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1、8.7双曲线基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.双曲线的概念知识梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做_ .集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c2a，其中a，c为常数且a0，c0.双曲线的焦点双曲线的焦距2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程 图形性质范围_对称性对称轴：对称中心：_顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线_离心率e ，e_，其中c_实虚轴线段A1A2叫做双
2、曲线的实轴，它的长A1A2 ，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2 ；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2_(ca0，cb0)xa或xa，yRxR，ya或ya坐标轴原点(1，)2a2ba2b23.等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2y2(0)，离心率e ，渐近线方程为.4.双曲线的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l()的距离的 是常数e(e1)的点的轨迹是双曲线.定点F是 ，定直线l是 ，常数e是 .实轴与虚轴yx点F不在直线l上比焦点准线离心率1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线
3、吗？为什么？概念方法微思考提示不一定.当2aF1F2时，动点的轨迹是两条射线；当2aF1F2时，动点的轨迹不存在；当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a0，b0，二者没有大小要求，若ab0，ab0,0a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为题组二教材改编4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.把点A(4,1)代入，得a215(舍负)，题组三易错自纠5.(多选)(2020辽宁六校协作体月考)若方程 1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是A.若C为椭圆，则1t3或t1C.曲线
4、C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1t0时，2m4，m2；当mb0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为解得a24，b212，解析设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程.(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 (0)，再根据条件求的
5、值.思维升华SI WEI SHENG HUA注意双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2ny21(mn0)，其中当m0，n0，且mn时表示椭圆；当mn0)；双曲线的几何性质题型三多维探究命题点1渐近线例2(1)已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则m等于A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2019江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 1(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_.命题点2离心率例3(1)(2019浙江)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是解析因为双曲线的渐近线方程为xy0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足ab，将
6、x2y2a2，整理得c44a2c24a40，即e44e240，思维升华SI WEI SHENG HUA求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.跟踪训练2(1)(2019汉中模拟)若双曲线x2 1(m0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是A.2 B.C.1 D.4渐近线方程设为bxay0，故由题意可得bm4.可得焦点到渐近线的距离(2)(2019安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线 1(a0，b0)上一点，则其离心率的取值范围是(3)(2019天津)已知抛物线y24x的焦点
7、为F，准线为l.若l与双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且AB4OF(O为原点)，则双曲线的离心率为课 时 精 练基础保分练1.(2020衡水质检)对于实数m，“1m2”是“方程 1表示双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件则(m1)(m2)0，得1m0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A.xy0 B.x y0C.xy0 D.2xy0123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16123
8、456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16知OF3，所以OPOF3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，6.已知离心率为 的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若16，则双曲线的实轴长是A.32 B.16 C.84 D.4123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16所以双曲线C的实轴长为16.故选B.123456789 10 11 12 13 14
9、15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16且一条渐近线方程为x2y0，123456789 10 11 12 13 14 15 16故选AD.123456789 10 11 12 13 14 15 168.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则A.双曲线C的渐近线方程为yxB.以F1F2为直径的圆的方程为x2y21C.点P的横坐标为1D.PF1F2的面积为123456789 10 11 12 13 14 15 16解析等轴双曲线C：y2x21的渐近线方程为yx，故A正确；所以以F1
10、F2为直径的圆的方程为x2y22，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2y22上，不妨设点P(x0，y0)在直线yx上，则点P的横坐标为1，故C正确；故选ACD.9.(2019华中师大附中月考)过双曲线 1(a0，b0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为_.123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 1610.(2020焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与直线l：x2y0相互垂直，点P在双曲线C上，且PF1PF23，则双曲线C的焦距为_.即b2
11、a，由双曲线的定义可得2aPF1PF23，123456789 10 11 12 13 14 15 1611.如图，F1和F2分别是双曲线 1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_.解析设F1F22c，连接AF1，F2AB是等边三角形，且F1F2是O的直径，AF2F130，F1AF290，123456789 10 11 12 13 14 15 1612.(2020临川一中模拟)已知双曲线 1(a0，b0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点.若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点
12、Pi(i1,2)，使得 0，则双曲线离心率的取值范围是_.123456789 10 11 12 13 14 15 16解析设c为半焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，所以BF：bxcybc0，以A1A2为直径的圆的方程为O：x2y2a2，所以O与线段BF有两个交点(不含端点)，技能提升练123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为x1a，x2a，所以x1a,3x23a，故3x2x14a，所以双
13、曲线离心率的最小值为2.123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16拓展冲刺练123456789 10 11 12 13 14 15 16解析OFc，OEa，OEEF，123456789 10 11 12 13 14 15 16E为PF的中点，OPOFc，PF2b，设F(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为PFF的中位线，则PF2OE2a，可设P的坐标为(m，n)，则有n24cm，由抛物线的定义可得PFmc2a，m2ac，n24c(2ac)，又OPc，即有c2(2ac)24c(2ac)，化简可得，c2a
14、ca20，即e2e10，123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16解析如图，由双曲线C的方程可知a21，b28，c2a2b2189，c3，左焦点E(3,0)，右焦点F(3,0)，当APF的周长最小时，PAPF最小由双曲线的性质得PFPE2a2，PFPE2，123456789 10 11 12 13 14 15 16又PEPAAEAF15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，APF的周长为AFAPPF15PEAP21515232.解得x7(舍)或x2，2023/10/2475谢谢观赏勤能补拙，学有成就！