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1、化工工程师-公共基础-高等数学-空间解析几何单选题1.设、均为非零向量，则下面结论正确的是()。2017年真题A.0是与垂直的充要条件B.0（江南博哥）是与平行的充要条件C.0是与平行的充要条件D.若（是常数），则0 正确答案：C参考解析：AC两项，0是与平行的充要条件。B项，0是与垂直的充要条件。D项，若（是常数），则与相互平行，则有0。单选题5.过点（2，0，1）且垂直于xOy坐标面的直线方程是()。2019年真题A.B.C.D. 正确答案：C参考解析：垂直于xOy面的直线的方向向量为（0，0，1），由于过点（2，0，1），则直线的点向式方程为：。单选题6.设直线方程为则该直线()。201
2、0年真题A.过点（1，2，3），方向向量为i2j3kB.过点（1，2，3），方向向量为i2j3kC.过点（1，2，3），方向向量为i2j3kD.过点（1，2，3），方向向量为i2j3k 正确答案：D参考解析：把直线方程的参数形式改写成标准形式：（x1）/1（y2）/2（z3）/（3），则直线的方向向量为（1，2，3），过点（1，2，3）。单选题7.下列平面中，平行于且与yOz坐标面非重合的平面方程是()。2018年真题A.yz10B.z10C.y10D.x10 正确答案：D参考解析：D项，平面方程x10化简为x1，显然平行yOz坐标面，且不重合。ABC三项，均不平行于yOz坐标面。单选题8.已
3、知直线L：x/3（y1）/（1）（z3）/2，平面：2x2yz10，则()。2013年真题A.L与垂直相交B.L平行于但L不在上C.L与非垂直相交D.L在上 正确答案：C参考解析：直线L的方向向量为（3，1，2），平面的法向量为（2，2，1），由于3/（2）（1）/22/1，故直线与平面不垂直；又3（2）（1）22160，所以直线与平面不平行。所以直线与平面非垂直相交。直线L与平面的交点为（0，1，3）。单选题9.设直线L为平面为4x2yz20，则直线和平面的关系是()。2012年真题A.L平行于B.L在上C.L垂直于D.L与斜交 正确答案：C参考解析：直线L的方向向量为：即s（28，14，7
4、）。平面的法线向量为：n（4，2，1）。由上可得，s、n坐标成比例，即（28）/414/（2）（7）/1，故sn，直线L垂直于平面。单选题10.设直线方程为xy1z，平面方程为x2yz0，则直线与平面()。2011年真题A.重合B.平行不重合C.垂直相交D.相交不垂直 正确答案：B参考解析：直线的方向向量s（1，1，1），平面的法向向量n（1，2，1），两向量的数量积sn1210，则这两个向量垂直，即直线与平面平行。又该直线上的点（0，1，0）不在平面上，故直线与平面不重合。单选题11.yOz坐标面上的曲线绕Oz轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是()。2016年真题A.x2y2z1B.x2y2z
5、21C.D. 正确答案：A参考解析：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面为旋转曲面。若yOz平面上的曲线方程为f（y，z）0，将此曲线绕Oz轴旋转一周得到的旋转曲面方程为：又故x2y2z1。同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为：单选题12.在空间直角坐标系中，方程x2y2z0表示的图形是()。2014年真题A.圆锥面B.圆柱面C.球面D.旋转抛物面 正确答案：D参考解析：在平面直角坐标系中，zx2为关于z轴对称的抛物线。因此可考虑将该抛物线绕Oz轴旋转一周所形成的曲面方程：代入zx2得即x2y2z0。因此方程x2y2z0表示的图形为在面xOz内的抛物线zx2绕z轴旋转得
6、到的图形，即旋转抛物面。单选题13.方程x2y2/4z21，表示()。2012年真题A.旋转双曲面B.双叶双曲面C.双曲柱面D.锥面 正确答案：A参考解析：方程x2y2/4z21，即x2z2y2/41，可由xOy平面上双曲线绕y轴旋转得到，或可由yOz平面上双曲线绕y轴旋转得到。即该方程表示旋转双曲面。单选题14.在三维空间中方程y2z21所代表的图形是()。2011年真题A.母线平行x轴的双曲柱面B.母线平行y轴的双曲柱面C.母线平行z轴的双曲柱面D.双曲线 正确答案：A参考解析：由于表示在x0的平面上的双曲线，故三维空间中方程y2z21表示双曲柱面，x取值为，即为母线平行x轴的双曲柱面。单
7、选题15.设有直线L1：（x1）/1（y3）/（2）（z5）/1与L2：则L1与L2的夹角等于()。2014年真题A./2B./3C./4D./6 正确答案：B参考解析：由题意可知1（m1，n1，p1）（1，2，1）将L2的参数形式改为标准形式：（x3）/（1）（y1）/（1）（z1）/2所以2（m2，n2，p2）（1，1，2）所以L1与L2的夹角/3。单选题16.曲线x24y2z24与平面xza的交线在yOz平面上的投影方程是()。2012年真题A.B.C.D.（az）24y2z24 正确答案：A参考解析：在yOz平面上投影方程必有x0，排除B项。令方程组为：由式得：xaz。将上式代入式得：
8、（az）24y2z24，则曲线在yOz平面上投影方程为：单选题17.设、都是非零向量，若，则()。A.B.且C.（）D.（） 正确答案：C参考解析：根据题意可得，（）0，故（）。单选题18.已知a、b均为非零向量，而|ab|ab|，则()。A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0 正确答案：C参考解析：由a0，b0及|ab|ab|知，（ab）（ab）（ab）（ab）。即abab，所以ab0。单选题19.设三向量a，b，c满足关系式abac，则()。A.必有a0或bcB.必有abc0C.当a0时必有bcD.a与（bc）均不为0时必有a（bc） 正确答案：D参考解析：因abaca（bc）0a0或b
9、c0或a（bc）。当a与（bc）均不为0时，有a（bc）。单选题20.设向量x垂直于向量a（2，3，1）和b（1，2，3），且与c（2，1，1）的数量积为6，则向量x()。A.（3，3，3）B.（3，1，1）C.（0，6，0）D.（0，3，3） 正确答案：A参考解析：由题意可得，xab，而所以x（x，x，x）。再由6xc（x，x，x）（2，1，1）2x，得x3，所以x（3，3，3）。单选题21.直线L1：与L2：之间的关系是()。A.L1L2B.L1，L2相交但不垂直C.L1L2但不相交D.L1，L2是异面直线 正确答案：A参考解析：直线L1与L2的方向向量分别为：又3/（9）1/（3）5/（
10、15），故l1l2，即L1L2。单选题22.已知直线方程中所有系数都不等于0，且A1/D1A2/D2，则该直线()。A.平行于x轴B.与x轴相交C.通过原点D.与x轴重合 正确答案：B参考解析：因A1/D1A2/D2，故在原直线的方程中可消去x及D，故得原直线在yOz平面上的投影直线方程为在yOz平面上的投影过原点（将原点坐标（0，0，0）代入直线方程），故原直线必与x轴相交。又因D1，D20，将（0，0，0）代入直线方程可知直线不过原点。单选题23.已知直线L1过点M1（0，0，1）且平行于x轴，L2过点M2（0，0，1）且垂直于xOz平面，则到两直线等距离点的轨迹方程为()。A.x2y24
11、zB.x2y22zC.x2y2zD.x2y24z 正确答案：D参考解析：两直线的方程为：L1：x/1y/0（z1）/0，L2：x/0y/1（z1）/0。设动点为M（x，y，z），则由点到直线的距离的公式知：（其中li是直线Li的方向向量，Mi是直线Li上的一点），所以：由d1d2得：d12d22，故（z1）2y2（z1）2x2，即x2y24z。单选题24.在平面xyz20和平面x2yz10的交线上有一点M，它与平面x2yz10和x2yz30等距离，则M点的坐标为()。A.（2，0，0）B.（0，0，1）C.（3，1，0）D.（0，1，1） 正确答案：C参考解析：A项，点（2，0，0）不在平面x
12、2yz10上；B项，点（0，0，1）不在平面xyz20上；D项，点（0，1，1）与两平面不等距离。单选题25.设平面平行于两直线x/2y/（2）z及2xyz，且与曲面zx2y21相切，则的方程为()。A.4x2yz0B.4x2yz30C.16x8y16z110D.16x8y8z10 正确答案：C参考解析：由平面平行于两已知直线可得，平面的法向量为：n（2，2，1）（1，2，2）3（2，1，2）。设切点为（x0，y0，z0），则切点处曲面的法向量为（2x0，2y0，1），故2/（2x0）1/（2y0）（2）/（1），由此解得x01/2，y01/4，从而z0x02y02121/16，因此的方程为：
13、2（x1/2）（y1/4）2（z21/16）0，即16x8y16z110。单选题26.三个平面xcybz，yazcx，zbxay过同一直线的充要条件是()。A.abc2abc0B.abc2abc1C.a2b2c22abc0D.a2b2c22abc1 正确答案：D参考解析：由于三个平面过同一直线，线性齐次方程组有无穷解，即行列式解得a2b2c22abc1。单选题27.通过直线和直线的平面方程为()。A.xz20B.xz0C.x2yz0D.xyz1 正确答案：A参考解析：化直线的参数方程为标准方程得：（x1）/2（y2）/3（z3）/2，（x3）/2（y1）/3（z1）/2，因点（1，2，3）不在
14、平面xz0上，故可排除B项；因点（3，1，1）不在x2yz0和xyz1这两个平面上，故可排除CD两项，选A项。由于题目所给两条直线的方向向量相同，故为两条平行直线，且已知两个点分别为（1，2，3）和（3，1，1），过这两个已知点的直线方程的方向向量为：（4，3，4），故可求得通过这三条直线（两条平行线和一条与平行线相交的直线）平面的法向量为：故平面方程为18x18zD0，代入点（1，2，3）解得：D36，故平面方程为xz20。单选题28.过点（1，2，3）垂直于直线x/4y/5z/6且平行于平面7x8y9z100的直线是()。A.（x1）/1（y2）/（2）（z3）/1B.（x1）/1（y2）
15、/2（z3）/2C.（x1）/（1）（y2）/（2）（z3）/1D.（x1）/1（y2）/（2）（z3）/1 正确答案：A参考解析：直线x/4y/5z/6的方向向量为s4，5，6，平面7x8y9z100的法向量为n7，8，9。显然ABC三项中的直线均过点（1，2，3）。A项中直线的方向向量为s1（1，2，1），有s1s，s1n，可见A中直线与已知直线x/4y/5z/6垂直，与平面7x8y9z100平行。单选题29.若直线（x1）/1（y1）/2（z1）/与（x1）/1（y1）/1z/1相交，则必有()。A.1B.3/2C.4/5D.5/4 正确答案：D参考解析：如果两直线相交，则这两条直线的方
16、向向量与这两条直线上两点连线构成的向量应在同一平面上，由此来确定。点A（1，1，1），B（1，1，0）分别为两条直线上的一点，则两条直线的方向向量分别为s1（1，2，），s2（1，1，1），这三个向量应在同一个平面上，即：解得：5/4。单选题30.已知曲面z4x2y2上点P处的切平面平行于平面：2x2yz10，则点P的坐标是()。A.（1，1，2）B.（1，1，2）C.（1，1，2）D.（1，1，2） 正确答案：C参考解析：即求曲面S：F（x，y，z）0，其中F（x，y，z）zx2y24上点P使S在该点处的法向量n与平面：2x2yz10的法向量n0（2，2，1）平行。S在P（x，y，z）处的法
17、向量（F/x，F/y，F/z）（2x，2y，1）nn0nn0为常数，即2x2，2y2，1。即x1，y1，又点P（x，y，z）Sz4x2y2|（x，y）（1，1）2，求得P（1，1，2）（P不在给定的平面上）。单选题31.母线平行于Ox轴且通过曲线的柱面方程为()。A.3x22z216B.x22y216C.3y2z216D.3y2z16 正确答案：C参考解析：因柱面的母线平行于x轴，故其准线在yOz平面上，且为曲线在yOz平面上的投影，在方程组中消去x得：此即为柱面的准线，故柱面的方程为：3y2z216。单选题32.曲线L：在xOy面上的投影柱面方程是()。A.x220y224x1160B.4y24z212z70C.D. 正确答案：A参考解析：投影柱面是指其母线通过一条给定的曲线并且都垂直于某一坐标平面的柱面。在方程组中消去z：由得z（x3）/2，代入化简得：x220y224x1160，为L在xOy面上的投影柱面方程。需注意的是，当z0时，得到的是在xOy面上的投影曲线。单选题33.方程x2/2y2/2z2/30是一旋转曲面方程，它的旋转轴是()。A.x轴B.y轴C.z轴D.直线xyz 正确答案：C参考解析：由题意有：x2/2y2/2z2/3，得故曲面是由直线或绕z轴旋转而成。