15.(5分)已知/(x)=3 s i nx+2,对任意的x i O,都存在X 2曰0,使得/(x)2 2=2 f (x+e)+2成立，则下列选项中，。可能的值是()A.B.c.D.I2L5 5 5 5【解答】解：X 1H 0,2/.s i a x i 6 0,1,：.f(xi)62,5,.都存在 X 2(0,?,使得f (x)=2f(x+0)+2 成立,，f(X 2+。)加，忘0,区 +8)同/，:f(x)=3 s i nx+2,二 s i n(x 2 +8 )；1d门 与 s i n(X 2 +8)111a x乙 JILLU s 乙 m a x Ky=s i nx在/I-三
13、，工 上 单 调 递 减，L 2 2 JAs i n(x2+0 s i r r -:一,故A 选项错误,乙 1U b Z斗 凸4兀 匹 卜 a 厂 4兀 13兀1当 时X 2+8 W -1-.,a 、.13 兀 .5兀 V 2 /2,s m(X 2 +8 )sm-sm-=0,故 8选项正确，乙 J I L a A K当 e 时，X 2+0 c 且二，支Z,5 匚 L 5 0 Js i n(x 2+0)g=s ii”s i n I故 C选项错误,5 12 4 6*凸7兀n d*a 厂 7兀 19兀 当 时X 2+8 E -s i n(X 2+0),na x=si r r -s i n2 3,同时
14、满足x i V y i,xiyi,x 3 3；x i+y i=x 2+”=%3+y 3；X中+后冲二？;”，以下哪个选项恒成立()A.2X2X1+%3 C.X 22XU3【解答】解：设/i+y i=x 2+y 2=x 3+”=2?,x p m-ay p m+a根据题意,X 2=m-b (X 3=m-c，0且 苏-。2+川-C2=2(m 2 _ 2)o.则有a2+c2=2 b2m2b2则 X I+X3-2X2=(W-a)+(z n-c)-2 (m-)=2b-(a+c),因 为(2b)2-(+c)2=2 (j+c2)-(a+c)2 0,所以 x i+%3 -2 12=2/?-(a+c)0,所以A
15、项正确，B错误./_ 2xixi-Jf 22=(/n -a X m -c)-(m-b)2=(2b-a-c)m+ac-序=(2b-a-c)m-2而上面已证(2b-a-c)0,因为不知道加的正负，所以该式子的正负无法恒定.故选：A.三、解答题17.(14 分)如图,在长方体 ABC。-AiBCiDi 中，已知 AB=BC=2,AA1=3.(1)若 P 是棱Aih上的动点，求三棱锥C-物。的体积；(2)求直线A81与平面ACOA1的夹角大小.【解答】解：(1)如图，在长方体AB C O-4为0 囱 中，%-P A D.S a P A D 比-平面PA D=y X (yX2X3)X2=2=(2)连接A
16、 ic m c n =。,：A B=B C,，四边形A 1B1CD1为正方形,则又 A 4 _ L08 i,OA i QA A=A,.0B1 J_平面 A CCiA i,直线A Bi与平面A CC1A 1所成的角为/OA Bi,正+22OB j 2 V26sin/0A%=匹=方手二丁二直线A B i与平面A CC1A 1所成的角为arcsin，18.(14 分)在 A BC 中，已知 a=3,b=2c.(1)若 求 SAA BC.3(2)若 2 s i n B-s i n C=1,求 C&A BC.2 2 2 2【解答】解：(1)由余弦定理得c o s A=_=b+c-a=一5 0 92 2b
17、c 4c2解得。2=且，7A BC=JbcsinA=乎 X 2 c2=；2 4 14(2)：b=2 c,二由正弦定理得 s i n B=2 s i n C,又；2 s i n B-s i n C=1,由余弦定理得：cc+b2-2abcosC,又,；a=3,b2c,/.?=9+4?-8 V 2 c,得：3。2-8&。+9=0,解得：c=-J 2 ._ _3当 (1.1+0.05)18%,令/()=0.16X(1+4%)n-(l.l+0.05n)18%,(N*),即要解了()0,则当时，f ()-f in-1)=0.0064*(1+4%)nl-0.009,令/()-fC n-1)0,解得：210,
18、即当时,f (n)递减;当2 1 0时,f (w)递增，由于/1(1)0的解只能在w210时取得，经检验，f (24)0,所以今年第一季度往后的第25个季度，即2027年第二季度的利润首次超过该季度营业额 的18%.220.(16分)已 知：5-+)2=1,fl,F2是其左、右交焦点，直线/过点P 3”，0)(/MW-加)，交椭圆于A,B两 点,且A,B在x轴上方，点A在线段8P上.(1)若8是上顶点，IB F=I PF J求?的值；(2)若下彳工A=工，且原点o到 直 线/的 距 离 为 短 ，求直线/的方程；(3)证明：对于任意?/2 c o s 0,s i n。)，则 不 用=(M c
19、o s B+1)(&c o s B-D+s i n?6=2 c o s2 9 -1+s i n2 6=y 因为A在线段BP上，横坐标小于0,解得 co s 8=_ ，o故A冷,夸），设直线/的方程为丫二女乂磬女廖也。），O O由原点O到直线I的 距 离 为 生 医，15_ W15；化简可得3 5-10%+3=0,解得&=3或女=工,153故 直 线/的 方 程 为 区 或y=3 x+E （舍去，无法满足力-加），3 9 3所以直线/的方程为号；y 3 9y=k x-k m（3）联立方程组1 /，可 得（1+2必）/-依为计2必 加2 -2=0,二1设 A (xi,yi),B(x2,2),4 k
20、 2 m则X 1+X 2=2 k 2 1n 2-29，X X 2 =9l+2 kJ 1+2/因 为 不 用,所 以(2-l)yi=(xi+1)yi,又 丫=收-km.故化简为xx2=一rl+2 k2又 I X1 -x 2 I=J（X1+X2）2-4X X2=1 6 c m=1+2 k两边同时平方可得，以2 -2必加2+1=0,整理可得卜2=二，4-2m当?0，4 2m因为点A,B在x轴上方，所以上有且仅有一个解，故对于任意m -使得F i 色的直线有且仅有一条2 1.(16 分)已知 xi,X 2 6R,若对任意的；V 2 -XIS,f(%2)-/(xi)5,则有定义：f(x)是在S关联的.(
21、1)判断和证明f(x)=2x 7是否在 0,+8)关联？是否有 0,1关联？(2)若f (x)是在 3 关联的，f(x)在 工4 0,3)时，/(x)=x2-lx,求解不等式：2W/(x)W 3.(3)证明：/(%)是 1关联的，且是在 0,+8)关联的，当且仅当“/(x)在 1,2 是关联的【解答】解：(l)f (x)在 0,+8)关联，在 0,1不关联，任取 xi-x2 6 0,+8),则/(X i)-f(2)=2 (xi -X 2)e 0,+8),：.f(x)在 0,+8)关联；取 X l=l,X 2=0,则 X I -X 2=le 0,I J,：f(X I)-f(X 2)=2(X I
22、-X 2)=2?0,1,：.f(x)在 0,1不关联；(2)(x)在 3 关联，.,.对于任意 xi-X 2=3,都有/(xi)-f(%2)=3,对任意x,都有f(x+3)-f(x)=3,由 x 0,3)时，f(x)=f-2 x,得/(x)在 3)的值域为-1,3),：.f(x)在 (3,6)的值域为 2,6),；.2 W/(x)W 3 仅在x6 0,3)或 尤 3,6)上有解，AG 0,3)时，f(x)=7-2 x,令 2 W 7-2 x W 3,解得F+1 WX 1,则/(x+2)-f(x)=/(x+2)-f(x+1)+f(x+1)-f(x)2,与/(x)在 1,2 是关联的矛盾，若f(x
23、+l)-，(X)1,贝 i J f(x+2)-f(x)=f (x+2)-f(x+1)+f(x+1)-f(%)2,与f(x)在 1,2 是关联的矛盾，：.f(x+1)-f(x)=1 成 立,即/(x)是在 1 关联的,再证明/(x)是在 0,+)关联的，任取 xi -也曰小 n+(n 6N),有 i W xi -(n -1)-xiWl,：f(x)在 1,2 是关联的，.1W 加-(M-1)-fCx2)W 2,：f(x)是在 1 关联的，：.f(x+1)-f(x)=1,：.f Cx+k)-f(x)=k,/k i -(n -1)-/(%2)f(xi )-(M-1)-f(%2)G 1,2 ,/nf(xi)-f(%2)W+l,对任意 e N,f(x)在 ，+l 是关联的，(x)是在 0,+)关联的；综上所述，/(x)是 1 关联的，且是在 0,+8)关联的，当且仅当V(X)在 1,2 是关联的”，故得证.