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1、2021年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题(本大题共4小题，共 2 0.()分)1 .已知等比数列 6 的公比为。，前项和为无，则存在”是 0；若。(t)=1，则y=g(x)为单调函数；则下列说法正确的是()A.正 确 正 确 B.正 确 错 误 C.错误正确 D.错误错误4 .关于x的方程|x +a|+|2 x -0-。2|=8 有三个不同的实根，则2 a+b 的最小值为()A.B.3 C.一2 D.016 16二、单 空 题(本大题共1 2 小题，共 5 4.0 分)5 .已知，为虚数单位，且(l +i)z =i 3,则复数z 的虚部为.6 .已知集合A=R,B =
2、0,则A U B =.7 .已知F ,尸 2 是椭圆C：9+?=1的左、右焦点，点 P 在 C上，则A P F/z 的周长为.8 .如果与，x2,%3，的方差是，贝3X2,3X3,3%的方差为.1 0 -19 .计算行列式0 2 1 的值为.2 1-310.已知正整数数列 即 满足Qn+1=3an+1,0n为奇数、子2.,Qn为偶数则当的=8时,a202i =11.为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93,抽到一等品或三等品的概率为0.85,则 抽 到 一 等 品 的 概
3、率 为 .12.已知二项式(2 x -2)”的展开式的二项式的系数和为2 5 6,则展开式的常数项为13.已知函数f(%)=sinx 2cosx,当 =a 时/(%)取得最大值，则cosa=14.在正方形A8CO中，。为对角线的交点，E 为边BC上的动点，若 荏=2 而 十前(儿 0)，则彳+:的 最 小 值 为 .15.在棱长为2 的正方体ABC。-4 1 B 1 G 5,M,N,Q,P 分别为棱&B,/Q,BBCCi的中点，三棱锥M-P Q N 的顶点在同一个球面上，则 该 球 的 表 面 积 为 .16.已知|1 一 q|V|1 q2|w|1-q 3|=|i 一勺为式u 一。5|,夕为非
4、零实数，则“的取值范围是.三、解答题(本大题共5 小题，共 76.0分)17.如图，四棱锥P-A B CO 的底面4BCD内接于半径为2 的圆O,AB为圆O 的直径，A B/CD,2DC=A B,E1为 AB 上一点，PE A BCD,ED A.A B,PE=EB.求:(1)四棱锥P-A B CD 的体积；(2)锐二面角C-P B-。的余弦值.第 2 页，共 15页18.如图，在四边形 ABCD 中，乙48。=45。，Z.ADB=30,BC=1,DC=2,cos乙BCD=工.求：4(1)BD的长度；(2)三角形A3。的面积.19.业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，
5、研发启动时投入资金为4(4为常数)元，之后每年会投入一笔研发资金，年后总投入资金记为/(n),经计算发现当0 W n 4 10时，f(n)近似地满足f(凡)=鼻3其中a=2吾邛/为常数，f (0)=4 已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍 问(1)研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；(2)研发启动后第几年的投入资金的最多.20.已知点尸为抛物线C：y=；/的焦点，点。(0,4),点4 为抛物线C 上的动点，直线/：y=t(t为常数)截以为直径的圆所得的弦长为定值.(1)求焦点尸的坐标；(2)求实数f的值；(3)若点E(0,3),过点A的直线y =x +m交抛物线于
6、另一点8,A 8的中垂线过点D,求，的值和A H B E的面积.2 1.已知数列。/(。门6 N),记%=%+。2+&i，首项。1=g0，若对任意整数k N 2,有01 时，则又=当 芦，.n:*8 q n 不存在，.n，*8Sr i不存在，当0|q|l 时，则=当 斗，.n-#8/=o,;.n:=8 Sn=工，.必要性1 q 1 Q成立，反之当n,*8 S 存在时，则7 1:#8 招=0,0|q|l,.充分性成立，.n-4 8 S n 存在是0 M l 0,都有。)=0,则为(t)=/h(t)=。，则g(x)2 0,故正确；取g(x)=X ,则%(t)=l,但g(x)不是单调函数，故错误；1
7、 0,%=0故选：B.对于，可对函数进行转化再进行判断；对于，可设出一个函数，推翻题设即可.本题考查了函数的基本性质，属于基础题.4.【答案】A【解析】解：由条件知b 0,方程可化为氏+可+|2 x -a|=a2 4-b或+a|+2x-a=a2-b9当Q aX 2 d,-V x -C L-3x,x 0,解得a 0（舍），则2 a +b =a2+-a =（a +-）2 2 4 16 2当a =-3寸,2 a +b取得最小值为一条又当a 0,b0时，2Q+匕 0一竺.16综上所述，2。+6的最小值为工.故选：A.先利用绝对值的定义去掉绝最值，将问题转为|x +a|+2x-a=a2+b或|x +a|
8、+|2 x a|=a 2 b有三个实数根，当a 3右，3%4的方差为3 2 x 1 =3.故答案为：3.直接利用方差运算的结论求解即可.本题考查了特征数方差的求解，解题的关键是掌握方差运算的结论，属于基础题.9.【答案】-31【解析】解：行列式020 12 1 =1 x 2 x (-3)4-0 x 1 x 2 4-(-1)x 0 x 1 -(-1)x1 -32 x 2 l x l x l (3)x 0 x 0 =-3.故答案为：-3.根据三阶行列式的计算方法，求值即可.本题考查了三阶行列式的计算问题，是基础题.10.【答案】4【解析】解：劭=8是偶数，.-.a2=-=l =4 是偶数，.=詈=
9、；2是偶数,d4=y =|=1 是奇数，:.a5=3a4+1=3x14-1=4是偶数，.a6=2是偶数，a7=1是奇数，从第二项开始，正整数数列 an 是以3 为周期的周期数列，2021=1+673 x 3+1,a2021=a?=4,故答案为：4.由数列的递推公式可得从第二项开始，正整数数列。工是以3 为周期的周期数列.本题考查了数列的递推公式和数列的周期性，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.11.【答案】0.78【解析】解：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为4,B,C,(P(A)+P(B)=0.93(P(4)=0.78则1 P(4)+P(C)=0.85，解得(P(B)=0.15,(
10、P(A)+P(B)+P(C)=1(P(C)=0.07所以抽到一等品的概率为0.78.故答案为:0.78.由互斥事件的概率加法公式进行求解即可.本题考查了互斥事件的概率加法公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.12.【答案】112第8页，共15页【解析】解：二项式(2 X 五 一 幼1的展开式的二项式的系数和为2 n=2 5 6,；.n=8,则展开式的通项公式为7 r+i =,(-1)，,2 8 7.炉2-2 乙 令1 2 2 r =0,求得r =6,故常数项为C 2 2 =1 1 2,故答案为：1 1 2.先利用二项式系数的性质求得，在二项展开式的通项公式中，令 x的事指数等于
11、0,求出r 的值，即可求得常数项.本题以二项式为背景，考查二项式的系数和二项式的展开式的通项，考查运算求解能力,考查数学运算、逻辑推理和数学抽象核心素养，属于中档题.1 3.【答案】独5【解析】解：f(x)=sinx-2cosx=V5(y s i nx -等 c o s x)=V5 s i n(x 0)1,x=a 时，函数/(x)取得最大值，s i n(a 。)=1,即s i na -2cosa=V5 又 s i n2 a +c o s 2 a =1,联立得(2 c o s a +V5)2+c o s 2 a =1，解得c o s a =等.故答案为：一等./(久)解析式利用两角和与差的正弦函
12、数公式化为一个角的正弦函数，由x =a 时，函数/(x)取得最大值，得到s i na -2cosa=V5，与s i n2 a +c o s2a =1 联立即可求出c o s a 的值.此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键.1 4.【答案W【解析】解：如图所示，以点A为原点，以A B,A D分别为x,y 轴建立平面直角坐标系，设正方形A B C D的边长为2,则4(0,0),B(2,0),C(2,2),。(0,2),0(1,1),因为点E 是边8 c 上的动点，所以设点E 的坐标为(2,y),则 由 荏=4 而+而
13、可 得：(2,y)=4(2,2)+(1,-1)，所以2；1 +=2,即;1 +2=1,所以：+三=+4 +9=2+i +-+-+2 降=三 +2 =2,入 1 八 2,2 H A 2 y j 乩 入 2 2当且仅当:=轲 取 等 号，此时:+加最小值为支故答案为：以点A为 原 点,以A 8,A。分别为x,y轴建立平面直角坐标系，然后设出正方形的边长，求出四个顶点的坐标以及。的坐标，利用坐标运算即可求出;1+5=1,然后利用基本不等式即可求解.本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到建立平面直角坐标系思想以及向量的坐标运算的性质，考查了基本不等式的应用，属于基础题.1 5.【答案】8 7 r【解
14、析】解：三棱锥M-P Q N的顶点在同一个球面上，由点尸为棱C G的中点，可得底面A P Q N是等腰直角三角形，那么底面4 PQN的外接圆半径r=1,设球心到4 PQN的外接圆的圆心的距离为d,球半径R,则R2 =（M B】一 d）2 +（加）2,d2+r2=R2,联立解得R=V 2.二 该球的表面积S =4TTR2=8 7 r.故答案为：8TT.求解 PQN的外接圆的半径，由球心与A P Q N外接圆的圆心垂直，利用勾股定理求解球的半径，则球的表面积可求.本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.1 6.【答案】（-8,-2 U（0,+8）【解析】解
15、：根据题意，分情况讨论：当0 q q q 2 q 3 勺4 q 5 o,此时有 0 1 q l q 2 l q、l -q l q S i,满足|1 Q|1 -2|1 -q3|1 -q4|1 -q5|,符合题意，当q =1时，也能满足|1 -q l-q2|1-Q3|1-?4|1-符合题意,第1 0页，共1 5页当q 1 时，1 q q 2 q 3 l-ql-q2i-q3i-q4i-q5,满足 口 -q|1 -q2|1 -q3 l-q4|l-q5|,符合题意，当一 1 q|1-qn,不满足|1 -q 1 -q2|1-Q3|1-?4|1-Q5b当一 2q|l q n|,不满足|1 一 q|1 -q
16、2|,当q 2 时,q2 1 (1 q3)=g2(l +q)2 0 恒成立，即q?1 1 q3,同理可证得1 一 q 3 q 4 -i ,O C,易得 0 D C 是正三角形，A B/CD,乙A 0D=Z.0DC=6 0 ,v ED A B,:.ED=V 3，E0=1,:.PE=EB=3,A BCD=3 X (2 +4)X V 3 =3 /3,VP_A B C D=I x 3 /3 X 3 =3 3,二 四棱锥P-A B C D 的体积为3 百.如图建立空间直角坐标系E -xyz,则8(0,3,0),C(7 3,2,0)，0(7 3,0,0).P(0,0,3),前=（次,一3,0）,PB=（0
17、,3,-3）,能=（遍设平面P 3 O 的法向量为瓦=（X i，%,Z i）,由擀某:,嚅:二学0=，取以=1，则向=V 3,Z 1=1,得 式=（8,1,1）,设平面P B C 的法向量为4=（x2,y2,z2）,由禽号叫?葭取为=则*2=亭Z 2 =l，得 底=（今 1,1），（P B -n2=0 13y2 U 3 3设锐二面角C-P B-。的大小为仇则c o s l 需3710535二锐二面角C P 8 0的余弦值为噜.【解析】（1）连接。口，OC,A O D C 是正三角形，求出底面面积和高，即可求解四棱锥P-4 B C C 的体积.（2）建立空间直角坐标系E-盯 z,求出平面P B
18、力的法向量，平面P B C 的法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角C-PB 一。的余弦值.本题考查几何体的体积的求法，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.18.【答案】解：（1）在 B C D 中，由余弦定理可得：B D2=B C2+C D2-2BC-CD-14cos 乙BCD=14-4 2 x 2 x-=4,则 B D =2./（2）在 4 B D 中，N B 4 O=18 0-30 -4 5 =10 5 ,s i n l 0 5 =s i n（4 5 +6 0 ）=y x|+y Xy =由正弦定理可得4B=妇鬻=慧=2（旧 1）,5171105 V2
19、+6 /4则 S-BD=|x 2 x 2（V 3-1）x s i n 30 0 =V 3-1.【解析】（1）在A B C。中，由余弦定理可得（2）在 A B C中，Z.BA D=18 0 -30 -4 5 =10 5,再利用正弦定理可得A8,利用三角形面积计算公式即可得出.本题考查了正弦定理、余弦定理、解三角形、和差公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.【答案】解：（1）由题意知 0）=4 f（3）=3 4第 12页，共 15页9A _ a笠 一 解 得 仁/斤 以 人 方 总-P+为令 n)=8 4,得三标=8 4 解得an=64,即2-等=64，所以n=9.所以研发启动9 年后
20、，总投入资金是研发启动时投入资金的8 倍.(2)由(1)知 71)=高第年的投入资金=f(n)n l)=备缶=总一忍=724an(l-a)_ 724(1-。)%2 4%4m=0,=4y0 16+16m 0 A m 1,v/+%2=4,xrx2=-4m,%+V2=4+2m,67(2,2+m),fepc=1=m=。符合m 1,v A B=+I%x2|=4 V 2V 1+m=4&，点 E 到 A B 的距离为，=%SM B E=4 V 2V 1+m 今 件 6.【解析】（1）化简抛物线方程为标准方程，然后求解焦点坐标.（2）设点A。,学），的中点为c（,厚），直径2r =/W =J 3+（4 -手）
21、2,设截得得弦为GH,圆心C 到弦的距离为d,利用勾股定理，推出f 即可.（3）设4（乙,乃），B（x2,y2）,线段A2的中点为G,联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式，点到直线的距离，求解三角形的面积即可.本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的综合应用，考查设而不求，转化思想的应用，是中档题.2 1.【答案】（I）解：因为品是人的正整数倍，当由=2 1 时，则 S.的 前 1 0 项为2 1,2 2,2 4,2 4,2 5,3 0,3 5,4 0,4 5,所以数列 an 的前 1 0 项为 2 1，1，2,0,1,5,5,5,5,5；（U）证明：当k=2 时，根据题意由+&
22、2 =2 b 为偶数，并且O W a z W l,所以&若如为偶数1 1,若。2 为奇数从而也由由唯i 确定,接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同的取值,假设第k+1 项是第1 个可以有两个不同取值的项,即前面2 项 由 唯 一 确 定，记第k+1 项的两种取值为%+1 和C k+i（Q k+i W喙+1）,根据题意存在 b,c E.Nf 使得%+的+%+=（k+且+做+以+0+1 =（k+1）C（2）并且满足04%+1，ck+1 f c,由两式作差可知，|%+1 0+1 1 是/C +1 的倍数，又因为|以+1 ck+l k,可知以+1 =0+1,与假设矛盾，故假设不成立，所以对任
23、意九 2,数列 an 的第项i由的唯一确定;（in）证明：因为品+i=+纵+i w +%所以也1 i也 i工 组=皂+1,k+l k k.k第 14页，共 15页因为兴L,率都是正整数，由整数的离散性可知沪k+1 k k+1 k因此存在m 0,当n N 时，皂为常数，u U n不妨记为*=c,从而当n 小。时，Sn=cn,所以数列 S 从某一项起为等差数列.【解析】(I)利用品是4的正整数倍，先求出 S 的前1 0项，进而由前项和与第项之 间 的 关 系 求 出 数 列 的 前1 0项即可；(U)首先证明。2由的唯一确定，然后利用反证法，假设第k+1项是第1个可以有两个不同取值的项，结合已知条件进行推导，得到矛盾，从而证明结论；(H I)利用品+i =Sk+ak+1 Sk+k,得 到 鳖 存在M i。，当n 小。时，l为常数，求出又，即可证明.本题考查了数列的综合应用，主要考查了新定义数列的理解，涉及了数列的前项和与第项之间关系的运用，反证法的运用等，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.