《山东省实验中学2023-2024学年高三上学期第一次诊断考试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省实验中学2023-2024学年高三上学期第一次诊断考试数学试题含答案.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司绝密启用并使用完毕前绝密启用并使用完毕前山东省实验中学山东省实验中学 2024 届高三第一次诊断考试数学试题届高三第一次诊断考试数学试题 2023.10注意事项：注意事项：1答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码2本试卷满分本试卷满分 150 分，分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷为第分，分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷为第 1页至第页至第 2 页，第卷为第页，第卷为第 3 页至第页至第 4 页页3选
2、择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号4非选择题的作答：用非选择题的作答：用 0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效第卷一、单项选择题：本题共黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效第卷一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一
3、项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合24xAx，11Bxx，则AB（）A.0,2B.1,2C.1,2D.0,12.已知复数z满足i2iz，其中i为虚数单位，则z为（）A.12i B.12iC.12i D.12i3.“0,4b”是“Rx，210bxbx 成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设随机变量X，Y满足：31YX，12,3XB，则 D Y（）A.4B.5C.6D.75.设数列 na为等比数列，若2342aaa，3454aaa，则数列 na的前6项和为（）A 18B.16C.9D.76.已知函数
4、,023,0 xaxf xaxa x满足对任意12xx，都有12120f xf xxx成立，则 a 的取.第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司值范围是（）A.0,1B.2,C.10,3D.3,247.已知函数 f x为 R 上奇函数，1fx为偶函数，则（）A.20fxf x B.1fxfxC.22f xf xD.20230f8.已 知OA，OB，OC均 为 单 位 向 量，满 足12OA OB ，0OA OC ，0OB OC ，OCxOAyOB ，则3xy的最小值为（）A.3 2114B.33C.714D.-1二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小
5、题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.下列说法正确的是（）A.在研究成对数据的相关关系时，线性相关关系越强，相关系数r越接近于 1B.样本数据：27，30，37，39，40，50 的第 30 百分位数与第 50 百分位数之和为 68C.已知随机变量2,XN，若151P XP X，则2D.将总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,x x和21s，22s，若12xx，则
6、总体方差2221212sss10.若110ab，则（）A.22abB.2abbC.lnlnabD.abab11.已知函数 1sinsinf xxx，则（）A.yf x的图象关于原点对称B.f x的最小正周期为C.yf x的图象关于直线2x 对称D.f x的值域为 R12.在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 yf x的图象绕坐标原点逆时针旋转090后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 f x为“旋转函数”，则（）的第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司A.存在“90旋转函数”B.“70旋转函数”一定是“80旋转函数”C.若 1g xaxx为“45旋转函数”，则1a D.若 exbx
7、h x 为“45旋转函数”，则2e0b 第卷第卷三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.若1cos43，则sin2_14.已知平面向量a，b为单位向量，且0a b，若25cab，则cos,a c _15.二项式20235x展开式的各项系数之和被 7 除所得余数为_16.若函数 2sincos1f xx在区间0,2恰有 2 个零点，则的取值范围是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC中，内角 A，B，C对边分别为
8、 a，b，c，已知120A，1b，2c（1）求sin B；（2）若 D 为 BC 上一点，且90BAD，求ADC的面积18.已知数列 na前 n 项和为nS，且2nSnn（1）求 na的通项公式；（2）若数列 nb满足2,2,nnana nbn为奇数为偶数，求数列 nb的前 2n 项和2nT19.如图，某公园拟在长为 8（百米）的道路 OP 的一侧修建一条运动跑道，跑道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数sin0,0yAx A，0,4x的图象，且图象的最高点为3,2 3S，跑道的后一部分为折线段 MNP为保证跑步人员的安全，限定120MNP（1）求 A，；的的第 4 页/共 4 页学科网（
9、北京）股份有限公司（2）求折线段跑道 MNP 长度的最大值20.已知 f x、g x分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且 exf xg x.（1）求 f x的单调区间；（2）对任意实数x均有 230gxaf x成立，求实数a的取值范围.21.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13记该顾客第 n 次摸球抽中奖品的概率为nP（1）求2P值，并探究数列 nP的通项公式；（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的
10、概率最大，请给出证明过程22.已知函数 lnaf xxx的最小值为 1（1）求 a；（2）若数列 nx满足10,1x，且1nnxf x，证明：1322nnnxxx的第 1 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司绝密启用并使用完毕前绝密启用并使用完毕前山东省实验中学山东省实验中学 2024 届高三第一次诊断考试届高三第一次诊断考试数学试题数学试题 2023.10注意事项：注意事项：1答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码2本试卷满分本试卷满分 150 分，分为第卷（选择题）和
11、第卷（非选择题）两部分，第卷为第分，分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷为第 1页至第页至第 2 页，第卷为第页，第卷为第 3 页至第页至第 4 页页3选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号4非选择题的作答：用非选择题的作答：用 0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答
12、题卡上的非答题区域均无效第卷第卷一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合24xAx，11Bxx，则AB（）A.0,2B.1,2C.1,2D.0,1【答案】B【解析】【分析】化简集合A 和B，即可得出AB的取值范围.【详解】解：由题意在24xAx，11Bxx 中，2Ax x，12Bxx12ABxx故选：B.2.已知复数z满足i2iz，其中i为虚数单位，则z为（）A 12i B.12iC.12i D.12i【答案】C.第 2
13、 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】计算1 2iz ，再计算共轭复数得到答案.【详解】2ii2i12iiiiz ，则12iz .故选：C3.“0,4b”是“Rx，210bxbx 成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由Rx，210bxbx 成立求出 b 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由Rx，210bxbx 成立，则当0b 时，10恒成立，即0b，当0b 时，2040bbb，解得04b，因此Rx，210bxbx 成立时，04b，因为(0,4)0,4)，所以“0,4b”是“Rx
14、，210bxbx 成立”的充分不必要条件.故选：A4.设随机变量X，Y满足：31YX，12,3XB，则 D Y（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】二项分布与n次独立重复试验的模型先利用二项分布的数学期望公式求出D X，再利用方差的性质求解即可【详解】解：因为12,3XB，则11421339D X，又31YX，所以 224313349D YDXD X故选：A5.设数列 na为等比数列，若2342aaa，3454aaa，则数列 na的前6项和为（）第 3 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司A.18B.16C.9D.7【答案】C【解析】【分析】由已知条件求出等比数列 na的
15、首项和公比，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列 na的公比为q，则223412234511214aaaa qqqaaaa qqq，解得1172aq，因此，数列 na的前6项和为611 2791 2.故选：C.6.已知函数,023,0 xaxf xaxa x满足对任意12xx，都有12120f xf xxx成立，则 a 的取值范围是（）A.0,1B.2,C.10,3D.3,24【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.【详解】f x满足对任意12xx，都有12120f xf xxx成立，f x在R上是减函数，00120203aaaa
16、a ，解得103a，a 的取值范围是10,3.故选：C7.已知函数 f x为 R 上的奇函数，1fx为偶函数，则（）A.20fxf x B.1fxfxC.22f xf xD.20230f【答案】C第 4 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和对称性，逐项分析、判定选项，即可求解.【详解】对于 A 中，函数1fx为偶函数，则有11fxfx，可得2fxfx，又由 f x为奇函数，则 22,fxfxfxf x ，则有2fxfx ，所以 2fxf x，即 2=fxf x，所以 A 错误；对于 B 中，函数1fx为偶函数，则有11fxfx，所以 B 不正确
17、；对于 C 中，由 2+=fxfxf x，则 42f xf xf x，所以 f x是周期为 4 的周期函数，所以22f xf x，所以 C 正确；对于 D 中，由 f x是周期为 4 的周期函数，可得 1 5023140261ffff ，其中结果不一定为 0，所以 D 错误.故选：C.8.已 知OA，OB，OC均 为 单 位 向 量，满 足12OA OB ，0OA OC ，0OB OC ，OCxOAyOB ，则3xy的最小值为（）A.3 2114B.33C.714D.-1【答案】B【解析】【分析】首先确定向量,OA OB 的夹角，从而构建单位圆，确定向量,OA OB OC 的坐标，并利用三角函
18、数表示3xy，并利用三角函数求最小值.【详解】1cos,2OA OBOA OBOA OB ，所以,3OA OB ，第 5 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司根据0OA OC ，0OB OC ，则,0,2OA OC ,0,2OB OC ,如图，建立平面直角坐标系，设()1,0A，13,22B，cos,sinC，,6 2，由OCxOAyOB ，可知，cos23sin2yxy，得3cossin3x，2 3sin3y，32 21 3 312 2133cossincossincos3332 72 7xy，其中3 311cos,sin,tan2 72 73 3，所以0,6，则,62，所以当2时，所
19、以3xy的最小值是33.故选：B二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.下列说法正确的是（）A.在研究成对数据的相关关系时，线性相关关系越强，相关系数r越接近于 1B.样本数据：27，30，37，39，40，50 的第 30 百分位数与第 50 百分位数之和为 68C.已知随机变量2,XN，若151P XP X，则2D.将总体划分为 2
20、 层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,x x和21s，22s，若12xx，则总体方差2221212sss【答案】ABC【解析】第 6 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【分析】A 由相关系数的实际意义判断；B 由百分位数定义求出对应分位数判断；C 根据正态分布对称性判断；D 由分层抽样中样本、总体间的均值、方差关系判断.【详解】A：由成对数据相关性中相关系数实际意义知：相关系数r越接近于 1，线性相关关系越强，反之也成立，对；B：由6 30%1.8,6 50%3，则第 30 百分位数与第 50 百分位数分别为373930,382，故和为68，对；C：由151
21、151P XP XP XP X ，故15P XP X，根据正态分布对称性：1 522，对；D：由题意，总体均值为12xxx，若两层样本容量依次为,m n，则2222222112212mnmnssxxsxxssmnmnmnmn，当且仅当mn时2221212sss，错.故选：ABC10.若110ab，则（）A.22abB.2abbC.lnlnabD.abab【答案】AB【解析】【分析】首先由条件得0ba，再根据不等式的性质，以及函数的单调性，即可判断选项.【详解】由110ab，得0ba，则0ba ，所以22ba，故 A 正确；0ba，0b，则2bab，故 B 正确；由0ba ，则lnlnba，故
22、C 错误；由0ba，则abab，故 D 错误故选：AB11.已知函数 1sinsinf xxx，则（）A.yf x的图象关于原点对称B.f x的最小正周期为.第 7 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司C.yf x的图象关于直线2x 对称D.f x的值域为 R【答案】ACD【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判断 A，根据周期的定义即可判断 B，根据 f xf xfx 即可判断 C，根据奇偶性以及单调性即可判断 D.【详解】令sin0,Zxxkk,故 1sinsinf xxx的定义域为,Zx xkk，关于原点对称，有 11sinsinsinsinfxxxf xxx 为奇函数，A 正确，1
23、1sinsinsinsinf xxxf xxx，不是 f x的周期，故 B 错误，11sinsinsinsinf xxxxx，由于 f xf xfx，故2x 是 f x的一条对称轴，故 C 正确，令sin1,00,1tx，1f ttt 在0,1t单调递增，故 1f ttt 在0,1t上的范围为,0，由于 1f ttt 为奇函数，所以 1f ttt 在1,0t 上的范围为0,，故 f x的值域为 R，D 正确，故选：ACD12.在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 yf x的图象绕坐标原点逆时针旋转090后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 f x为“旋转函数”，则（）A.存在“90旋转函数”
24、B.“70旋转函数”一定是“80旋转函数”C.若 1g xaxx为“45旋转函数”，则1a D.若 exbxh x 为“45旋转函数”，则2e0b【答案】ACD【解析】【分析】对 A，举例说明即可；对 B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个第 8 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司判断即可；对 CD，将45旋转函数转化为函数与任意斜率为 1 的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可【详解】对于 A，如yx，旋转 90后为yx满足条件，故 A 正确；对于 B，如倾斜角为10的直线是70旋转函数，不是80旋转函数，故 B 错误；对与 C，若1
25、()g xaxx为45旋转函数，则根据函数的性质可得，1()g xaxx逆时针旋转45后，不存在与x轴垂直的直线，使得直线与函数有 1 个以上的交点故不存在倾斜角为45的直线与1()g xaxx的函数图象有两个交点即(R)yxb b与1()g xaxx至多 1 个交点联立1yaxxyxb，可得2(1)10axbx 当1a 时，10bx 最多 1 个解，满足题意；当1a 时，2(1)10axbx 的判别式24(1)ba，对任意的a，都存在b使得判别式大于 0，不满足题意，故1a 故 C 正确；对与 D，同 C，()exbxh x 与(R)yxa a的交点个数小于等于 1，即对任意的a，exbxa
26、x至多 1 个解，故()exbxg xx为单调函数，由 11,110exbxgxg，故(1)()10exbxg x恒成立，即e(1)xb x 恒成立即exy 图象在(1)yb x 上方，故0b，即0b 当exy 与(1)yb x 相切时，可设切点00(,e)xx，对exy 求导有exy，故000ee1xxx，解得02x，此时02eexb ，故2e0b 故 D 正确故选：ACD第 9 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【点睛】数学中的新定义题目解题策略：仔细阅读，理解新定义的内涵；根据新定义，对对应知识进行再迁移.第卷第卷三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题
27、 5 分，共分，共 20 分分13.若1cos43，则sin2_【答案】79【解析】【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式即可求解.【详解】由1cos43得217cos22cos1212499 ，故77sin2sin299，故答案为：7914.已知平面向量a，b为单位向量，且0a b，若25cab，则cos,a c _【答案】23【解析】【分析】代入向量数量积的夹角公式，即可求解.【详解】225252a caabaa b，22225454 53cababa b，所以22cos,1 33a ca ca c .故答案为：23第 10 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司15.二项式20235x
28、展开式的各项系数之和被 7 除所得余数为_【答案】6【解析】【分析】利用赋值法可得系数和为202320235 16，进而根据二项式定理展开式的特征可得余数.【详解】令1x 得202320235 16，由于2023202312233202320232023202361 71 C7C7C77 ，由于2023202312233202312233202320232023202320232023202361 71 C7C7C7767C7C7C77 ，1223320232023202320237+C7C7C77均能被 7 整除，所以余数为 6，故答案为：616.若函数 2sincos1f xx在区间0,2
29、恰有 2 个零点，则的取值范围是_【答案】55,6666【解析】【分析】利用三角函数的性质计算即可.【详解】在0,2x时，cos1,1x，此时cosyx的图象关于直线x 对称，若0，则cos,x ，易知cos2 Z6xkk或5cos2 Z6xkk时，2sincos10f xx，因为恰有两个零点，故566，此时cosx只能取到6，如下图所示，符合题意；第 11 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司若0，则cos,x，同上，有566，此时cosx只能取到6，如下图所示，符合题意；综上 55,6666.故答案为：55,6666.【点睛】本题关键在于对符号的讨论，还需要考虑到cosyx的对称性，
30、取零点时通过数形结合注意端点即可.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知120A，1b，2c（1）求sin B；（2）若 D 为 BC 上一点，且90BAD，求ADC的面积第 12 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）2114 （2）310【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解a，即可由三边求解cosB，进而可求正弦值，（2）根据面积公式即可求解.公众号：高中试卷君【小问 1 详解】由余弦定理可得：22
31、222cos142 2 1 cos1207BCabcbcA ，则7BC，22274 15 7cos2142 27acbBac，0,B,所以22521sin1 cos12814BB【小问 2 详解】由三角形面积公式可得1sin90241sin302ABDACDABADSSACAD，则11132 1 sin12055210ACDABCSS 18.已知数列 na前 n 项和为nS，且2nSnn（1）求 na的通项公式；（2）若数列 nb满足2,2,nnana nbn为奇数为偶数，求数列 nb的前 2n 项和2nT【答案】（1）2nan 的第 13 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（2）12
32、4423nn【解析】【分析】（1）根据1nnnaSS即可求解，（2）根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.【小问 1 详解】当2n 时，221112nnnaSSnnnnn，当1n 时，112aS，因为1a也符合上式所以2nan【小问 2 详解】由（1）可知2,2,nnn nbn为奇数为偶数，所以2462226 10422222nnTn124 1 424244221 43nnnnn19.如图，某公园拟在长为 8（百米）的道路 OP 的一侧修建一条运动跑道，跑道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数sin0,0yAx A，0,4x的图象，且图象的最高点为3,2 3S，跑道的后一部分为
33、折线段 MNP为保证跑步人员的安全，限定120MNP（1）求 A，；（2）求折线段跑道 MNP 长度的最大值【答案】（1）2 3A，6 （2）10 33百米【解析】【分析】（1）由图象即可得 A 和函数的周期，继而求得；第 14 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（2）解法一，由（1）的函数解析式，即可求得 M 点坐标，求出 MP 的长，在MNP中利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案；解法二，在MNP中利用正弦定理求得NPMN的表达式，结合三角恒等变换化简，即可求得答案.【小问 1 详解】依题意，有2 3A，34T，则12T，又2T，6；【小问 2 详解】由（1）知，2 3sin6y
34、x当4x 时，22 3sin33y，4,3M又8,0P，22435MP 解法一：在MNP中，120MNP，5MP，由余弦定理得2222cosMNNPMN NPMNPMP故22252MNNPMNNPMN NP，从而23254MNNP，即10 33MNNP，当且仅当5 33MNNP时等号成立故折线段赛道 MNP 最长为10 33百米解法二：在MNP中，120MNP，5MP 设PMN，则060由正弦定理得sin120sinsin 60MPNPMN，10 3sin3NP，10 3sin 603MN第 15 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司故10 310 3sinsin 6033NPMN10
35、31310 3sincossin603223060，当30时，10 3sin603取到最大值10 33，即折线段赛道 MNP 最长，故折线段赛道 MNP 最长为10 33百米20.已知 f x、g x分别为定义域为R偶函数和奇函数，且 exf xg x.（1）求 f x的单调区间；（2）对任意实数x均有 230gxaf x成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）f x的增区间为0,，减区间为,0 （2）,2 2【解析】【分析】（1）对于 exf xg x将x换成x结合奇偶性求出 f x、g x的解析式，在利用导数求出函数的单调区间；（2）设eexxt，则问题转化为243042tta在2t 时恒
36、成立，参变分离可得82att，再利用基本不等式求出8tt的最小值，即可求出a的取值范围.【小问 1 详解】因为 exf xg x，f x、g x分别为定义域为R的偶函数和奇函数，所以 fxf x，gxg x，所以exfxgx，即 exf xg x，解得 1ee2xxf x，1ee2xxg x，所以 1ee2xxfx，1ee02xxgx，的第 16 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司所以 fx（g x）在定义域R上单调递增，又 0010ee02f，所以当0 x 时()0fx，即 f x的单调递增区间为0,，当0 x 时 0fx，即 f x的单调递减区间为,0.【小问 2 详解】公众号：高
37、中试卷君设eexxt，因为ee2 ee2xxxx，当且仅当0 x 时取等号，所以2t，不等式 230gxaf x恒成立，转化为243042tta在2t 时恒成立，分离参数得82att 在2t 时恒成立，由均值不等式8824 2tttt，当且仅当2 2t 时取等号，故8tt最小值为4 2，所以24 22 2aa，故实数a的取值范围为,2 2.21.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13记该顾客第 n
38、 次摸球抽中奖品的概率为nP（1）求2P的值，并探究数列 nP的通项公式；（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程【答案】（1）1942，1311776nnP （2）第二次，证明见解析【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可求解2P，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，（2）根据1311776nnP，即可对n分奇偶性求解.【小问 1 详解】记该顾客第*Ni i次摸球抽中奖品为事件 A，依题意，127P，的第 17 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司 22121121212119|1737242PP AP A P AAP A P AA因为11|3nnP
39、 AA，11|2nnP AA，nnPP A，所以 1111|nnnnnnnP AP AP AAP AP AA，所以111111113262nnnnPPPP，所以1313767nnPP，又因为127P，则131077P ，所以数列37nP是首项为17，公比为16的等比数列，故1311776nnP【小问 2 详解】证明：当 n 为奇数时，13131977 6742nnP，当 n 为偶数时，13177 6nnP，则nP随着 n 的增大而减小，所以，21942nPP综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大22.已知函数 lnaf xxx的最小值为 1（1）求 a；（2）若数列 nx满足10,1x，且1
40、nnxf x，证明：1322nnnxxx【答案】（1）1a （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，并讨论0a 和0a 两种情况讨论函数的单调性，并求函数的最小值，第 18 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司即可求实数a的取值；（2）由（1）的结果可知，11nx，*Nn，并设 1lng xf xxxxx，1x，利用导数判断函数的单调性，根据21nng xg x，即可证明.【小问 1 详解】221axafxxxx，0 x 若0a，()0fx恒成立，可得 f x在0,上单调递增，f x没有最小值，不符合题意；若0a，令 0fx，得xa，当0 xa时，0fx，当xa时，()0
41、fx，所以 f x在0,a上单调递减，在,a 上单调递增，所以 min1ln1f xf aa，所以1a【小问 2 详解】证明：由（1）可得，f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，则有 11f xf，因为10,1x，所以211xf x，32111nnxfxxxf 令 1lng xf xxxxx，1x，2222131240 xxxgxxx，所以 g x在区间1,上单调递减，且 10g，所以1110nnng xf xx，而21nnxf x，所以21nnxx，所以21nng xg x，即2211nnnnf xxf xx，即3221nnnnxxxx，所以1322nnnxxx【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的最值以及不等式的综合应用问题，第二问是本题的难第 19 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司点，关键是构造函数 1lng xf xxxxx，1x，并结合1nnxf x，即可求解.