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1、学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度上学期第一次月考考试学年度上学期第一次月考考试 高二数学高二数学全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。指定位置。2请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。区域均无效。3选择题用选择题用 2B
2、铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。答；字体工整，笔迹清楚。4考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5本卷主要考查内容：必修第一册第五章，必修第二册第六章、第八章，选择性必修第一册第本卷主要考查内容：必修第一册第五章，必修第二册第六章、第八章，选择性必修第一册第一章一章第二章第二章 2.3 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给
3、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1已知直线12:210,:430lxylxy+=的倾斜角分别为12,，则（）A212 B122 C212D122故选 A 2D 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知 D 选项正确故选 D 3D min1()cos332f xf=4C 因为直线230 xy+=与直线430 xmy=平行，所以24 1m=，解得2m=，所以直线4230 xy+=，直 线230 xy+=可 变 形 为4260 xy+=，所 以 两 平 行 线 之 间 的 距 离()22363 51024d =+故选 C 5C 由题知，在正四面体ABCD中，因为O是外接球
4、的球心，设三角形BCD的中心为点,E BC的中点为F，则34AOAE=，121211111333322333AEADAFADABACADABAC=+=+=+，111444AOABACAD=+故选 C 6B 因为,ACBC O=为AB的中点，则OCAB，由圆锥的几何性质可知SO 平面ABC，以点O为坐 标 原 点，,OC OA OS所 在 直 线 分 别 为,x y z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则()()()()()()0,0,40,2,02,0,00,2,00,0,20,1,1SBCADN、，设平面SBC的法向量为()()(),2,2,0,0,2,4nx y
5、zBCBS=，则220,240,n BCxyn BSyz=+=+=取2y=，可得()2,2,1n=，学科网（北京）股份有限公司 又因为()0,3,1BN=，所以点N到平面SBC的距离为61533BN ndn+=故选 B 7B 如图，取11BC的中点1,D BB的中点E，连接,MD DE ME，由111,MDABAB DEBC，可得平面MDE平面1ABC，故点N的轨迹为线段DE，又由1122DEBC=，可得14BC=故选 B 8A 11ACABADAA=+，()2222211111222ACABADAAABADAAAB ADAD AAAB AA=+=+1144902232232922=+=，故1
6、29AC=，故选 A 9AB 对于 A，直线()31ya x=+恒过定点()3,1，A 正确；对于 B，过点()2,1且斜率为3的直线的点斜式方程为()()132yx=，B 正确；对于 C，斜率为 2，在y轴上的截距为 1 的直线方程为21yx=+，C 错误；对于 D，经过点()1,1且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为yx=，当该直线不过原点时，方程为20 xy+=，D 错误故选 AB 10 ABD 过 点C作CHAB，取AB的 中 点O，连 接,1OE OD AH=，圆 台 的 高222(21)3CH=，圆 台 的 侧 面 积 为()1226+=，圆 台 的 体 积 为()221
7、7 3311 2233+=又由tan3CHCAHAH=，可得3CAH=，可得AC与下底面 学科网（北京）股份有限公司 所成的角为3又由,ACOD OE 平面ABDC，可得异面直线AC和DE所成的角为ODE，在RtODE中，2,2OEOD=，可得4ODE=，故异面直线AC和DE所成的角为4故选 ABD 11AC A：sinsintan2tan2sincos2cossincoscos=与2sin cos5=，可得()1211cos sinsin5555=，故 A 正确；B：()()()237sinsincoscossin,cos 2212sin525+=+=+=+=故 B 错误；C：()2tant
8、antan12tan11tantan12tan42tantan=+，当且仅当2tan2=，tan2=时取“=”，故 C 正确；D：若2=，则22tantantan22tan1tan=，在0,2上无解，故 D 错误故选 AC 12ABC 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1ABCE，()()()()()110,1,0,2,0,2,2,2,1,1,2,0,2,2,2GAHFB，()()12,1,2,1,0,1BGEF=学科网（北京）股份有限公司 11220,BG EF
9、BGEF=+=，A 项正确()()10,2,1,1,2,0AHAF=设(),nx y z=为平面AEF的一个法向量，则00n AFn EF=，即200 xyxz+=，令1y=，得2,2xz=，则()2,1,2n=，11220,AH nAH=平面AEF，则 B 项正确；()10,2,2,B A=点1B到平面AEF的距离为102423B A ndn=，C 项正确 由图可知，1BB 平面AFC，所以()10,0,2BB=是平面AFC的一个法向量，则1112cos,3BB nBB nBBn=，故二面角EAFC的大小不是4，所以 D 项不正确 13112 ()()22311221822ababaa bb
10、+=+=+=1413m=或1m=或1m=当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形 若三条直线交于一点，由2,4,xyxy+=得交点坐标为()3,1，把()3,1代入到直线0mxy+=，得13m=；若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，它们的斜率分别为1,1m，所以1m=或1 综上，13m=或1m=或1m=时，直线2,0,4xymxyxy+=+=不能围成三角形 152 设022,ABADAAa BMz=，分别以,DA DC DD所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()02,0,0,0,0,0,2,2,AaE aaFaMaa z，可得()
11、()0,2,2,0EMaa zaAFa a=22220,EM AFaaEMAFEMAF=+=，即异面直线EM与AF所成的角为2 1612 3 12 (),MQxMGyMN x y=+R ，点Q在平面MGN上，分别取111,AB CC C D的中点,E F O，则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG，因为正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，所以正六边形OFNEMG的边长为2 2，学科网（北京）股份有限公司 所以点Q的轨迹围成图形的面积是162 22 2sin6012 32S=由投影分析2 22 6 cos3012,MG MQMG MQ=的最大值为 12 17证明：（1）AP 平面,ABC
12、BC 平面ABC APBC,BCAP BCBP AP BP平面PAB BC平面PAB（2）BC 平面,PAB AD 平面PAB BCAD PAB为等腰直角三角形，D为斜边PB的中点 ADPB,ADPB ADBC BP BC平面PBC AD平面PBC 18解：（1）()22222coscos2 cosb cCc bBa bcaabA+=+=coscos2 cosbCcBaA+=，即sin cossin cos2sin cosBCCBAA+=，即1sin2sincoscos602AAAAA=；（2）由余弦定理有222222()3()312bcabcbcbcbcbc+=+=+=，当且仅当1bc=时取
13、等号，故a的最小值为 1 19（1）证明：AB 平面,PAD PE 平面PAD，PEAB，又PAD是等腰直角三角形，E是斜边AD的中点，PEAD，又AD 平面,ABCD AB 平面,ABCD ABADA=，PE平面ABCD，BD 平面ABCD，PEBD；（2）解：如图以E为原点，,EP EA所在的直线为x轴，y轴，在平面ABCD内，通过E点作AD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系Exyz，不妨设2PA=，则()()()1,0,0,0,1,1,0,1,1PBC，则()()()1,1,1,0,1,1,1,0,0PCEBEP=，设平面PBE的法向量为(),nx y z=，学科网（北京）股份有限公司 则
14、0,0,EB nyzEP nx=+=取1y=，则1z=，故()0,1,1n=为平面PBE的一个法向量，设PC与平面PBE所成的角为，则26sin323n PCnPC=，直线PC与平面PBE所成角的正弦值为63 20（1）证明：如图，连接OC，在RtBCD中，由4BD=可得2OC=，5,2PBPDOBOD=，22,541OPBD OPPBOB=，2221,2,5,OPOCPCPCOPOC=+，OPOC，,OPBD OPOC BD OC平面,ABCD BDOCO=，OP平面ABCD；（2）解：由（1）和等腰三角形BCD可知，,OC OB OP两两垂直，以O为坐标原点，向量,OB OC OP 方向分
15、别为,x y z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 可得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,1OBDCP，又由()2,2,0DC=，有()24,4,0ABDC=，可得点A的坐标为()2,4,0，设平面PBC的法向量为(),mx y z=，由()()2,2,0,2,0,1BCBP=，有220,20,m BCxym BPxz=+=+=取1,1,2xyz=，可得平面PBC的一个法向量为()1,1,2m=设平面PAD的法向量为(),na b c=，学科网（北京）股份有限公司 由()()2,0,1,0,4,0DPAD=，有20,40,n DPacn ADb=+
16、=取1,0,2abc=，可得平面PAD的一个法向量为()1,0,2n=由3,6,5m nmn=，可得平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值为3301056=21解：（1）已知直线()():21370lmxm ym+=，整理得()21370 xymxy+=，由210,2,3703,xyxxyy+=故直线l过定点()2,3，点()3,4Q到直线l的距离最大，可知点Q与定点()2,3P 的连线的距离就是所求最大值，即22(32)(43)74+=为最大值 437325PQk+=+，()()21370mxm ym+=的斜率为57，可得52173mm+=+，解得2219m=；（2）若直线l分别与x轴，y轴的
17、负半轴交于,A B两点，则可设直线l的方程为()32,0yk xk+=+，则()32,0,0,23ABkk，()()()1 3131912232321241212122222AOBSkkkkkk=+=（当且仅当32k=时，取“=”），故AOB面积的最小值为 12，此时直线l的方程为32120 xy+=22解：（1）如图，连接BD 学科网（北京）股份有限公司 1112,2,RtRtBBAG B DAFFAGDB B=，1BDBAFG=111,ABABBDBABD=，AFGABD=GFBD GF 平面,CFG BD 平面,CFGBD平面CFG 若EP平面CFG，又由,EP BD 平面1BDC，平面
18、CFG与平面1BC D相交，必有EPBD 又1,DEECP=为1BC的中点（2）由1,AC BC CC两两垂直，以C为坐标原点，向量1,CA CB CC 方向分别为,x y z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系 不妨设4AC=，可得各点坐标如下：()()()()()()10,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,4,4,0,2,3,1,0CABCGF 设1(01)BPBC=，有()()0,4,40,4,4BP=，又由CPCBBP=+，有()()()0,4,00,4,40,44,4CP=+=，设平面CFG的法向量为(),mx y z=，由()()3,1,0,4,0,2CFCG=，有30,420,m CFxym CGxz=+=+=取1,3,2xyz=，可得平面CFG的一个法向量为()1,3,2m=设直线CP与平面CFG所成的角为，由()2223 448412,(44)164 221,14CP mCPm=+=+=，有224123sin144 22114221CP mCPm=+设3(32)tt=+，有()2sin142(3)231ttt=+，221sin13101421013142ttttt=+由 二 次 函 数 的 性 质 可 知，当11026t=时，13132,3555t=时，sin的 最 大 值 为1182144 13 2100144 13=