小学奥数——比较与估算14.doc

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1、比较与估算教学目标本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。知识点拨一、小数的大小比较常用方法为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)二、分数的大小比较常用方法通分母：分子小的分数小.通分子：分母小的分数大.比倒数：倒数大的分数小.与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小(适用于真分数)重要结论：对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分

2、母都大的分数比较大；对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大放缩法在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！三、数的估算时常用方法（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式例题精讲模块一、两个数的大小比较【例 1】 如果a ，b ，那么a，b中较大的数是 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 方法一：1 ；1 因为 ，所以b较大；方法二：因为，所以，进而，即；方法三：两个真分数

3、，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以b大【答案】【巩固】 试比较和的大小【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空【解析】 【答案】【巩固】 比较和的大小【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空【解析】 因为，显然，根据被减数一定，减数越大差越小的道理，有：【答案】【例 2】 如果A，B,A与B中哪个数较大？【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，决赛【解析】 方法一：观察可以发现A、B都很接近，且比它小我们不防与比较A,B,BA，即B比A更接近，换句话说 BA .方法二： ，即.方法三：，显然，则【答案】【巩固】

4、如果，那么A和B中较大的数是 .【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】 ，即大【答案】【巩固】 试比较和的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1对于这样的分数，可以利用它们的倒数比较大小的倒数是1 ，的倒数是 ，我们很容易看出10 10 ，所以 ；方法二：，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大，所以即【答案】【例 3】 在 a=200320032002和 b=200220032003中，较大的数是_ ，比较小的数大_ 。 【考点】两个数的大

5、小比较 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 b-a=200220032003-200320032002=200200002003+20032003-200300002002-20032002=2003(2003-2002)=2003所以a比b大2003【答案】a比b大2003【例 4】 设a= ，b= ,则在a与b中，较大的数是_。【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【解析】 可采用放缩法。因为= + + ，。所以，即a是较大的数。当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。【答案】a【例 5】 比较与的大小【考点】两个数的大小比较 【难度】3星

6、 【题型】填空【解析】 如果直接放缩：，但是，所以不能确定与的大小关系，同样如果如下进行放缩：，也不能确定但是如果保留，将进行放缩，则有：，可见两者中较大【答案】较大【巩固】 与相比，哪个更大，为什么？【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【解析】 记，显然有： ，而，有，所以原分式比小 .【答案】更大【例 6】 试比较: 与哪一个大? 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【解析】 296=378，185=375，因为 所以【答案】【例 7】 图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米)黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面

7、积大?请说明理由【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，口试【解析】 此题利用到平方差公式：19971996(19971996)(19971996)19971996399319931992199319923985所以1997199619931992即1997199219961993，两个白色正方形的面积大【答案】两个白色正方形的面积大【例 8】 在中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数?【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【解析】 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数 有依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择 有而所以最少选择

8、11个即可使它们的和大于3.【答案】11个【例 9】 已知：，那么与中 比较大，说明原因；【考点】两个数的大小比较 【难度】4星 【题型】填空【解析】 ,即比大【答案】比较大模块二、多个数的大小比较【例 10】 比较以下小数，找到最大的数：， ，比较以下5个数，排列大小：1 ，.【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【解析】 题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示： 1.12112112l 1.121000000 1.1212121211.121210000 1.120000000于是可以得出结果，是最大的数对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获得

9、足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于1的数，一部分为大于等于1的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较小于l的部分为和，将小数展开，并把化为小数得：，显然，即；大于等于1的部分中，有整数、小数、假分数：1，1.667，先将假分数化为带分数，比较三数整数部分，发现都为1，然后比较其他部分：1.6666661.667，所以得到1 ； -=，即；-=，即；-=，即；-，-，-，-所得的差依次为，,均小于0,所以，bc （B）acb （C）acb （D）abc【考点】多个数的大小比较 【难度】3星

10、 【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛【解析】 略【答案】【巩固】 甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪个是平衡的?【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛【解析】 考虑除以3，所得的余数因为478除以3余1，9763除以3也余1(只要看478，9十76十3除以3的余数)，所以4789763除以3余111，而4666514除以3余2(即4666514除以3余2)，因此47897634666514，从而天平甲不平衡天平乙是平衡的.【答案】天平乙是平衡的【例 14】 用“”号把下列分数连接起来： 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【解析】

11、这道题目本身并不难，孩子们用自己的办法可以很快的做出来，但如果数字变的复杂些，那么我们就必须找到一个有效方法了。从这道题目，我们可以给大家展示另外2种典型思路。法1：法2: 观察可以发现分母都是4的倍数，所以我们不妨把分母都化为4，可得：因为，即【答案】【巩固】 这里有5个分数：，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题【解析】 分子的最小公倍数是60，给出的5个分数依次等于：，比较分母的大小，居中的分数是，即。【答案】【例 15】 从六个数中选出三个数，分别记为A，B，C.要求选出的三个数使得A（B-C）尽量大，

12、并写出A（B-C）的最简分数表示。【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【解析】 要求A（B-C）尽量大，显然C取最小数，A、B取最大和次大数，利用和一定，差越小积越大，显然A取次大数，B取最大数。六个数中分数、小数并存，发现是比1小的数，所以C为。再看其它五个数字，本题将分数化为小数容易判断：因此，故有： . 【答案】【例 16】 在四个算式60.3，6，6，6的四个方框内，分别填上加、减、乘、除四种运算符号，使得到的四个算式的四个圆圈之和尽可能大，那么这个和等于多少？ 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【解析】 所以，0.3前面应填除号,前面填减号,前填加号

13、，前填乘号，才能使这四个算式的答数之和最大这个最大的和是：【答案】【例 17】 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中随意取出两个数字，一个作分子，一个作分母，组成一个分数，所有分数中，最大的是 ，循环小数有个 。【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 最大的为=9，循环小数的分母为3，分子为1、2、4、5、7、8；分母为6，分子为1、2、4、5、7、8；分母为7，分子为1、2、3、4、5、6、8、9；分母为9，分子为1、2、3、4、5、6、7、8；共28个。【答案】9；共28个【例 18】 从中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与接近，去掉的

14、两个数是( ).（A）（B）（C）（D）【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛【解析】 本题不是计算最大，而是计算哪个与接近，再找分母的最小公倍数比较大小，则以上分式分别可以写成：，可以写成，显然最接近。【答案】D【例 19】 已知A15=B15=C15.2=D14.8.A、B、C、D四个数中最大的是_【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【关键词】小数报，决赛【解析】 找A、B、C、D中最大的，即找151、15.2、14.8中最小的容易求出最小，所以B最大【答案】B【例 20】 已知，并且，都不等于0，把、这三个数按从小到大的顺序排列是_ 。

15、【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】 由于，且，所以。【答案】【例 21】 气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：景区千岛湖 张家界庐山三亚丽江大理九寨沟鼓浪屿武夷山黄山气温()11/18/43/-227/1917/318/38/-815/915/10/-5其中，温差最小的景区是_ ，温差最大的景区是_。【考点】多个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 表中温差从左到右分别为：10、4、5、8、14、15、16、6、14、5所以温差最小的景区是张家界，温差最大的景区是九寨沟。【答案】最小的景

16、区是张家界，温差最大的景区是九寨沟模块三、数的估算【例 22】 求数 的整数部分【考点】数的估算 【难度】2星 【题型】填空【解析】 这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和要求a的整数部分，只要知道a在哪两个连续整数之间因为a中的11个分数都不大于，不小于，所以1111 即1.1 由此可知a的整数部分是1【答案】1【巩固】 已知 ，则A的整数部分是_【考点】数的估算 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 ； 所以的整数部分是2。【答案】【例 23】 求数的整数部分是几？【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，复赛【解析】，即1原式1.9

17、，所以原式的整数部分是1.【答案】【巩固】 求数的整数部分【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 ，又，所以，即，所以其整数部分是1【答案】1【巩固】 已知：S,则S的整数部分是 . 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】清华附中，入学测试【解析】 如果全是，那么结果是，如果全是，那么结果是，所以S，不能确定S的整数部分.我们不妨采用分段估值，有：则大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！下面先让我们来看看两个例子：那么也就有：（2）那么

18、也就有：聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！则，由此可以确定整数部分是73【答案】【巩固】 已知，则与最接近的整数是_【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】仁华学校【解析】 由于，所以，所以，即，那么与最接近的整数是143小结：由于只需要求与最接近的整数，而不是求的整数部分，所以进行上述放缩已经足够但是如果要求的整数部分，又该如何进行呢？将分母中的14个分数两两分为一组：，(分组的标准在于每组中两个分数的分母之和相等，此处有偶数项，恰好可以两两分组；如果有奇数项，则将中间的一项单独分为一组)，根据“两数之和一定，差越小积越大”，可知，所以

19、，可得，所以，所以，即，所以的整数部分为142【答案】142【巩固】 的整数部分是_【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，六年级【解析】 由于，所以，即，所以，所以，又，所以，所以的整数部分是1【答案】【巩固】 的整数部分是 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 对分母进行放缩令，则，又，根据两个数和一定则差越小积越大，所以，则，可得，所以，即，所以的整数部分为400【答案】400【例 24】 已知，求的整数部分【考点】数的估算 【难度】4星 【题型】填空【解析】 题中已经指明，式子中每一项的分母都可以表示成，对于不好直接进行处理，很容易联想到及，所以

20、可以进行放缩由于，所以，那么，即，那么的整数部分为1小结：从式子中也可以直接看出，所以对于这一点也可以不进行放缩【答案】1【例 25】 A8.88.988.9988.99988.99998，A的整数部分是_.【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】小数报，决赛【解析】 方法一：A8.8544 ，A9545 ，所以A的整数部分是44 .方法二：将原式变形后再估算A8.88.988.9988.99988.99998(90.2(90.02)(90.002)(90.0002)(90.00002)450.22222所以A的整数部分是44 .【答案】44【巩固】 =10.8+10.98+10

21、.998+10.9998+10.99998，的整数部分是 。【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】 =11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222所以的整数部分是54。【答案】54【巩固】 已知x0.90.990.9990.9999999999求x的整数部分【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一：要求x的整数部分，必须找到x介于哪两个连续整数之间即axa1，x的整数部分和n相等可以先将原算式放大，把每个加数都看成1这样结果是11010；然后将原算式缩小，把每个加数都看

22、成0.9，结果是0.9109可见原算式的结果介于10和9之间即9x10，所以x的整数部分是9方法二：将原式变型后再估算x0.90.990.9990.9999999999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0000000001) 10(0.10010.0010.0000000001)100.1111111111所以x的整数部分是9【答案】9【例 26】 计算 8.011.248.021.238.031.22整数部分.【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛 【解析】 方法一：在8.011.248.021.238.031.22中，各式的两个因数之和都相等.根据两个

23、数和一定时，这两个数越接近则乘积越大，所以8.011.248.021.238.031.22；则有1.228.0031.228.033原式1.248.0131.258.003 ，即 29.28原式30 ，所以原式的整数部分是29 .方法二：为了使计算简便，可以把8.01、8.02、8.03分成整数和小数两部分计算，小数部分可以进行估算81.2481.2381.228(1.241.231.22)83.6629.280.011.240.021.230.031.220.0110.0210.0310.06因为0.06不会影响整个算式的整数部分，所以整数部分是29【答案】29【例 27】 老师在黑板上写了

24、七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）小明计算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了”那么，正确的得数应是_ _.【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 法1：因为14.7这三个数字正确，14.77102.9，所以，这七个自然数的和只可能是103，104，等，当和为103时，平均数为103714.71，当和为104时，平均数为10471486，就不符已知条件了，所以，七个自然数的和是103，平均是14.71法2：此题可以用放缩法：由题意知：14.70平均数14.79，所以这7个数的和介于102.90和103.53之间，又由于7个自然数的和必然

25、是整数，所以是103。则正确的平均数是103714.71 .【答案】14.71【巩固】 有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9那么，精确到小数点后两位数是多少？【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 利用放缩法，13个自然数之和必然是整数，又有26.85平均数26.95，则这13个自然数的和介于1326.85和1326.95之间即在349.05和350.35之间，所以只能是350所以3501326.923，则精确到小数点后两位数是26.92 .【答案】26.92【例 28】 已知除法算式：1234567891011121331211101987654

26、321它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是 .【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 各取被除数、除数前两位，有：原式12320.375，原式13310.4194 ；在0.3750.4194之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩的范围太大. 再各取被除数、除数前三位，有：原式1233130.3930，原式1243120.3974，仍无法确定 ； 又各取被除数、除数前四位，有：原式123431220.3953，原式123531210.3957.说明原式的结果在0.39530.3957之间，因此，小数点后前三位数分别是3，9，5.【答案】3，9，5.【例 29】 求的整数部分

27、是多少?【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 分段放缩. 原式，即1原式 ，所以原式整数部分为1【答案】1【巩固】 A=1的整数部分是多少? 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 把算式中的分数放大或缩小，如果全部放大为，则A8 ；全部缩小为，则A1 ，这样无法确定A的整数是多少，于是我们来用一种分段放大和缩小的办法1 （）（）（），通过计算得13，11（+ ）+（+ ）+，即A3，因为3A3，所以A的整数部分是3【答案】3【例 30】 的整数部分是 。【考点】数的估算 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】 原式必然小于，大于，容易计

28、算出原式的值在6.08至7.08之间，故其整数部分为7.【答案】7【例 31】 有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第16个数的整数部分是_ 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由已知：第三个数(13357)295， 第四个数(5795)275，第五个数(7695)285.5第六个数(85.576)280.75，第七个数(80.7585.5)283.125，第八个数(83.12580.75)281.9375，第九个数(81.937583.125)282.53125第十个数(81.937582.53125)282.2

29、34375，从第十一个数开始，以后任何一个数都82.53125与82.234375之间，所以，这些数的整数部分都是82，那么第16个数的整数部分也82【答案】82【例 32】 试求误差小于的近似值【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【解析】，又，由于，所以(误差小于)【答案】【例 33】 在横线上分别填入两个相邻的整数，使不等式成立：【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，一试【解析】 一共有10项，这个值大于10=，小于，所以应该分别填入9和10.【答案】；【例 34】 记A，那么比A小的最大自然数是 。【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛【解析】 9【答案】【例 35】 六个分数，的和在哪两个连续自然数之间？【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛【解析】 在1和2之间。 。因为2，又因为1，所以六个分数，的和在1和2之间。【答案】1和2【例 36】 已知：，那么 【考点】数的估算 【难度】5星 【题型】填空【解析】 所以，即，【答案】【例 37】 计算： ；（四舍五入保留至小数点后第三位，注：）【考点】数的估算 【难度】5星 【题型】填空【解析】 设，则 【答案】