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1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学解析注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合4 =x|-2 x 4,8 =2,3,4,5,则408=（）A.2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,4 答案：B思路：利用交集的定义可求解：由题设有A c 8 =2,3,故选：B.2 .已知 z =2 i，则 z（5 +i）=（）A.6-2 i B.4-2 i C.6 +2 i D.4 +2 i答案：C思路：利用复数的乘法和共趣复数的定义可
2、求得结果.解：因为z =2-i,故三=2 +i，故z（z +i）=（2-z）（2 +2 z）=6 +2 i故选：C.3 .已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2 B.2立 C.4 D.4人答案：B思路：设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.解：设圆锥的母线长为I，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则M=2万x&，解得/=2加 故选：B.4 .下列区间中，函数/（x）=7 s i n 一 ）单调递增的区间是（）答案：A思路：解不等式2版 x 2版+（ZeZ）,利用赋值法可得出结论.I jr 71 、解：因为函数旷=$
3、抽%的单调递增区间为2攵 万 一,2左7+,（攵eZ）,对于函数/(x)=7 s i n,由2 左 万 一?4一 2 2 1 万+5(kGZ),A选项满足条件，B不满足条件;取2 =1,故选：A.5冗 =A s i n（5+夕）的单调区间，只需把o x +9看作一个整体代入y =s i n x的相应单调区间内即可，注意要先把。化为正数.5.己知乃 是椭圆。：土+5=1的两个焦点，点M在C上，则|班卜眼闾的最大值为（）A.1 3 B.1 2 C.9 D.6答案：C思 路：本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到|町|+|摩|=2。=6 ,借 助 基 本 不 等 式MFI-MF2 1 1业
4、组1 即可得到答案.解：由题，“2=9,=4,则|知用+|加居|=2。=6,所以阿/讣园居 区j的 生 回=9 (当且仅当四国=|M闾=3时，等号成立).I 2 J故选：C.点评：本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到.6.若ta n”2,则型山里L ()s in 6+cos 66 2A.-B.-5 5答案：C思路：将式子进行齐次化处理，代入t a n8=-2即可得到结果.解：将式子进行齐次化处理得:s in (1 4-s in 2 )s in(s in2 4-cos2 e +2 s in8cos。)s in 0+cos 6 s in 6+cos 0=s ine(s
5、 in6+cos。)s in/9(s in/9+cos/9)_ t a i?8+t a n6 _ 4-2 _ 2s in2+cos2 0 1 +t a n2 0 1 +4 5故选：c.点评：易错点睛：本题如果利用t a n。=2,求出s ina cos e的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.7.若过点(。,。)可以作曲线y =e 的两条切线，则()A.eb a B.e0 bC.Q a eb D.0 Z?ea答案：D思路：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果解：在曲线y =，上任取一点尸，,一)，对函数y =炉求导得了
6、=炉，所以，曲线y =，在点P处的切线方程为y e =d(x f),即y =e x+(l f)d,由题意可知，点(。,。)在直线 y =e x+(l-t)e 上，可得Z?=a e +(l-r)d =(a +l-f)e ，令/(f)=(a +l r)d,则/(f)=(“/)/.当，0,此时函数/(/)单调递增,当，a时，/,(r)0,此 时 函 数 单 调 递 减,所以，/皿=&)=e-由题意可知，直线y =6与曲线y =/(r)的图象有两个交点，则人=e ,当f 0,当r a+l时，/(r)0,作出函数/0)的图象如下图所示:由图可知，当o b(x)+O(c)=D(x),故方差相同，正确；D
7、：由 极 差 的 定 义 知：若 第 一 组 的 极 差 为xmax-xmin,则 第 二 组 的 极 差 为W ax-V m in =(/ax+。)一(*m in+)=%-/in，故极差相同，正确;故选：C D10.已知 0 为坐标原点，点片(cos a,sin a),g (cos/?,-sin/?),4(cos(a+/?),sin(a+D),A(l,0),则()A|西=|西 B.|珂=|两c.OA OP?.=bPx OP D.答案：A CUUIU uuu思路：A、B写 出 西，弧、A P,A吕的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公
8、式化简，即可判断正误.解：A：=(cos a,s ina),O R =(cos 尸,一s in 尸)，所以|西|=J cc e+s in2 a =1，|OP,|=J(cos 时+(s in/?)?=1，故 I OP|=|OP2,正确；B：A P=(cos cr1,s in a),A P2-(cos 1,-s in p),所 以I A P1|=/(cos t z-1)2+s in2 a=J cos?a-2cos a+1 +s in2 a=J 2(l-cos a)=4 s in2 y=2|s iny|,同理I祠l=J(cos/7-l)2+s in2/?=2|s in，|,故|丽旗|不一定相等，错误
9、；C ：由题意得：OA -OPy=1 x cos(a+p)+O x s in(a+y f f)=cos(a+p),OF OP2=cos a-cos s in a (-s inp)=cos(a+。),正确；D ：由 题 意 得：OA OF=lx cos a+O x s ina=cos a,OPy-OPy=cos。x cos(a+尸)+(-s in 尸)x s in(a+0=cos a cos 2,一 s in a s in(3 cos/?-s int zs in cos/?-cos a s in2/7=cos e cos 27 7 s in a s in 2/7 =cos(a+2/?),错误；故
10、选：AC1 1.己知点 P 在圆(x 5 y+()，5)2=1 6上，点4(4,0)、B(0,2),则()A.点P到直线A B的距离小于1 0B.点尸到直线A B的距离大于2C.当N P 8 A最小时，归 却=3拒D.当N P 8 A最大时，归8|=3旅答案：AC D思路：计算出圆心到直线A 8的距离，可得出点P到直线A B的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当N P 8 A最大或最小时，P B与圆M相切，利用勾股定理可判断C D选项的正误.解：圆(x 5)2+(y 5)2=1 6的圆心为“(5,5),半径为4，直线A B的方程为 +4 =1，即x +2y-4 =0,4 2圆心M
11、到直线A B的距离为|5+2,4|=H=1 _屿 4 ,所以，点P到直线A B的距离的最小值为止6-42,最大值为小叵+4 /3 4，MP=4,由勾股定理可得忸P|=乖 而 曰 记=3 7 2,C D选项正确.故选：AC D.点评：结论点睛：若直线/与半径为 圆C相离，圆心C到直线/的距离为4,则圆C上一点。到直线/的距离的取值范围是 d-r,d+r.1 2.在正三棱柱A B C A/C i中，A3 =A4,=1 ,点p满 足 而=4前+瓯，其中4 G 0,1 ,则（）A.当4 =1时，A8 7的周长为定值B.当=1时，三棱锥一46。的体积为定值c.当时，有且仅有一个点p,使得A,P，BPD.
12、当=g时，有且仅有一个点P,使得A B，平面答案：BD思路：对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标;对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C,考虑借助向量 平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数;对于D,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数.解:易知，点p在矩形B CG4内 部（含边界）.对 于A,当2=1时，B P=B C+p B B=B C+/C q，即此时Pe线段C G，A B 7周长不是定值，故A错误；对于B,当=1时，B P =A B C +BB=B
13、B,+,故此时P点轨迹为线段与G，而 B&/B C,B Ci平面ABC,则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.对于c,当力=；时，丽=；1+砾，取6。，4G中点分别为。，“，则 丽=丽+西，所以p点 轨 迹 为 线 段 不 妨 建 系 解 决，建立空间直角坐标系如图，A 十，0，1，P（O,O，），则 4尸=,8尸=0 ,所以=0或=1 .故”,Q均满足，故C错误；1 .1 _对于 D,当=5 时，B P =A B C +-B B,取 C C、中点、为M,N .B P=B M +A M N 0)的焦点为尸，P为C上一点，PR与X轴垂直，。为X轴上一点，且PQ_LOP,若|
14、同=6,则C的准线方程为 3答案：x=2思路：先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.p p uim解：不妨设尸(事,P).Q(6+0),PQ=(6,p)因为所以5 x 6-p 2=0 Q p 0，p=3;.C的准线方程为x=g3故答案为：x=2点评：利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15.函数/(x)=|2x l|-21nx的 最 小 值 为.答案：1思路：由解析式知f(x)定义域为(0,+8),讨论0 x ,、-x 1,并结合导数研究的2 2单调性，即可求X)最小值.解：由题设知：.f(x)=|2x l|-21nx定义域为(0,+oo),.当 0 xV,时，f
15、(x)-l-2 x-2 l n x,此时/(x)单调递减；212当一xl时，/(x)=2 x-l-2 1 nx,有 f (x)=2 l时，/(x)=2 x-l-2 1 nx,有/(x)=2-0,此时/(幻单调递增；x又/(X)在各分段的界点处连续，.综上有：0 1时，/(X)单调递增；A /(x)/(l)=l故答案为：1.1 6.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为2 0 dm x l 2 dm的长方形纸，对 折1次共可以得到l O dm x l 2 dm ,2 0 dm x 6dm两种规格的图形，它们的面积之和R =2 4 0 dn?,对折2次共可以
16、得到5 dm x l 2 dm,l O dm x 6 dm,2 0 dm x 3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S?=1 8 0 d m,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 _；如果对折次，那么 s*=d m2.k=答案：(1).5 (2).7 2 0 15(3：)G “一 4思路：(1)按对折列举即可；(2)根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.5 5 3解：(1)对折4 次可得到如下规格：-d m x T 2 d m,d m x 6 d m ,5 d m x 3 d m,IQdmxd m ,4 2 232 0 d mx d m,共5 种;4(2)由题意可得&=2 x
17、 12 0,52=3X60,S3=4X30,S4=5X15,S=叫，上设5 =12 0 x 2 12 0 3 12 0 4 +2+22+L +12 0(/?+l)n il1 e 12 0 x 2 12 0 x 3 12 0 12 0(+l)则一5=：+-+-L2 21 22 2 T 2两 式 作差得-5 =2 4 0 +12 0(-+4+2 (2 2212。5+1)_ 2小 64一 击)2.11-212 0(/?+1)2=3 6 0 一2一 幽 四1=3 6 0一“。(+3),2，i 2 T2 4 0(几 +3)15(n +3)因此，5 =7 2 0-=7 2 0 T 2 -4故答案为：5；7
18、 2 05(：3)2，-4点评：方法点睛：数列求和 常用方法：(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；(2)对于。也 结构，其中 ,是等差数列，也 是等比数列，用错位相减法求和；(3)对于 4+%结构，利用分组求和法；(4)对 于 一 结构，其中 叫是等差数列，公差为d(d w O),则 一=-LI A4+J a：dyan all+l J利用裂项相消法求和.四、解 答 题：本 题 共6小 题，共70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证明过程或演算步骤.(为奇数，17.已 知 数 列 同 满 足6=1,为偶数.记a=a2n,写出印 瓦,并求数列出 的通项公式；(2)求 。“的前2 0
19、项和.答案：(1)b、=2力2=5；(2)3 0 0.思路：(1)根据题设中的递推关系可得包,|=么+3,从而可求 的通项.(2 )根 据 题 设 中 的 递 推 关 系 可 得 4的 前2()项 和 为S 2 0可 化 为$2 0=2 3+4+%+)1(),利 用 的 结 果 可 求S?o.解:(1)由题设可得=%=+1=2,仇=。4 =3+1=。2 +2+1=5又 a2k+2=a2k+1，a2k+a2k+2，故a2k+2=。2 A+3 即 =2 +3即bn+-bn=3所 以 也 为等差数列，故4=2 +(l)x 3 =3 1.(2)设 的前 2 0 项和为 S 2 0 ,则 2 0 =4
20、+。2 +3 1-a2()因为q=a2-l,a3=%1,，9 =a20-l,所以 20=2（4 +Z4 H-F&+%）-10（9x10、=2伍+4+4+九）-10=2x10 x2+y x 3 ）-10=300.点评：方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合己知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有4 6两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.4类
21、问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：6类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答4类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答1类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.答案：（1）见解析；（2）B类.思路：（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）与（1）类似，找出先回答5类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.解：（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20,100.p（X=0）=l
22、-0.8=0.2；P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；产（X=100）=0.8x06=0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，E（X）=0 x 0.2+20 x 0.32+100 x 0.48=54.4.若小明先回答8问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为o,80,100.p(y=0)=l-0.6=0.4;p(y=8 0)=0.6(l-0.8)=0.1 2；P(X =1 0 0)=0.8 x 0.6 =0.4 8.所以)=0 x 0.4 +8 0 x 0.1 2+1 0 0 x 0.4 8 =5 7.6.因为5 4.4 l)；(2
23、)0.1 6 1 )思路：(1)利用双曲线的定义可知轨迹c是以点耳、工为左、右焦点双曲线的右支，求出。、匕的值，即可得出轨迹。的方程;（2）设点设直线A 3的 方 程 为=设点A（x，y J、联立直线A B与曲线C的方程，列出韦达定理，求出|力4卜|7同 的表达式，设直线P Q的斜率为&,同理可得出|学 归。|的表达式，由T A-|7B|=|7P|丁。|化简可得匕+k2的值.解：因 为 明 用 玛=2 0,。0）,则2。=2,可得。=1,1 T7-a2=4,2所以，轨迹。的方程为炉汽=1（x2 1）；（2）设点丁（；,，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点,不妨直线AB的方程
24、为y-t=k,即 y=,联立1y-=kxx t 2 kI ,消去y并整理可得/俏 2 _ 6卜2+4(/2/一4)%+(/-乙1 人1 6 x2-y2=1 6 1 2 J2I +1 6 =0，设点A（x,y）、3（%2，%），则且工2 1由韦达定理可得玉+(1 Yk；2k、t t h+1 6所以，|叫 阿=0 +上 一1为 一；=（1+片乂卬广警+扑上聋幻乙 乙 乙,）r C1-1 0设直线P Q的斜率为女2,同理可得1 7PH7。|=,2+1 2)(1 +后)-1 6因为|工4 1|1|=|阿|7。|,即(+?)(1 +)=(,+甲(1 +4 2)k、1 6 1 6整理可得好=6，即（匕一修
25、）色+修）=0,显然匕一&2片，故1+左2=0.因此，直 线 与 直 线 尸。的斜率之和为0.点评：方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2 2.已知函数,f(x)=M l lnx).(1)讨论/(x)的单调性；(2)设“，。为两个不相等的正数，S.bna-anb=a-b,证明：2+L e.a b答案：“X)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8)：(2)证明见解析.思路：(1)求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；(2)设工=%,L =x,原不等式等价于2玉+6
26、,前者可构建新函数，利用极值点偏移可a b证，后 者 可 设=tx，从而把玉+x2 e 转化为(r-l)ln(/+l)-rlnr 0 在(1,田)上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.解：(1)函数的定义域为(0,+0,当xe(l,+8)时，.f(x)0,故 的 递 增 区 间 为(0,1),递减区间为(1,+8).(2)因为b lnaalnb=a 6 ,故Z?(lna+l)=a(lnZ?+l),即 In+1 =I n,故小MJ设 工=%,=，由(1)可知不妨设。玉 La b因为x e(0,l)时，,f(x)=x(l-l n x)0,x e(e,+o o)时，/(x)=x(l l n x)
27、(),故 1 /2,若之2,西+2 必成立.若 2,即 证 玉 2-，而。2 /(2 工2)，即证：/(工2)/(2 )，其中1 2.设 g(x)=/(x)-2 -x),l x 2,则 g (x)=/(x)+/(2-x)=-l n x-l n(2-x)=-l n x(2-%),因为l x 2,故0 x(2-x)0,所以g (x)0,故g(x)在(1,2)为增函数，所以g(x)g =0,故 x)/(2 x),即/(工2)/(2工2)成立，所 以 玉+2成立，综上，玉+工2 2成立.设无2 =%,贝 1 ,结合 1r l+J=m可得：,a h a b n i l /i i i ,1 /I /I n
28、 f即：1 一I n%=r(l I n f-l n x J,故l n%=-,要证：x+x2e,即证(f+l)X1 e,即证 l n(r +l)+l n%1,即证：l n(r +l)+1一“1,即证：(r-l)l n(r +l)-r l n r 1,则 S )=l n(f+1)+-l-l n r =l n771先证明一个不等式：l n(x+l)x.设(x)=l n(x+l)x,则t/(x)=-1 =x+1 x+1当-1 X 0；当xo时，M,(x)1时，l n H+y j y -1-j-(故S (0 0恒成立，故S(。在(1,内)上为减函数，故S(r)S(l)=0,故+-H nt0成立，即x,+x2 e成立.综上所述，2 L+,e.a b点评：方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.