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1、单元素养测评卷(一)A【范围：第一章】 人教A版（2019）选择性必修第一册 (3227)1. 若向量向量则（）A.B.C.D.知识点：空间向量运算的坐标表示答案：C解析：因为向量向量所以 故选.2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（）A.B.C.D.知识点：空间向量运算的坐标表示空间向量的数量积答案：D解析：由题可知 所以则故选.3. 在空间直角坐标系中为坐标原点，已知若其中则点的轨迹为（）A.平面B.直线C.圆D.线段知识点：空间向量运算的坐标表示直线的一般式方程及应用答案：B解析：设点的坐标为由题意可得 则故 又可得 故点的轨迹是直线， 故选.4. 如图，分别是四面体的棱的
2、中点，是的一个三等分点靠近点，则（）A.B.C.D.知识点：空间向量基本定理的应用空间向量的线性运算答案：A解析：，故选A5. 已知四面体的每条棱长都等于点分别是棱的中点，则等于（）A.B.C.D.知识点：直线与平面垂直的判定定理空间向量数量积的性质空间向量的线性运算答案：A解析：取的中点连接由题可知且所以平面.又平面所以.由题知所以.由题知所以所以.故选.6. 如图，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角直线与平面所成的角答案：D解析：在长方体中 以为原点的方向为轴正方向的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示
3、，则 所以 设平面的法向量为 则取得. 设直线与平面所成的角为 则.故选.7. 已知的顶点分别为，则边上的高的长度等于（）A.B.C.D.知识点：空间向量运算的坐标表示空间直角坐标系中两点之间的距离公式空间向量的数量积答案：C解析：设则，解得，故选8. 如图，在棱长都相等的正三棱柱中是棱的中点是棱上的动点.设随着的增大，平面与平面的夹角（）A.增大B.先增大再减小C.减小D.先减小再增大知识点：用空间向量研究两个平面所成的角答案：D解析：设正三棱柱的棱长为由题知. 设平面与平面的夹角为在平面内，过点作 以为坐标原点 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 设平面的法向量为则 即令则 得
4、. 易知平面的一个法向量为，当时，随着的增大而增大，则随着的增大而减小， 当时随着的增大而减小，则随着的增大而增大. 故选.9. 已知向量则下列说法中正确的是（）A.若则B.若则C.不存在实数使得D.若则知识点：空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直空间向量共线定理答案：A ； C解析：对于由可得解得故正确；对于由可得解得故错误； 对于假设存在实数使得则该方程组无解，假设不成立，即不存在实数使得故正确；对于，由得解得于是故错误.故选.10. 已知正方体的棱长为点分别是的中点在正方体内部且满足则下列说法正确的是（）A.点到直线的距离是 B.点到平面的距离为C.平面与平面之间的距离为 D.点到直线的
5、距离为知识点：用空间向量研究点到直线的距离用空间向量研究平面与平面之间的距离用空间向量研究点到平面的距离答案：B ； C解析：如图，建立空间直角坐标系，则所以. 设则故点到直线的距离故错误. 易知平面的一个法向量为 则点到平面的距离故正确. 设平面的法向量为 则所以令得所以 所以点到平面的距离易证平面平面 所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面之间的距离为故正确. 因为所以又 则所以点到直线的距离，故错误.故选.11. 在正方体中是侧面上的动点，若与垂直，则直线与平面所成角的正弦值可能是（）A.B.C.D.知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角用空间向量研究空间中直线、
6、平面的垂直答案：A ； B ； C解析：如图，以为坐标原点所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设则设则由得得则.易知平面的一个法向量为设与平面所成的角为则 故选.12. 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把折成直二面角，则在三棱锥中，（）A.B.C.D.平面的法向量和平面的法向量互相垂直知识点：立体几何中的折叠问题用空间向量研究空间中直线、平面的垂直答案：B ； C解析：如图，以为坐标原点所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设 则则 故错误；故正确；故正确；易知平面的一个法向量为 设平面的法向量为则即令 则故故错误.故选.13. 已知空间向量则在上的投影向量的坐标为.知识点：空
7、间投影向量与投影数量答案：解析：空间向量则 所以在上的投影向量为其坐标为.14. 如图所示的几何体是由正四棱锥和正方体组成的，其中则到平面的距离为.知识点：用空间向量研究点到平面的距离答案：解析：以为坐标原点所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易知点到平面的距离为 则 设平面的法向量是 则可得 取得.连接 则 到平面的距离.15. 如图，在正三棱柱中，分别是的中点.设是棱上的动点(包括两个端点)，当直线与所成角的余弦值为时，线段的长为.知识点：用空间向量研究两条直线所成的角答案：解析：取的中点连接由题可知两两垂直， 以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则设 则
8、设与的夹角为由可得所以.16. 如图所示，在正方体中， 点是底面内（含边界）的一点，且平面则异面直线与所成角的取值范围为 .知识点：用空间向量研究两条直线所成的角用空间向量研究空间中直线、平面的平行答案：解析：连接 四边形是平行四边形， 又平面平面 同理可证平面 平面平面点在线段上. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 则设 . 设异面直线与所成的角为 则，当时，取得最小值 当或时，取得最大值则即异面直线与所成角的取值范围为.17. 如图，在平行六面体中，点为与的交点，点在线段上，且.(1) 求的长；(2) 设求的值.知识点：空间向量基本定理的应用空
9、间向量数量积的性质空间向量的线性运算答案：(1) 由题知 则 .(2) .解析：(1) 略(2) 略18. 已知空间中的三点.设.(1) 若与互相垂直，求的值；(2) 求点到直线的距离.知识点：空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直用空间向量研究点到平面的距离答案：(1) 由题意可求得.因为所以整理得解得或 所以的值为或.(2) 设直线的一个单位方向向量为 则.因为所以所以点到直线的距离解析：(1) 略(2) 略总结：(1) 19. 如图，在四棱锥中底面底面为正方形，分别是的中点.(1) 求证：；(2) 求与平面所成角的正弦值.知识点：空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直用空间向量研究直线与平面
10、所成的角用空间向量研究空间中直线、平面的垂直答案：(1) 由题易知两两相互垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），则，证明： .(2) 设平面的法向量为则可得取则 .设与平面所成的角为 则.解析：(1) 略(2) 略20. 如图，在四棱柱中，底面是菱形对角面是矩形，且平面平面.(1) 证明：四棱柱是直四棱柱；(2) 设若求平面与平面的夹角的余弦值.知识点：棱柱的结构特征及其性质平面与平面垂直的性质定理用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1) 证明：由题知因为平面平面平面平面平面 所以平面 故四棱柱是直四棱柱.(2) 因为四边形是菱形，所以. 设连接则平面 所以两
11、两垂直.如图，以为坐标原点所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.不妨设因为所以又所以.易知是平面的一个法向量.设是平面的法向量，则即取则所以.设平面与平面的夹角为 则故平面与平面的夹角的余弦值为.解析：(1) 略(2) 略21. 如图，在梯形中，四边形是矩形，且.(1) 求证：平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值.知识点：直线与平面垂直的判定定理用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1) 证明：在梯形中 四边形是等腰梯形 又 . .平面.(2) 由知两两垂直， 以为坐标原点，以的方向分别 为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为则令则.又直线与平面所成角的正弦值是.解析：(1) 略(2) 略22. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且平面平面为的中点.(1) 求证：平面平面；(2) 若平面与平面的夹角满足求线段的长.知识点：平面与平面垂直的判定定理用空间向量研究空间中直线、平面的垂直用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1) 证明：取的中点连接 侧面为正三角形， 又平面平面平面平面平面平面.取的中点连接底面为矩形，两两垂直.如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系.设则 .平面且 平面又平面平面平面.(2) 由可知， 平面的一个法向量为.设平面的法向量为 则即令则 由题可知， 解得或(舍)， 线段的长为.解析：(1) 略(2) 略