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1、 第十一届“小机灵杯”数学竞赛决赛试卷（四年级组）时间：60 分钟1. 19=19+(1+9)2349=29+(2+9)9=39+(3+9)9=49+(4+9).189=189+(18+9)则_.【答案】 A9 =10A+ 9 = 9A+ (A+ 9) ，其中 A 是一个正整数分析】考点：找规律2【. 110 除以一个两位数的余数是5，符合条件的所有两位数是_.答案】15，21，35分析】考点：数论，余数，分解质因数【1110 除以这个两位数是 5，那么110 5 =105 除以这个两位数没有余数，即能整除，05 =1105 = 335 = 521= 715 ，于是，符合条件的所有两位数是 1
2、5、21、353. 把2012 写成N 个互不相同的正整数的和，N 最大等于_.【答案】62分析】考点：等差数列，最值11+ 2 + 63 = (63+1)63 2 = 2016 2012 ，即 N 63+ 2 + 62 = (62 +1)62 2 =1953 2012 ，于是 N = 624. 11+22+33+.20112011+20122012 的和最后一位数是_.【答案】0分析】考点：尾数，数列规律算式中的每一项的个位以 1、4、9、6、5、6、9、4、1、0 这十个数为周期循环，2012 10 = 2012 ，算式的个位与 201(1+ 4 + 6 + 9 + 5+ 9 + 6 +
3、4 +1) +1+ 4 的个位相等，个位为 0。5.用A、B、C、D 代表四个数字分别是12,14,16,18,将四个数字代入等式AB+BC+BD+CD 和最大是_.【答案】980分析】考点：最值A B + BC + B D + C D = B(A+ C + D) + C D ，显然C D 最大为1618 = 288，下面考虑最大 B(A+ C + D) ，由于 B + (A+ C + D) =12 +14 +16 +18 = 60，和是一个定值于是，由于和一定时，两数的差越小，两数的积越大于是，B 取 18 时，乘积最大，为18(12 +14 +16) = 756但考虑到 18 只有一个，只
4、能从 B、C、D 中选一个若 B 取 18，则原式和为18(12 +14 +16) +1416 = 980若 B 取 16，则原式和为16(12 +14 +18) +1418 = 956若 B 取 14，则原式和为14(12 +16 +18) +1618 = 932综上，原算式和最大为 9806.把一个三位数的百位与个位上的两个数字交换,十位数不变,所得的新数与原数相等,这样 的数共有_个，其中能被4 整除的有_个.【答案】20分析】考点：加乘原理，整除百位与个位交换后，数字不变，即要求百位数字与个位数字相等，于是这样的三位数有9101= 90个，考虑其能被 4 整除，首先，个位一定是偶数，当
5、个位为 2、6时，十位必须是奇数，有 5 种选择，当个位为 4、8 时，十位必须是偶数，有 5种选择，综上，其中能被 4 整除的有 45 = 207.113131426141515161611010111520151第一百行第三个=_.【答案】4851分析】考点：数列规律，排列组合（杨辉三角）方法一）观察每一行的第三个数，发现第一、二行没有，从第三行开始，每行的第三个数为 1、3、6、10、15、21、，规律：从第 3 行到第 4 行为+2，从第行到第 5 行为+3，从第 5 行到第 6 行为+4，从第 99 行到第 100 行为+98，（4第一百行第三个数为：3+ 3+ 4 + 5+ 98
6、=1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 98 = 4851方法二）此三角形为杨辉三角，其中的数都是组合数，第 n 行第 m 个数为Cm 1 ，n1（第 100 行第 3 个数为C13 1001=C299=99 98 2 = 48518将编号是1,2,3,.15 的十五名学生按编号顺序面向里站成一圈,第一次,编号是1 的同学向后转,第二次,编号是2,3 的同学向后转,第三次编号是4,5,6 的同学向后转,.第15 次,全体同学向后转,当转完第12 次时,这时面向外的同学还有_名.【答案】12分析】考点：逆推，奇偶性若 15 次全部转完，共计有1+ 2 + 3+15 =120 人次向后转，其中每个学生转1
7、20 15 = 8次第 15 次，全体学生都转了 1 次，由于没有进行第 15 次，所以每个学生转 7 次第 14 次，编号为 15、14、13、3、2 号的同学转身第 13 次，编号为 1、15、14、13、5、4这两次中，1、2、3 号同学转 1 次身，4、5、15 号同学转 2 次身。于是，当转完 12 次时，1、2、3 号同学转 6 次，向里；4、5、15 号同学转 5 次，向外，此时向外的同学有 12 名。9.长方形ABCD 的面积是_.12369【答案】33.25 【分析】考点：巧求面积如下图，面积为：1+ 2 + 4 +1.5+ 3+ 6 + 2.25+ 4.5+ 9 = 33.
8、25123263=46132=1.51=.54.53 3962.25 =4.5910.一只猎狗,在它前面十步有一只兔子,兔子跑九步的距离等于狗跑五步的距离,兔子跑三步的时间等于狗跑两步的时间,问狗跑_步能追上兔子.【答案】60分析】考点：猎狗追兔兔子跑 9 步的距离等于狗跑 5 步的距离，而兔子跑 9 步的时间内狗能跑 6 步，原来狗和兔子的距离狗要跑 10 步，在兔子跑 9 步、狗跑 6 步的时间内，两只动物之间的距离缩短 6 5 =1，即狗跑 1 步的距离，10 1=10，狗要跑610 = 60步能追上兔子。11. 把1 到200 这两百个自然数中,既不是3 的倍数,又不是5 的倍数的数从
9、小排到大排成一排,其中第100 个数是_【答案】187分析】考点：周期，数论3和 5 的最小公倍数是 15，1 到 15 中，既不是 3 的倍数，又不是 5 的倍数的数分别是：1、2、4、7、8、11、13、14，共有 8 个，所以以 8 个数为周期，100 8 =124 ，所以，第 100 个数为1215+ 7 =18712.黑板上一共写了65 个数，包括11 个11，12 个12，13 个13，14 个14，15 个15，每次操作者都擦去其中4 个不同的数并写上一个第5 种数（如擦去11,12,13,14,写上一个15，或者是擦去12,13,14,15,写上一个11.），如果经过若干次操作
10、后，黑板上恰好剩下两个数，这两数是_.【答案】12，14分析】考点：奇偶性考虑奇偶性：黑板上有 3 种奇数，开始它们两两之间个数的差都是偶数，每做一次操作，可能的变化为：（1）3 种数各减少 1 个，则两两之间个数差不变；（2）1 种数增加 1 个，另 2 种数各减少 1 个，则两两之间个数的三个差中 1 个不变，2 个增大 2 或者减少 2；综上，3 种数两两之间个数的差奇偶性始终不曾变化，一直都是偶数。易知，操作结束后，3 种奇数至少有一种剩下 0 个，若最后剩下的两个数中存在奇数，则这两种奇数个数之差为 1，不为偶数。由上述讨论，可知剩下的数中不存在奇数。黑板上有 2 种偶数，开始时它们
11、个数的差是 2，每做一次操作，可能的变化为：（1）2种数各减少 1 个，则个数差不变；（2）1 种数增加 1 个，另 1 种数各减少 1 个，则个数差增大 2 或者减少 2；每一次操作，黑板上减少 3 个数，于是总共操作 (65 2) 3 = 21次，在这 21 次操作中，39 个奇数全部消失，而对奇数操作 1 次，奇数减少 1 个；对偶数操作 1次，奇数减少 3 个，于是，这 21 次操作中，对奇数操作了 12 次，对偶数操作了 9次，于是，考虑黑板上两种偶数个数的差，对奇数操作的 12 次中，它们个数的差不变，对偶数操作的 9 次中，它们个数的差或者增大 2 或者减少 2，共变化 9 次，
12、为奇数次，于是可知，操作结束后，它们个数的差会发生变化。开始时，这个差 为 2，而显然，最后之剩两个偶数，若这两个偶数相同，则个数差为 2，若这两个偶数不同，则个数差为 0，考虑到开始时为 2，结束时发生变化，所以结束时，黑板上所剩两个偶数不同，为 12、1413.五个人比赛,每两个比一场,胜一场得2 分,平一场得1 分,负一场得0 分;第一名没有平局,第二名没有输过,五个人得分各不相同,问每个人得分是_.【答案】6、5、4、3、2【分析】考点：体育比赛中的逻辑推理51个人比赛，赛制为单循环，故共比 54 2 =10 场分制为 2 分制，故总分为02 = 20 分。第一名没有平局，故第一名的得
13、分一定是偶数，每人赛了 4 场，故最多得 8 分，若第一名得 8 分，则必为全胜，于是他应胜过第二名，而第二名没有输过，矛盾，所以第一名不为 8 分，若第一名得 4 分，由于五人得分各不相同，则剩余四人得分只能是 3、2、1、0，五人总分为 10 分，与总分为 20 矛盾，所以第一名只能是三胜一负得 6 分，其中一负为负于第二名，由于五人得分各不相同，此时剩余四人得分最多为 5、4、3、2，此时五人总分恰为 20 分，这是五人总分的最高分，其他情况，五人总分只会比 20 分低，结合总分 20 分，所以五人得分分别为 6、5、4、3、214.1000 多根棍子可以摆成图1（一行的长方形）,也可以
14、摆成图2（二行的长方形）,还可以摆成图3（正方形）的形状,都没有剩余,问棍子最少_根.图一图二图三 【答案】6、5、4、3、2【分析】考点：数列规律，余数设第一个图形为1k 个小正方形，第二个图形为 2m 个小正方形，第三个图形为nn个小正方形，于是有3k +1= 5m + 2 = 2n(n +1) ，即求一个大于 1000 的最小的数，这个数除以 3 余 1，除以 5 余 2，且能写成 2n(n +1) 的形式。首先，由 2n(n +1) ，这个数一定是偶数，且一定是 4 的倍数，再由，5m + 2 ，这个数的末尾一定是 2，再考虑最小，一次考察 1002、1012、1022、1032、，显
15、然，1002 是 3 的倍数，除以 3 余 0，舍去。1012 除以 3 余 1，1012 = 22 1123 = 22223，符合要去，所以，最小的数是 1012。注：如果 1012 不能写成 2n(n +1) 的形式，那么下一个不用考虑 1022 和 1032，由除以 3 余 1，可直接考虑1012 + 30 =1042、再下一个考虑 1072直到有符合题设要求的数为止。15.所有三位回文数之和为_.【答案】49500分析】考点：加乘原理，位值原理三位回文数中，只要百位与个位相等，十位取 0 到 9 都可以。于是，百位为 1 的回文数之和为10110 +10(0 +1+ 2 + 9) ，同理，百位为 a 的回文数之和为a10110 +10(0 +1+ 2 + 9)，于是，三位回文数之和为10110(1+ 2 +9) + 910(0 +1+ 2 + 9) = 49500