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1、2021-2022中考专题5-几何模型5 隐圆问题知识点储备:构造出隐圆出来，可以运用与圆有关的几何性质去解题。1、点圆距离。点P 是圆0外一点，连接P 0交圆与点A,点B,贝！1P A 是点P 到圆上PR，A 的最短距离，P B 为点P 到圆上的最长距离。B A 0 证明：在P 0B 利用到三边关系：即P 0+0B P B，,O B =0BP O+O B=P B P B.在A P O A 利用到三边关系：即P A +0A O A+P A,O A=O A ,P A P A.A 点P 是圆。内一点，连接P 0交圆与点A,点B,则P A 是点P 到圆上悭=_0 P N 的最短距离，P B 为点P
2、到圆上的最长距离。以 证明：同上；2、直径最长。P在圆中所有的弦中，直径最长。A B 为直径，最长的弦。3、点弦距离。p cA-r BHE H V0PDD点P 是孤A B 上一动点，过圆心作弦A B 的垂线交于点E,交圆0于点C,点D,若点P 在劣弧A B 上，当点P 与点C 重合，则点P 到A B 的最大距离为C E,若点P 在优弧A B 上，当点P 与点D 重合，则点P 到A B 的最大距离为D E,（此时点C 为劣弧A B 的中点，点D 为优瓠A B 的中点）证明：可以过点P 作A B 的平行线L,L 与A B 的距离就是点P 到A B的距离，当L 与圆0只有一个交点时，即相切时，L 与
3、A B 的距离最大，此时点P 与点C 重合，或点P 与点D 重合。由上述结论可知：点P 在圆上运动，线段A B 长度固定，当P A B,为等腰三角形时，P A B 的面积取最大（也要分在优弧和劣弧两种情况。）证明：因 为aPAB底AB不变，此时AB边上的高最大，得面积也是最大的。拓展：此时得到的aPAB的周长也是最大的。（也要分在优弧和劣弧两种情况。）证明：1、当点P在劣瓠AB上时，如图所示：AB为定值，求APAB的周长最大，即求PA+PB最大。延长AP,使得PC=PB,连接CB并延长，交圆0于点D,连接A D,过点D作AC的垂线交于点E。则四边形APBD为圆的内接四边形，ZPC=PB.*.Z
4、C=ZPB C.NDAP=NPBC（内对角相等）.ZC=ZD A P.DA=DC.*.AC=2AEVAE=AD sinZADEAAC=2AD sinZADEVAP+BP=AC，AP+BP=2AD sinZADENAPB为定角N ADE为定角即s i n N ADE为定值.当AD为直径时，AP+BP值最大。即APAB的周长最大；AD为直径ZABD=90即 N ABC=90.,.ZBAP+ZC=90 ZAPB+ZPBC=90，NBAP=NAPB.*.AP=BP即点P为劣弧AB的证明：2、当点P在优瓠AB上时，如图所示：证明过程同上。t）4、点直线距离。A点P 是圆0上一点，过点0作直线L 的垂线交
5、直线L 于点D,交圆0于点A,点B,则点P 到直线L 的最小距离为B D,最大距离为A D.证明：可以过点P 作直线L 的平行线17 ,L 与1 7的距离就是点P 到L 的距B 离，当L 与圆0只有一个交点时，即相切时，当点P 与点A 重合，L与L，的距离最大，当点P 与点B 重合。L与L 的距离最小。模型一：定点到动点定长点A 为定点，点B 为动点，A B 为定长,露瓢 则点B 的轨迹为圆心为点A,半径为A B 的蛇如图，在矩形A B C D 中，A B=4,A D=6,E 是A B 边的中点，F是线段B C 上的动点，将4E B F沿E F所在直线折叠得到A E B F,连接B D,则B
6、D 的小值是解题思路：抓住谁是定点，谁是动点，是否存在定长。如图所示：点E是定点，点B，是动点，由折叠的性质可知，E B，为定值。所以点夕的轨迹为以点E 为圆心，E B,为半径的圆上运动。当点D、B、E 三点共线的时候B D 的值最小。（参照知识点储备1解题）证明：参照知识点储备1,点圆距离。变式：在R t Z k A B C 中,Z C=9 0,A C=6,B C=8,点F在边A C 上,并且C F=2,点E 为边B C 上的动点，将4 C E F沿直线E F翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边A B 距离的最小值是解题思路：同上题，不难看出点P 的运动轨迹为以点F为圆心，P F为半径的圆
7、上运动，求点P 到A B 的距离最小，可过点F作A B 的垂线于点M,交 圆 F于点P,此时，最小值为P M。根据A M P s A A C B 可以先求出P M 的值,再根据P M=FM-FP,可算出最小值。CB证明：参照知识点储备4,点直线距离。模型二：定角对定长1、9 0所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）&c已知A B 为定线段,（长度和位置不变）,C 为动点，且NA C B=9 0,B 由直径所对的角是直角，我们可以推出动点C 的轨迹为：以A B 为直径的圆上的任意一点。2、3 0所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）C 已知A B 为定线段,（长度和位置不变）,C
8、 为动点，且NA C B=3 0,-3。.由3 0的圆周角所对的圆心角NA 0B=60。，可以确定圆心0的位置，由0 C*、60。./A B 的长度，可以确定半径的大小，所以点C 的轨迹为：以0为圆心，半径为A 0的圆上。且只能在优瓠A B 上运动。A B3、4 5 所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）C已知A B 为定线段,（长度和位置不变）,C 为动点，且NA C B=4 5 ,.45。.由4 5 的圆周角所对的圆心角NA 0B=9 0,可以确定圆心0的位置，由.0、欢（杷的长度，可以确定半径的大小，所以点C 的轨迹为：以0为圆心，半径为A 0的圆上。且只能在优瓠A B 上运动。
9、A B4、60所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）C 0 已知A B 为定线段,（长度和位置不变）,C 为动点，且NA C B=60,C C6皿 -6叽 由60的圆周角所对的圆心角NA 0B=12 0,可以确定圆心。的位置，0由A B 的长度，可以确定半径的大小，所以点C 的轨迹为：以0为圆心，、120。，B 半径为A 0的圆上。且只能在优瓠A B 上运动。5、12 0。所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变）C已知A B 为定线段，（长度和位置不变），C 为动点，且NC 12（T C.B A C B=12 0,可以先作出NC =60 ,得N C 所对的圆心角N060。A 0B
10、=12 0,可得圆心0的位置和半径的大小，所以点C的轨迹为：以0为圆心，半径为A 0的圆上。且只能在劣瓠A B上运动。6、前面5种，都是定角的顶点在动，定长线段位置不变。还有一种就是定角的顶点不动，定长线段位置在变化。已知NA C B=3 0且点C固定，A B为定线段，但位置在变化，这种情况下说明aA B C的外接圆在变化，也就圆心不确定，但是，可以 确定 A B C的外接圆的半径还是不变的。我们可以得到以下结论：过点6。*n0作A B的垂线，交A B于点E,此时O E=A A B,O C=A B,当点C、0、B三点共A E B 2线时，可得C E取最 大 值 为 巫A B+A B。也可以理解
11、为点C到A B的最大值2为：4AB+AB2题型识别：有一条长度固定的线段，这条线段所对的张角固定不变。总结：定角对定长，关键在于确定圆心的位置和半径的大小。确定圆心-圆心在定长线段的垂直平分线上，再根据圆周角与圆心角之间的关系，求出此定角所对的圆心角的大小，即可确定圆心的位置。计算半径一-根据垂径定理及锐角三角函数可求半径的大小。如图，RtaA B C 中，A B B C,A B=6,B C=4,P是A A B C 内部的一个动点，且满足N PA B=Z PB C,则线段C P长的最小值为解题思路：由 N PA B=N PB C 和 N A B C=90 ,可得N P=90 A B=6,为定长
12、且位置不变，定角N P 的顶点是动点,由定角对定长，可得动点P的轨迹为：以A B 为直径的圆上，圆心为A B 的中点。取A B 得中点0,连接0 C,交圆0 为点P,此时C P取最小值为 0 C-0 P=2.证明：参照知识点储备1,点圆距离。如图，在边长为6 的等边aA B C 中，A E=C D,连接B E、A D 相交于点P,则C P的最小值为解题思路：由等边三角形和A E=C D,可证A B E C A D,可得 N A B E=N D A C,Z A B E+Z B A D=6 0,即Z A PD=1 2 0 A B=6,为定长且位置不变，定角N A PD的顶点是动点，由定角对定长，可
13、得动点P的轨迹为：劣瓠A B 上。圆心和半径的确定可以参照模型二中第5个。连接C 0 交圆于点P,此时C P的最小值为O C-O P=2 7 3证明：参照知识点储备1,点圆距离。B C（江苏南京中考）在A A B C 中，A B=4,Z C=6 0 ,N A N B,则B C 的长的取值范围是解题思路：由定角对定长可得点C 的运动轨迹，如图所示，当NC CA=N B 时，B C 取最小为4,当B C 为直径时，可取最大C值为所以：4 f iC X变：1：如图，点A 在射线0 E 运动，N E 0 B=6 0 ,点B 在x 轴正半轴上运动，在A B 右侧以它为边作矩形A B C D,且A B=2
14、 V L A D=1,则0 D 的最大值为E 解题思路：此题同题的解题思路，但是要注意一点，虽然知道y,ADC0B xEyA,DF0B 1O F、F H、D H 长度不变，但是点0、F、H、D 四点不会共线，因为，Z F H D=1 2 0 始终保持不变，所以0 D 的最大值并不是0 F+F H+D H 的值，可以连接D F,通过计算发现D F 的值也是不变的，点0、F、D 三点可以共线，所以0 D 的最大值为：D F+0 F=g+2变式2：如图，点A 是直线y=-x 上的一个动点，点B 是x 轴上的一个动点，若皿=2,则4A 0 B 面积的最大值为y.y：y,A、）A-B -/D0 x h
15、E B0 B x 0 xFA解题思路：此题要考虑讨论两种情况，当点A在第二象限定角1 3 5 ,当点A在第四象限定角4 5 ,可参照知识储备3,点弦距离。（注意：不同的是此题定角的顶点不动，弦在动，而知识储备3说的是弦不动，定角的顶点在 动，但 思 考 的 结 果 是 一 样 的。）已 知 正 方 形A B C D的 边 长 为4,点M,N分 别 从 点B,C同时出发，以 相 同 的 速 度 沿B C,C D方 向 向 终 点C和D运 动，连 接A M和B N,交 于 点P.求4 A PB周 长 的 最 大 值？A D A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _n A _
16、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _P0NP0N.P：(M)BM C BM (：B(解 题 思 路：可 参 照 知 识 储 备3,里 面 讲 的 拓 展 内 容，也 就 是 此 时A P=B P时，A PB周长取最 大 值。A C为 边 长26的 菱 形A B C D的 对 角 线，N A B C=6 0 ,点M和N分 别 从 点B、C同时出发，以 相 同 的 速 度 沿B C、A C向 终 点C和A运 动，长 的 最 大 值？K M C MC解 题 思 路：可 参 照 知 识 储 备3,里面讲的拓展内容连 接A M和B N,交 于 点P,求4 A PB周7DAD:K M C
17、，也 就 是 此 时A P=B P时，A A PB周长取最 大 值。如图，点E、F分别为正方形A B C D 的边B C、C D 上的动点，连接A E、A F,且满足NE A F=4 5(1)求证:B E+D F=E F；(2)若正方形的边长为1,则4 A E F 的面积最小值为解题思路：第一问可以通过旋转A B E,证4 A E F 义*F,然后通过线段的和差关系可以证明B E+D F=E F。第二问由第一间的全等，可以得出A E F,E F 边上高线A H=1,求aA E F 的最小值就是求E F 的最小值。虽然此题，定角N E A F=4 5 ,但是N E A F 所对的线段长E F,位
18、置和大小都在变化，所以此aE A F 的外接圆的圆心和半径都在变化，先作出任意位置4 E A F 的外接圆，再取E F 的中点G,连接A O、O G、G C,可得A O=Y E F,O G=-E F,2 2G C=-E F,由此可得：2A O+O G+G C=E F+-E F+-E F=E F 2 A C=所以 E F2 2 2 22 2 及-2 面积最小值为：V 2-1A0GDFBEC模型三：四点共圆判定1四点围成的四边形，对角互补，外角等于内对角；若NA+NDCB=180,或NB+ND=180AH 或NDCE=NA,则点A、B、C、D四点共圆。0B （：卜：判定2连接四点围成的四边形的对角线，被交点分成的两条线段长度的积相等;若EC AE=ED BE,则点A、B、C、D四点共圆。,DA0 zEB C判定3运用圆嘉定理中的割线定理；若EA ED=EB-EC,则点A、B、C、D四点共圆。DA0BC判定4四点连成共底边的两三角形，两三角形的顶角都在共底边的同侧且相等;若N A=N D,则点A、B、C、D四点共圆。DAB0C