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1、单元素养测评卷(五)【范围：第五单元】 人教A版（2019）必修第一册 (3204)1. 下列各个角中与终边相同的是（）A.B.C.D.知识点：终边相同的角答案：C解析：，与终边相同的是.故选C.2. 函数的最小正周期是（）A.B.C.D.知识点：正弦（型）函数的周期性答案：A解析：函数的最小正周期.3. 已知角的终边过点则角为（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角知识点：象限角三角函数值在各象限的符号答案：B解析：点在第二象限角为第二象限角.故选.4. （）A.B.C.D.知识点：角与的三角函数值之间的关系两角和与差的正弦公式答案：A解析：.5. 刘徽是中国魏晋时期杰出
2、的数学家，他提出“割圆求周”方法:当很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率.在九章算术注中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表.运用此思想，当取时可得的近似值为（）A.B.C.D.知识点：扇形弧长公式角与的三角函数值之间的关系三角函数中的数学文化答案：B解析：. 将一个单位圆分成个扇形， 则每个扇形的圆心角均为. 由垂径定理可得，每个圆心角所对的弦长为. 因为这个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以 所以.6. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A.B.
3、C.D.知识点：正切（型）函数的单调性正切（型）函数的奇偶性正弦（型）函数的单调性正弦（型）函数的奇偶性余弦（型）函数的奇偶性余弦（型）函数的单调性答案：B解析：对于选项为偶函数，故不满足题意； 对于选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间上单调递增，满足题意； 对于选项是偶函数，故不满足题意； 对于选项是奇函数，且在上单调递增，但在区间上不单调递增，不满足题意.故选.7. 已知是第三象限角则（）A.B.C.D.知识点：同角三角函数的商数关系二倍角的正弦、余弦、正切公式同角三角函数的平方关系答案：A解析：解得或(舍去)，故选.8. 设函数，则下列结论中错误的是（）A.的一个周期为B.的
4、最大值为C.在区间上单调递减D.的一个零点为知识点：函数的图象及性质正弦（型）函数的单调性正弦（型）函数的周期性辅助角公式函数零点的值或范围问题答案：D解析：的最小正周期故中结论正确；的最大值为故中结论正确； 令得的单调递减区间为 , 在区间上单调递减，故中结论正确； 当时，故中结论错误.故选.9. 下列结论正确的是（）A.是第三象限角B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C.若角的终边过点，则D.若角为锐角，则角为钝角知识点：扇形弧长公式象限角扇形面积公式用角的终边上的点的坐标表示三角函数答案：B ； C解析：选项A：终边与相同，为第二象限角，所以A不正确;选项B：设扇形的半径为，扇形
5、面积为，所以B正确;选项C：角的终边过点，根据三角函数定义，所以C正确;选项D：角为锐角时，所以D不正确.故选BC.10. 将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则具有的性质为（）A.最小正周期为B.图像关于直线对称C.图像关于点对称D.在上单调递增知识点：函数图象的平移变换函数的图象及性质答案：A ； D解析：由题意可得 所以的最小正周期故正确；因为所以的图像不关于直线对称，故错误；因为所以的图像不关于点对称，故错误；因为当时，所以在上单调递增，故正确.故选.11. 已知函数，若对任意，方程有且仅有一个实数根，则的取值可以为 （）A.B.C.D.知识点：根据函数零点个数求参数范围函
6、数的图象及性质答案：A ； B解析：由得，即. 因为，所以 ，即 . 因为，所以.因为对任意，方程有且仅有一个实数根，所以，解得. 四个选项仅有中的值在内.故选.12. 随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个圆心为半径为圆心角为的扇形人工湖分别是由延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点且与分别相交于点另两条是分别与湖岸垂直的(垂足均不与重合).在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则下列说法中正确的是（）A.的取值范围是B.新增步道的长度可以为C
7、.新增步道的长度之和可以为D.当点为的中点时，草坪的面积为知识点：三角恒等变换综合应用扇形面积公式三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用三角形的面积（公式）基本不等式的实际应用答案：B ； D解析：设. 对于选项，由题意可得解得选项错误. 对于选项，易知则 所以，设则 可得，当且仅当即时，等号成立， 所以新增步道的长度可以为选项正确. 对于选项 所以 因为所以所以 所以 而所以新增步道的长度之和不可以为选项错误. 对于选项，当为的中点时则则扇形的面积此时，草坪的面积选项正确.故选.13. 在中，则.知识点：正切函数的诱导公式两角和与差的正切公式特殊角的三角函数值答案：解析：由，得，即
8、， ，则，则.14. 若函数的最小值为则实数.知识点：辅助角公式正弦（型）函数的定义域和值域答案：解析：其中 所以解得.15. 若则知识点：同角三角函数基本关系的综合应用二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：解析：，因为 所以即.16. 已知函数的图像与函数的图像在区间上的交点为过点作轴的垂线垂足为与函数的图像交于点则线段的长为.知识点：同角三角函数基本关系的综合应用答案：解析：设则. 函数的图像与函数的图像在区间上的交点为 则 把(*)代入可得则 则线段的长为.17. 如图是单位圆上的点，且点在第一象限，点在第二象限是圆与轴正半轴的交点，点的坐标为.(1) 求的值;(2) 设，求的值.知识点：利
9、用诱导公式求值利用单位圆定义任意角的三角函数同角三角函数的商数关系答案：(1) 由题意得且，解得.(2) 设，则， 由得 .解析：(1) 略(2) 略18. 已知均为锐角.(1) 求的值；(2) 求的值.知识点：两角和与差的余弦公式二倍角的正弦、余弦、正切公式同角三角函数的平方关系角的代换答案：(1) 由二倍角公式得 所以因为所以.(2) 因为均为锐角，所以所以. .解析：(1) 略(2) 略19. 在的图像过点的图像关于直线对称，的图像关于点对称这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：已知的最小正周期为.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(1) 求函数的解
10、析式；(2) 将图像上的所有点向左平移个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求的单调递增区间.知识点：函数的图象及性质正弦（型）函数的单调性三角函数的图象变换答案：(1) 若选：由已知得则，于是因为的图像过点所以，即，又所以，所以.若选：由已知得，则， 于是。因为的图像关于直线对称，所以，可得， 又所以所以.若选：由已知得，则， 于是.因为的图像关于点对称，所以，可得，又， 所以所以.(2) 若选：由已知得.由， 得，故的单调递增区间为.若选：由已知得.由， 得，故的单调递增区间为.若选：由已知得.由， 得，故的单调递增区间为.解析：(1) 略(
11、2) 略20. 已知函数.(1) 求的最小正周期;(2) 若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，当时，求的最大值和最小值.知识点：正弦（型）函数的周期性辅助角公式正弦（型）函数的定义域和值域二倍角的正弦、余弦、正切公式三角函数的图象变换答案：(1) 所以函数的最小正周期为.(2) 依题意得.因为，所以所以当，即时取得最大值当，即时取得最小值.解析：(1) 略(2) 略21. 某市通宵营业的大型商场为响应节能减排的号召,在气温超过时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温单位随时间，单位:小时变化的大致曲线，该曲线近似地满足函数(1) 求函
12、数的表达式.(2) 请根据的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启，何时关闭?知识点：三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用三角函数的图象变换答案：(1) 由题意知, ，的最小正周期，所以，得，所以. 将代入函数解析式得，即，又，所以，所以.(2) 令，可得，所以，解得，因为，所以，故中央空调应在时开启时关闭.解析：(1) 略(2) 略22. 已知函数(1) 当时恒成立，求实数的取值范围.(2) 是否同时存在实数和正整数使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.知识点：三角恒等变换综合应用三角函数与二次函数的综合应用正弦函数图象的画法正弦（型）函
13、数的定义域和值域根据函数零点个数求参数范围三角函数与不等式的综合应用答案：(1) 当时 则.令则对任意恒成立，需满足解得 所以实数的取值范围为.(2) 假设同时存在实数和正整数满足条件.函数在上恰有个零点，即函数的图像与直线在上恰有个交点.当时作出函数在区间上的图像，如图所示.当或时，函数的图像与直线在上无交点，不符合题意；当或时，函数的图像与直线在上仅有一个交点，此时要使函数的图像与直线在上有个交点，则；当或时，函数的图像与直线在上有两个交点，此时函数的图像与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合题意；当时，函数的图像与直线在上有个交点，此时要使函数的图像与直线在上恰有个交点，则.综上所述，存在满足条件的实数和正整数 当时；当时.解析：(1) 略(2) 略