《2021年5月南开中学高三数学高考模拟试题卷附答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年5月南开中学高三数学高考模拟试题卷附答案解析.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年5月南开中学高三数学高考模拟试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共 1 5 0 分，考试用时1 2 0分钟。第 I 卷 1至 3页，第 U 卷4至 6页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2 .本卷共9小题，每小题5分，共 4 5 分。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集
2、合力=X GN|0X c a(B)b a c(C)c ba(D)a bc(6)已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，圆锥的母线长为3,侧面展开图的面积为 立，则球。的表面积等于(A、8 1 兀 .8 1 7 t .兀 1 2 1 7 t(A)(B)(C)-(D)-8 2 8 2(7)已知抛物线y=2 p x(p 0)上一点”(1,町(,0)到其焦点的距离为5 ,双曲线土-炉=1 的左顶点为Z，若双曲线的一条渐近线与直线4M平行，则实数a 的值是2(A),(B)(C)1 (D)-9 2 5 5 3(8)已知/(x)=s in x +9+g)同时满足下列三个条件：|/(x j -/(%)|=2
3、时 归-引 最 小 值 为1:y=f是奇函数;/（0）/（5.若/（x）在 0,/）上没有最大值，则实数，的范围是(A)(B)og(C)一兀，一1 1兀6 1 2(D)5 1 1一砥一n6 1 2（9）如图，已知B,）是直角C两 边上的动点，AD 1BD,画地,皿。=*CM=|（C4 +CB）,CW =y（CD +C4）,则 丽丽 的 最 大值为4+而 s、2+V1 3 4+而k D k C 72-2-4。邛3第n卷注意事项：i.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共11小题，共 10 5分。二、填空题：本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分.(10”是虚数单位，复数z
4、 满足(1+2山=3-币3 为 虚 数 单 位),则 目 的 值 为.(11)的展开式中/的系数为.(用数字作答)(12)已知过点P(0,l)的直线/与直线4x-3y=0垂直，/与 圆/+/+2%-6歹+6=0相交于48 两点，则线段4 8 的长为.(13)20 21年是中国共产党成立10 0 周年.现有4,8 两队参加建党10 0 周年知识竞赛,每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1 分，答错得0分；力队中每人答对的概率均为9,8 队中3 人答对的概率分别为4，且各答题人答题正确与否互不影响，3 3 3 3设 2 队总得分为随机变量X,则X 的数学期望为.若事件V 表示“/队共得2
5、 分”，事件N 表示“8 队共得1分”，则 P(MN)=.(14)已知实数x,y 满足xl,y 0且 x+4y+_+,=ii,则 _+_!_ 的最大值为x-1 y x-1 y(1 5)已知函数/(x)*(x+D+，x，其中用 一,对 于 任 意 s e R 且 0,均存在OY-/)+l,X 6 0)的左、右顶点，8为椭圆C的上顶点,a,b点4到直线48的 距 离 为 孚，椭圆c过点 半，应.(1)求椭圆c的标准方程；(2)设直线/过点4,且与X 轴垂直，P,。为直线/上关于X 轴对称的两点，直线4P与椭圆C相交于异于4的点。，直线。与X 轴的交点为E,当 P 4 2 与 P E Q 的面积之差
6、取得最大值时，求直线4P的方程.数 学 第 5 页(共 6 页)5(1 9)(本小题满分15分)已知数列%的前项和为S.,满足S“=2 a,-l(w N*),数列也 满足，也+1 -(+1)4=(+l)(/z e N)且,=1 .(1)证 明 数 列 为 等 差 数 列，并求数列 4 和 的通项公式；(2)若%一；，求数列匕,的前2“项和；(3+21og,a)(3+21og2an+1)(3)若4,=。,病，数列 4 的前”项和为。“，对任意的 e N*,都有D“WS,-a,求实数。的取值范围.(2 0)(本小题满分16分)已知函数/。)=住+4 的 极 大 值 为 匕,其 中 e=2.7182
7、8为自然对数的底数.x e(1)求实数4的值；(2)若函数g(x)=e、-,对任意xe(0,+oo),g(x)4(x)恒成立.(i)求实数的取值范围；(i i)证明：x2/(x)asinx+x:-1.6答案：2021-05-14 参考答案1.2.1 2 3 4 5 6 7 8 9CAACBAADC5.6.7.8.9.1 0.v/51 1.4 01 2.2 g1 3.1,三2 71 4.91 5.3,(-6,-3)1 6.(1)由余弦定理，得 c o s B=二比，c o sC =犬+产F2 ac 2 abQ2+g2 一 万 2 c b _ h-2 c 小+为 /二-2 +屋b2 a+c整理得
8、a2 4-c2 b2=ac,所以c o s B=一!,2 ac 2因为3为三角形的内角，所以B=,?r.J(2)b2=a2+c2-2 ac c o s B=22-t-32-2 x 2 x 3 x c o s又由于 a=J,得 si n A =y s m B =-=-,sm 4 sm B b,1 9=1 9,b-/1 9,又因为B=4为锐角，所以 c o s 4 =/l -si n2 A=当 胃，si n 2 A =2 si n A c o s 4 =,c o s 2 4 =c o s2 A -si n2 A=1 9 1 9所以 si n 2 A -B)=si n 2 4 c o s5 -c o
9、 s 2 Asi n B =-气 产.3 8,整理得 取 AB 的中点F,连接。F,交4B 于点尺，可知M 为DF的中点，连接EM,易知四边形GO ME为平行四边形，所以G。EM,又G。，平面4 8 E,E M C平面A iBE,所以G。平面4 BE.分别以C A,C B,CG所在的直线为工轴，）轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,7可得 B(0,2,0),G (0,0,2),E(0,0,1),4,(2,0,2),则 耐=(0,-2,2),居=(2,0,1),磊=(0,2,-l),设平面A B E的法向量为it z),则 日=，即 卜+2=0,it-E B =0,2?/z=0,令工=1,可
10、得 y=-l,z)=_ 2,即 寸=(1,一1,-2),所以cos(时,7?)=.暮N=-华、1 8 a l.向 6所以直线B G与平面A、B E所成角的正弦值为华.(3)假设在棱 CG 是存在一点 P,iSC P=a(0 a 2),可得 P(0,0,a),由 4(2,0,0),B(0,2,0),可 得 句=(2,0,-a),词=(0,2,-a),设平面P AB的 法 向 量 为 =(叫,加,zi),则1亦巴=0,即代-az=0,7/t-P B=0.2 y2 az=0,令z=2,可得出i=a,yx a,即 nt=(a,a,2),又由平面AB E的一个法向量为It=(1,-1,-2),所以 co
11、s(nt,7?)=.=/=因为平面P 4 3与平面4 G E所成二面角为60。，可得 2-产=cos600=!，/+7 +4 飞 2解得=,此时a=卓，符合题意，J 1 5所以在梭CC1上存在一点。，使得平面P 4 B与平面4 1 8 E所成二面角为60。，且CP=*.5（1）由题意知从2（。,0）,小（一&0）,5（0,6）,则直线A i B的方程为y=x+b,即 直 ay 4-ab=0,a所以点A2到直线小B的距离d=，乎.=生 投，即 与=日.Va2+炉 7 山 4又椭圆C过 点（竽,四），所 以5+看=1.联立，解 得 =4,=3,故椭圆C的 标 准 方 程 为 亨+牛=1.由 知42
12、（2.0）,直线/的方程为1=一2.由题意知直线A2P的斜率存在且不为0,设直线A2P的方程为J =my+2（in丰0）,联立“=-2,解得x=m y+2,即 P（-2，V），Q（一4）.联立x=m y+2(m r 0),上+或=14+3 b消去r整理得(3加2+4)y2+12 my=0,解得=0或片言.8由点D异于点A2可得D(-6/+8 1 2 m 3m?+4 3 m2 4-4 /所以直线OQ的方程为(T2 7 n _+2)_(-6一 +8 3m 2 +4 m )1；3m2 4-4 6 m2+437层+2+2)G T)=0,所以|4 E|=2 一 fO lli 十 /=-3 m1 22m+
13、22 所以 P 4 Q与N P E Q的面积之差为SPA.Q 一 SAP EQ=2s s.因为2 s，LE=2X 普五-4 I=4 8 1 m lI m I 37 n 2 +2当且仅当,n =乎 时 取等号.故当 P A z Q与4 P E Q的面积之差取得最大值时,4 831 m l +高直线A2P的方程为3%+-6 =0或3*-瓜-6 =0.令 g=0,W XE=4 4佩Cn=(-I)(2)=(-1)-1 9.(1)Sn=2 an,-1 (n e N*),2 时，an=Sn-Sn_i=2 an-1 -(2 an-i-1),化为：an=2 0时1 .n =1 时，ai=2 t ii 1,解得
14、 a1=1.所以数列%是等比数列，公比为2,所以=2”-1数列 鼠 满足 nbn+i (n +1)=n (n 4-1)(n N*)化为：刍斗_&=1,且 瓦=1,所以数列 今 为等差数列，公差为1,首项为 =1,所 以 =1 4-n l =n,bn=n2.n_ 4 (n +1)_(3+2 1 0 g2 a“)(3+2 1 0 g2%+i)4(n+1)(2 n +l)(2 n +3).(1+-L )1 2 +1 2 n 4-3 7 *所以数列 c,J的前加 项和 =(l +l)(1+7)+(7 +9)+-(4 T T +4 T 3)=1 1=W 4，+34=1 2 n +9,(3)rf=a =n
15、-2 T,数列 r f,的前 n 项和为 D=1+2 x 2 +3 x 22+.+n-2 -,2 D=2 4-2 x 22+.+(n-1)-2 -1+n 2”,“所以 _ D“=1+2 +2?+.+2 -i-n -2 =-n-2u,2 1解得 D“=(n-l)-2 +l,5n=2 a-l =2n-l,对任意的n 6 N*,都有Dn 0,所以数列 dn单调递增，所以 a W(dn)m j n =山=。，所以实数a的取值范围是(-0 0,().2 0./Q)的定义域为(0,+0 0),9令/(1)0,解得：0 /e,令/(z)et所以当，(0,e),/(/)为增函数，当N S(e,+oo),/(1
16、)为减函数,所以工=e时，f(x)有极大值/(e)=4-6=1 +e,所以b=l.(2)(2)【解法一】由(1)知，工)=虹+1,X则 g(x)af(x),即 e*-9 2+a 对 Mx (0,+8)恒成立,x x所以 xex 一 aa In +ai 对 Vi (0,+oc)恒成立，即 xex-a Ina;a优 一 a0 对 Vt (0,+8)恒成立，设 h(J)=xex-a In r-a x-a,则力 Q)0 对也r C(0.+8)恒成立,(i)若。0,当 W(0,l)时，h(x)=n 铲 一 anx-a x -a e-ahiz-2a,则 h-2)e-lne-2-2a=0,不合题意;(i i
17、)若a=0,则h()=洸工0对VE W (0,+oc)恒成立，符合题意;(iii)若 a0,则力(t)=(1+1)e，-巴一 a=(x 4-1)(eT-),JJ x/设()=e，-，则炉(z)在(0,+oo)上为增函数，x因为 9()=即一10,5(Q：g-ct 3 0,所 以 设 (徐 力 使,(珀=/。-*=0,当W(O,o时，8(i)0,()0,h1(x)0,八(1)为增函数;所以八(1)h(xo)=io铲 ahio-*一,因为e*。一 乌=0,.G i所以 e*。=,InXQ=In a XQ,XQ所以 4(%)=g-a(lu a-x0)-ax()-a=-a In a,-o则-a ln
18、a0,即 InaW O,即0 a l；综上0 a ，/(5)=一 1 ，所以五1 使得 乂为)=1+11+hii=0,当工 G(0,J?I)时，h(a?)0,当/=为时，1 +1+Ini=0时，0 4优工对Vi W (0,+oo)恒成立，所以a W R;当 4 1 时，即1+1+In#0时，设夕(x)=-，1 4-x 4-In x则10C(n)=(宴 +1)e*(1 +I n r)xex(ill)(1 +r r +I n x)2(+l)e*(1 +i+I n ar)c，(1 +1)(1 +1 +I n a?)2,1),使得p(1 2)=l n g+N 2 =0,_（x +l）ex（I n x
19、4-x）（1 4-x 4-I n x）2设 p（x）=I n i+N,因为 p（z）=h i%+为单调递增函数，且 p（：）=-1 0,所以九2 当勺（0,1 2）时,p（x）0,（x）0,（1）0,g（）是增函数，所以3 s um=（工外=,又因为l n o；2 +啊=0,所以曲铲2 =卢=e（,=1,所以3 3）m in =夕（的）=1，当 1 +I n 0时，a 4 -：对VN G （为,+oc）恒成立，1 +1 +I n 1因为3（1）在（叫,.*2）上是减函数，在（/：2,+8）上是增函数，所以 a4(p(X2)=1；当 1 +4+I n .r 9(0)=0;综上0 W a W 1
20、.【解法三】由(1)知，/3)=学+1,则9()a f)，即 c 一 色 +Q对 V z W (0.+o o)恒成立，X X所以 xex aa h i n+aa:对 V/(0,+o o)恒成立,即 xex a In n aj r -Q2 0 对 V i (0,-Fo o)恒成立，设 h(x)=xex-a In x ax a,则刀(t)0 对 V i (0,-Fo o)恒成立,h(x)=e,nxcx alnx ax a elnx+x a(Inx+土)一 a,设 Ini +1 =t,t R,原问题转化为：=/-a f-a 2 0对口 W R恒成立，(i )若 a 0,当 t W(-o o,0)时，(p(t)=el at a I at at则 0,则 0,t Ina,令(/()0,#Ina,所以当t G(o c,Ina)时，夕为减函数，当 t (Ina,+o c)时，9(t)为增函数，所以夕ip(Ina)=e,na-a lu a a=a In a0,即 Ina40,即 0 a s i n x 4-x2 1,只需证 I?(JILL+I)ASj1 1 x+？i,KP j r In a：+x2 a s i n+a：2 1,即 i h i 1 +1 a s i n ,只需证迎 王，X X1 1