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1、立体几何解答题训练一1 直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa,b,abaa,a,b结论abaab2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a,b,abP,a,b,a,b,a结论aba二、1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直l性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行ab2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两
2、个平面垂直性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直l1异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为,其方向向量分别是u,v,则cos |cosu,v|.2直线与平面所成的角如图,直线AB与平面相交于点B,设直线AB与平面所成的角为,直线AB的方向向量为u,平面的法向量为n,则sin |cosu,n|.3平面与平面的夹角如图,平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90的二面角称为平面与平面的夹角若平面,的法向量分别是n1和n2,则平面与平面的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角设平面与平面的夹角为,则cos |cosn
3、1,n2|.1如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,、分别为、的中点.()求证:;()求证:平面平面;()求证:平面.2如图,在三棱柱中,平面, (1)求证:平面;(2)若,求与平面所成角的正弦值;直线与平面的距离.3.如图,正三棱柱中,底面三角形ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点.(1)证明直线平面;(2)若平面与平面夹角的余弦值为,求该三棱柱的体积.4.如图,在三棱锥中,是外接圆的直径,垂直于圆所在的平面,、分别是棱、的中点(1)求证:平面;(2)若二面角为,求与平面所成角的正弦值5.模块诊断数学试题)如图,等腰梯形中,/,为中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置(平面).(1
4、)证明:;(2)若直线与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值.6.如图,三棱柱的侧棱底面,E是棱上的动点,F是的中点,(1)当是棱的中点时,求证:平面;(2)在棱上是否存在点,使得二面角的余弦值是?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由立体几何解答题训练参考答案1解(),且为的中点,.底面为矩形,;()底面为矩形,.平面平面,平面平面,平面,平面,又平面,.又,、平面,平面,平面,平面平面;()如图,取中点,连接.分别为和的中点,且.四边形为矩形,且为的中点,且,四边形为平行四边形,又平面,平面,平面.2(1)证明;在三棱柱中,四边形为平行四边形.所以,因为平面,平面,所以平面.(2)因为
5、平面,平面,所以,又,所以两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,则,即令,则,于是.设直线与平面所成的角为,则.所以与平面所成角的正弦值为.因为面,所以直线与平面的距离就是点到平面的距离设A到面的距离为,则3.解:(1)连接交于点O,连接OD,在三角形中,O,D分别为,CB的中点,则,又平面,平面,所以平面.(2)设棱柱的高为在正三棱柱中,D为BC的中点,所以,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,则,解得,令,则,所以,设平面的法向量为,则,解得,令,则,所以,又平面与平面夹角的余弦值为,则,即,解得:.所以正三棱柱的体积.4.解(1)因为是圆
6、的直径,所以,因为垂直于圆所在的平面,平面,所以,又因为,平面,平面PAC,所以平面,因为分别是棱的中点,所以,从而有平面;(2)由(1)可知,平面,平面,所以,平面,平面,所以为二面角的平面角,从而有,则,又,得,以C为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,,,所以,,设是平面的一个法向量,则,即,可取,设AE与平面ACD所成角为故,所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.5.解(1)连接,设的中点为,由/,故四边形为平行四边形,故,为等边三角形,故,折叠后,又,且平面,故平面,又平面,故(2)由(1)已证得平面,故在平面内可作平面,垂足为,则在直线上,
7、直线与平面夹角为,又,故,两点重合,即平面,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,.设平面的一个法向量为,则,即,令得,又平面,显然为平面的一个法向量,设二面角的大小为,则所以平面与平面夹角的余弦值为.6.(1)证明:取的中点,连接、分别是、的中点,且,在三棱柱中,且,为的中点,则且,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,平面;(2)以为坐标原点,射线、分别为轴、轴、轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则、, 设,平面的一个法向量为,则,由,得,令,可得,易得平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,即整理得,解得.因此,在棱上存在点,使得二面角的余弦值是,此时8学科网(北京)股份有限公司