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1、2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）一、选 择 题（共12小题）.1.已知集合/=*|2 4*4 ,B=U|-a x a+3 ,若则a取值范围是（A.(-2,+8)B.-1 C.1,+8)D.(2,+8)2.设复数z=l+Q,是虚数单位），贝11|/+2|=（）ZA.1B.&C.7 3D.23.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（)A.8B.12 C.16D.2 04.设函数f（x）=2-2一+9,则使得不等式f（2 x-1）+/（3）0,贝！z=x-2 y的最大值为(x-3 y-3 4 0)A._ 5B.1 C.
2、2D.36.已知 V s i n(0.=s i n a t a n-1,贝(I t a n a =()7.A.-2设 4 是等比数列,B.2 C.二2前顼和为s 若 J?_ 则D.=(2)0 2 4 5 2 4A,.1nB.41 cc.l4D.154 328.已知函数尸C OS（3户。）的图象如图所示，其中3为正整数，1。=n-2 B.3=1,6=2-n C.3=2,6 =n-4 D.3=2,4 =4-J t9.设抛物线/=2 p x（p 0）的焦点为凡 过点尸作倾斜角为6 0。的直线交抛物线于点4 5（点4位于x轴上方），0是坐标原点，记 Z W和比户的面积分别为S,S,则S 1S2()A.
3、9B.4C.3D.21 0.九章算术卷 五 商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍薨”.现记截面之间几何体体积为九“刍蔓”的体积为%,若V萨2=1，台V1 3体 的 体 公 式 为（介 底 +S ）,其 中 S、S 分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之 比 为 （）A.近二1 B.近 二 C.近 匚 D.近 匚2 4 2 411.已知|口=|司=2,且之，4的夹角为6 0。，若向量1 3-1 这1，则工的取值范围是（）A.-4,4 B.-2 愿，入
4、何 C.0,2 D.0,4 12 .对任意e2,使得不等式（l ox-A）成立的最大整数才为（）eA.-2 B.-1 C.0 D.1二、填 空 题（共 4小题）.s in x1 3 .已知函数f（x）=,则 曲 线 尸/（x）在（0,0）处 的 切 线 方 程 为.e1 4 .某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长 小时）近似服从正态分布，人均活动时间约4 0 小时.若某高中学校1 0 0 0 学生中参加该活动时间在3 0 至 5 0 小时之间的同学约有3 0 0 人.据 此，可推测全市名学生中，累计时长超过5 0 小 时 的 人 数 大 约 为
5、.2 21 5 .已知R,K分别为双曲线G （a 0,6 0）的左、右焦点，过点K作 C的一条渐近线的垂线，垂足为G.连接R G,设直线E G,KG的斜率分别为A,k2,若 A 也=A，则双曲线。的离心率为_ _ _ _ _ _ _.1 6 .钝 角 血 的 面 积 是 冤 运，AC=2,B C=3,角 4的 平 分 线 交 比 于 点 则 生=_ _ _ _ _.4三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2,2 3 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 6 0 分.1 7 .已知数列 4 满 足
6、 囱=a,n 4)anan-i+(加1)区-a-i=0,2 2,N.(I)求证：数列 而 七 一 为等差数列；(H)设数列 (2加1)a/的前A项和S.证明：g w S V l.41 8 .如图，三 棱 柱 板-45G中，底面胸是正三角形，Q是其中心，侧 面B C C B 是正方形,Q是其中心.(I )判断直线Q a与 直 线 的 位 置 关 系，并说明理由；/0)的左、右焦点，尸是椭圆C的短轴的一个端点，a 已知阳区的面积为&,c o sN A依=-.O(I )求椭圆C的标准方程；(I I)是否存在与咫平行的直线1,满足直线与椭圆。交于两点M M且以线段恻为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直
7、线/的方程；若不存在，请说明理由.2 1.已知函数/(x)=x+x In(.ax+b),a G R,a W O.(I )当 a=l,b=0 时，求证：f(x)-7-；4(I I)若f (x)2 f恒成立，求a A的最大值.(二)选考题：共10分.请考生从第2 2,2 3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题目计 分.选修4-4：坐标系与参数方程 x=rc ns 62 2 .在直角坐标系x勿 中，曲线G：.(。为参数，常数r 0).以坐标原点为极点，xly=rsi ny轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线G的极坐标方程为P2-8 p si n9+15=0.(I
8、)若曲线G与G有公共点，求r的取值范围；(I I)若r=l,过曲线G上任意一点P作曲线G的切线，切点为0,求|/讶的最小值.选修4-5：不等式选讲(本小题满分0分)2 3 .已知函数 f (x)=|3A+1|+|X-2|.(I )解不等式：/(X)5；(I I)若关于x的不等式f (x)卬在 0,3 上恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选 择 题(共12小题).1.已知集合4=32辽34,B=U|-aAa+3,若则a取值范围是()A.(-2,+8)B.(-8,-1 C.1,+8)解：由知ZUH,-a 2a+34解得al.D.(2,+8)故选：C.2.设复数z=l+1 Q.是虚数单位)，则|
9、4 2|=()ZA.1 B.&C.F解：因为 z2金=(l+i)2-2 i+l-i=l+i，Z 1+1所以 I z?3|=V2z故选：B.D.23.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有()A.8B.12 C.16 D.20解：由题设知不同的选法可分两种情况：第一种情况，只 有1位女生入选，不同的选法有C；C：=12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有Cgc：=4种，根据分类加法计数原理知，至少有1位女生人选的不同的选法有16种，故选：C.4.设函数f(x)=2-2-+f,则使得不等式F(2 x-l)+f(3)0成立的实数x的取
10、值范围是()A.(-,-1)B.(-8,2)C.(-1,+8)D.(2,+8)解：由函数解析式知函数f(x)是定义在R上的奇函数和单调递增函数，原不等式可化为/1(2X-1)/-(-3),.*.2 x-l-3,解得 Z-l,.X的取值范围是(-8,-1).故选：A.x 4 35.已知实数必y满足 x-y+l）O ,则z=x-2 y的最大值为（）x-3 y-3 4 0A.-5 B.1 C.2 D.3解：画出线性约束区域，,T /A所以当直线y n/x-/z经过6（3.0）点时，目标函数z=,故选：D.6.已知&sin （Q =sin a tan-1,则 tan a=（A.-2 B.2 C.2解：
11、因为后sin（a+丁）=sin C L“9 Q所以sin a+c o sa=2 sin9a因为c o sa=l-2 sin所以 sin a+c o s a=-c o s a,即 sin a=-2 c o s a,所以 tan a=-2,故选：A.7.设 a 是等比数列，前A项和为S,若.S2 =S1，则一 2 +b 4 5 aA.p-B.-y C.5 4 3解：设等比数列 4 的公比为q,S2 i由c c 二 u 可得：=4 S,整理得：为+为=3 （国+为），s2+s4 5l 2 y有最大值，最大值为3.）D4-=（）2 +a4D4即（ai+a2）q2=3（ai+a2），解得:/=3,a2a
12、l1 1a2 +a4 a j q+a j q3 1+q2 4故选：B.8.已知函数尸c o s（3户。）的图象如图所示，其中3为正整数，则（）A.3=1,=n -2 B.3=1,=2 -n C.3=2,6 =n -4 D.3=2,6=4-n解：由图象知92.吟V 2瑞,:3 为正整数，/.）得，c o s（4+6）=-1,贝!4+6=2 4冗 +兀，所以 4）=2kn+n -4,kWZ,V|4）|0）的焦点为凡 过点尸作倾斜角为6 0。的直线交抛物线于点儿8（点4S i位于x轴上方），0是坐标原点，记 卯 和 戚 的 面 积 分 别 为S,则不 工=（）b2A.9 B.4 C.3 D.2解：由
13、题意可知，直线四的方程为丫飞反收4），代入/=2 6,整理得 x2-y p x-f-p：=0.设点/、6的坐标分别为（为，/1）,（生，）,因为点4位于X轴上方，所以乂1=|1所以欧;诟r河rk故选：C.1 0.九章算术卷 五 商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍薨”.现记截面之间几何体体积为匕，“刍薨”的体积为K,若 皆=视，台体的体公式为K=-h（*屈7一+S）,其 中S、S 分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的 上、下底面 边长之 比 为 （）A.旦 B.
14、近1 C.近 出 D.近 生2 4 2 4解：设“方亭”的上底面边长为为下底面边长为6,离为h,贝U v h(a，ab+b2),1 1,9V j =y ha(a+b)=-h(a+ab),V?=V-V i =-h(a2+ab+b2)-h(a2+ab)=4-h(-a2-ab+2 b 2)，乙 ,J N b 2.V2 y h(2 b2-a2-a b)12-管)弋 归1,.=-=X-=-羯1h(a2+ab)3 管 哈 3 b 2故选：A.11.已知|=0=2,且之，4的夹角为60。，若向量13二 区1,则3兀的取值范围是（）A.-4,4 B.-2内，2 73 1 C.0,2 73 1 D.0,4 解：
15、解 法1：QA=a,Q B=b,灰=3,则 点。在以4为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量,3的夹角为。，由图TT JT可知，。取 值 范 围 为 ,b 2b c=|b|c|c o s0 =2|c|co s0 ,由 于|c I cos 8为 向 量c在 向 量b上 的 投 影,且I c Icos 8/y=2h?cosa+/3rsinCl=2+2rsin(CL7T 由于-1 4 r s i n(a -)r 31;?才成立的最大整数A为()eA.-2 B.-1 C.0 D.1解：由题意知 Q n x-4 x 31nx9 有 k 0,。得)=3 J n-=37/rj50）=节3=0.3 5,
16、故累计时长超过50小时的人数大约有0.35。人.故答案为：0.3 5A.2 215.已知E,K 分别为双曲线C：三三=1（a 0,6 0）的左、右焦点，过点K 作 C 的一条渐J近线的垂线，垂足为 连接A G,设直线AG,KG的斜率分别为左，k u若则双曲线。的离心率为_ 汇.解：已知焦点E,K 的坐标分 别 为（-c,0）,（c,0）,其中c H a 2+b 2 根据对称性，不妨设点G在渐近线y x上，a则直线EG的方程为y=，与 y J x 联立，b a得GM，也），所以k i=2 2,由 k k 2 =4,c c a a+c S得2：蓼 一（?）=，化简得c2=2a?,故 e=V.故答案
17、为：&.16.钝角 腕 的 面 积 是 当 医，AC=2,B C=3,角 4 的平分线交比1于点。，则 仍=_ 伉 _.解：SA A B C 7-AC-BC sinC 得s in C=,八 2 4 4若 角 C为锐角，贝！lcosC=，此 时 初=初+-2热BCcosC=-lQ,即研=万，由于血 8 0 4 7,则 胸 为 锐角三角形，不符合题意.故。为钝角，此时cosC=-，A=A d+B d -2AC-BCbosC=16,4故 四=4.在中，由正弦定理得AD_ CDsin/A C D sin/C A D同理，在板中,AD 二 BDsin/A B D sin/B A D而在W中,AC 二 A
18、BsinZABD=sinZACD由于故坐车=4，B D A B 2由于6。=39故 31,所以 CDcosC=6,所以知=巫.故答案为：加.三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2,2 3 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 6 0 分.1 7.已知数列 a.满足&=,n(加 1)ana-1+(z?+l)a-na-i=O,A 2,W N.(I )求证：数列 (n+；)a 为等差数列;(I I)设数列 (2 加1)a/的前A项和S.证明：4n a 1【解答】证明：(I )V (n+1)an=-4
19、,7 1+1)J=l,n nan-l+l IO ai 产一+1 1 t.(n+l)a j n a i 一皿5，_ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ _1*(n+1)an n a i 二数列*n+；)a )是首项为1 公差为1 的等差数列；(II)由(I )知：百片(2 n+l)N碧 父2-胃岭 一 n2(n+l)2 n2(n+l)2 n2(n+1)2,cS n =,1 1、/1 1、+/(=1 1-1 -2 )、=1-1-T V-l2 22 22 32 n2(n+1)2(n+1)2所以.1 8.如图，三 棱 柱 被 7-4 5 G 中，底面 胸 是正三角形，Q是其中心，侧 面 腔 1 5
20、是正方形，a_ 1an-n(n+l)是其中心.(I )判断直线Qa与 直 线 的 位 置 关 系，并说明理由；(H)若四面体加郎是正四面体，求平面况乙 与平面上所成锐二面角的余弦值.【解答】（I）证明：如 图1,取 犯 的 中 点。，旦G的中点4,连接M 4 4,阳，根据棱柱的性质可得，D D _B B ,A A j j B，所以AA上D D ,所以四边形 94是平行四边形，所 以Q Q u平面ADDiA.因为a a与皿相交,所 以a a与川1相交.0 1 配（U）解：因为四面体4腕 是 正 四 面 体，a是胸的中心，所以4”，平面四G AaBC.所以以a为坐标原点，OiA,建立空间直角坐标系
21、a-xyz.易 得 A（e ,o,0），B（-5（李 常）,&（考所以A O；=（夺,0.所以A。？前=0,又A C i是 平 面 胸 的 法 向量，O A方向分别为x轴，z轴正方向，|四|为单位长度,寺，0）,C,-,0）/Ai（0,0,1,卷纷哼,。,昌,B C=（0,-1,0）,B B j=0,=0,故A O；是平面aC与的法向量.10广（0，0,设平面批旦与平面 肺所成的锐二面角为9 ,A,09-A i0 6 0)的左、右焦点，尸是椭圆。的短轴的一个端点,az bZ已知冏用的面积为料，c o s N R P B=-0(I )求椭圆C的标准方程；(D)是否存在与阳平行的直线1,满足直线】
22、与椭圆。交于两点弘N,且以线段腑为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.解：（I）设川=2 c,则掰K的面积等于/恒/2 1|O P|=cb，所以c b=&.1 9 1由 C O S2 N C!/=C O SN F P F 2 =，即 2 cos N O P F 2-1=O O得 cos/O P F 2当.4 6因为在直角糜中，|阳=6,|曲|=c,|P F 2 I=A/|O P I 2+|0 F2 I 2=V b2+c2=a,所以C O S/O P F?所以“a a 3由0及得 a=V 3，b=l,c=历，2 6所以椭圆。的标准方程为三+y 2=.3 y(H)因
23、为直线期的 斜 率 为 平，所以可设直线的方程为等/1 p代入?+y 2=,整 理 得-亚 mx+m2-1=0b由=(V m)2-4 x t(m l)。，得 X 2+m)，则 *_6V2m 6(m2-l)则 X1+X2-，XX2=g-若以线段仞V为直径的圆经过坐标原 点。则 方 而=0，X jx2+(-x j+m)(-X 2+m)=0is 3&r s 2 nx2-j+x2 J+m=Q，所以 3 丫 6(m 2-l)V2 v 6/2m 2 n 得勿以RX-+m=0 付 m-Q-N 5 N 3 o因为所以m=土 乎.o Z 4所以存在满足条件的直线1,方程为y=qX邛好qX邛.2 1.已知函数 F
24、(x)=+x-In(a+A),aR,aW0.(I)当 a=l,b=0 时，求证：f (x)-y；4(B D 若 f (x)，/恒 成 立，求 ab的最大值.解：(I)证明：当 a=l,6=0 时，f (x)=x+x-Inx,所以f，(x)=2x+l=；2 X1：(X+1)x 。，X X所以当 时,f (x)0；当 0VxV1时,f (x)0,乙&X 乙 乙 乙所以/1)4；4(I I)/1(x)/恒 成 立，即 x-Z n(a x+6)2 0,且要求 SA+60,所以 e*-ax，6,若 a V O,对任意的实数6,当xVO 且 x l,a故不等式e-a x6 不成立.若 a 0,设 g(x)
25、=ex-axy 则 g (x)=e -a.当 (-8,a),g(x)0,从而g (x)=e*-a r在(-8,h a)上单调递减，在Qna,+)单调递增，故 g(x)=/-a x有最小值 g =a-alna9因此 bWa-alna 所以 aba-a2Ina,设 h(a)=a2-Ina(a 0),贝!|h(a)=a(1 -2Inay,所以力(a)=M 7 n a在小 、上单调递增，在,7 上单调递减，kU,e )(e ，从而 h(a)=a2-a 2 1 a 的最大值为 h(e 2)=e-e ln e 2 =1，I 上当 y,e 2时，取等号，故动的最大值为a=e b=2 2(二)选考题：共1 0
26、分.请考生从第2 2,2 3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计 分.选修4-4：坐标系与参数方程f x=rcn s 82 2 .在直角坐标系x分 中，曲线G:a (。为参数，常数r 0).以坐标原点为极点，x(y=rsin 8轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线G的极坐标方程为P2-8P sin 9+1 5=0.(I)若曲线G与G有公共点，求r的取值范围；(I I)若r=l,过曲线G上任意一点?作曲线G的切线，切点为0,求1/叫的最小值.解：(I )曲线G的普通方程为/+/=/(r 0),曲线G的 普 通 方 程 为(y-4)2=1若 G与 G有公共
27、点，则|r-l J(0-0)+(4-0)V r+1，所以3 Wr W5.(H)设 P (c o s a,S ina ),由|P Q|2=|P C 2|2-|C2Q|2=|P C2|2-1,得|N|2=c o s 2 a +(s in a -4)2-1=16-8 s in a 2 16-8=8.当且仅当s ina =1时取最大值，故I网|的最小值为2 M.选修4-5：不等式选讲(本小题满分0分)2 3 .已知函数 f (x)=|3/l|+|x-2|.(I )解不等式：f (x)5；5 得，x 毋 x 2Q :小Q I 或3 X +-3 x-l-x+25 3 x+l-x+25解得 x 5的解 集 为(-8,-i)u (1,+8).(I I)由题意知，当x 0,3 时，由x H|+|x-2|2系如恒成立.若 0 W x V 2,贝！|3A+1+2-可得 2 2 7 (-x+2x+3).=3;若 2W K 3,贝I 3A+1+X-2 2/+见(-.+4才-1)皿 力=2.综上可知，实数F(x)的取值范围是(-8,2 .