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1、2021届全国高三新高考综合能力测试试卷数学试卷各网员校注意：本试卷按照旧高考数学试卷结构命题，在深度研究2020年新高考省份数学试卷基础上加以命制试题。符合广大师生新高考模式下的需求。建议各学校在使用时对本卷进行修改为学生用版！本卷难度较高，但揉合了新高考模式的数学思想和教学指导，希望会员校能认真吸收利用！1.设集 合=CN*2,8 =m =1-，,则4 n B 的子集个数为()A.2 B.4 C.8 D.16答案解析】B【分析】求得集合/、B可得集合/n A.并确定集合DA的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结果【详 解 广，=际川*2=阵叶2 =2 =0工2,B=*=1_9=叩 1二/
2、八 =0 4,因此，4 n 8的子集个数为炉=4.2.已知函数,(分=-一d”为自然对数的底数)，若a=Q T ,占=1。队5-7,cToQ,则()A./(&)/()/(c)B.f(c)f(b fCD/()A*)1.0*1,cbc又在R上是单调递减函数，故.3.己知”)=1+立 一+总+*”=)记P寸若f(*+l)=P+。，则 Q=()1 1 1A,尹 B.3 再1,1,.1 1 1,1.1C.3l+l+3l+2+D.3*+1+3*+2+产【答案解析】C【分析】由/,写出，(K D,则。=心1)-*).A )=1+-+-+-+-+4(eN*)【详解】2 3 3a-l 3M 0 且 尾 1时，P
3、点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆a*,4 B 为椭圆的长轴端点，C D 为椭圆的短轴端点，动点四1=2 16 2户满足I播 I,PA8面积最大值为3,/0,下列是关于函数*的零点个数的判断，其中正确的是（）A.当*0时，有 3 个零点 B.当金 0时，有 4 个零点 D.当 0、k 、xWO两种情况进行讨论，最后通过解方程即可得出结果.,.fc+lx0,当无 0时：若则“力1=2 21fcr+20时，有X（2 2）=0解得工-1fcc+240时,有*（丘+2）+1=0解得J*-1若x 0,则 4+1=1嗝1,log x+lWO时
4、彳 产（1呜/1）*1=0解得工=2 1,1叫 曰10时 有log,。吗 1）=0,解得X=l,故当金 。时，有 4 个零点，C 正确，当k 0因为*，所以不满足xW O,舍去：若x 0则“力1=1鸣1,旧 产+1?0时，有氏（1呜 日1）+1巴无解；log产+10 时 有 log20ogRl）=0 解得工=1,故当k（1）如果条件能同时满足，可知在锐知口 么 中3 2,可得 2,即可判断结结果；（2）由（1）知不能同时满足，故只能同时满足或；若同时满足，4 C 因为c a,则 6,可得 2,可知不满足题意；只能同时满足，可根据余弦定理可求出办的值，再根据W 角形面积公式即可求出结果.【详解】
5、解：（1）Z VI B C 不能同时满足，.理由如下：若aAB C同时满足，snC=-0C 则在锐角 A B C 中，3 2,所以 6Jz=d+C 所以 2,这与a A B C 是锐角三角形矛盾所以A A B C 不能同时满足，.（2）因为 4 B C 需同时满足三个条件，由（I）知不能同时满足，故只能同时满足或A C ，则 6,B 则 2 这与a A B C 是锐角三角形矛盾.E 分别是ZC&G 的中点.C故 A3C不能同时满足，只能同时满足.(I )证明：因为a2=i2+c2-The COSJ4.(II)证明：O E 平面”4 周3：132=i2+15J-2x&xl5xA所以2,(III)
6、求与平 面 咽 a。所成角的正弦值.解得6=8或&=7.【答案解析】c 72+132-152 ccosC=-、面 飒 G C 所成角的正弦值.详解：（I ）因为，氏 二 平 面 C,4 C u 平面J C,所以，瓦J_ZC因为d g u 平面所以4CJL平 面 G.因为耳G u 平 面 典 q,所 以 起 *骂 q.在三棱柱8 c-4 G 中，出 口 不，且 如 二53所以 MEA D,且 ME=AD,所以四边形ADEM是平行四边形，所以 DE/AM.又平 面 幺 卷3,0 6仁平面4第8.所以ZJE 平面(I I)取4员 的中点M,连接M4、M E因为与、M 分别是3、小 的 中点,所以用E
7、 4 G，且 M E 万 监(III)在三棱柱9C-型 中，因 为 葡 J 为 G,所以g.在平面*叫 内，过点c 作 气因为，即*平面所以，平面N 8 C.建立空间直角坐标系C-xyz,如图.则C(0,0,0)B(z a o)员(Q22)G(-22,2)Z)(O,LO)E(-L2,2)BE=(-1,12)C8=(XQ,0)离=(O,Z2)设平面皿的法向量为=(五具z),贝|j亢 a=0 J 2x=0(n-CB,=0 即121y+2z=01得x=o,令y=L 得z=-i,故K=(，L T)设直线D E 与平 面 照 G C 所成的角为仇|c o s,曹/则 si但L M-H=v,也所以直线刑与
8、平面咽所成角的正弦值为6.19.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征(M E R S)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重的疾病，新型冠状病毒(CoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动.已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1,2,3,4名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用。，瓦 c,d
9、 表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，iSX=|a-l|+|fe-2|+|c-3|+|rf-4|.(1)求该业主获得礼品的概率；(2)求 X 的分布列及数学期望.【答案解析】(1)P-2 4；(2)分布列见解析，E(J T)=5【分析】(1)求得该业主预测的结果的总数，其中预测完全正确的结果只有1 种，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解；(2)以(a,b,c,d)为一个基本事件，用列举法逐一写出每种情况，得到随机变量的取值,求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列，利用公式求得数学期望.【详解】(1)由题意，该业主预测的结果有4=,种可能，预测完全正确的结果只
10、有1 种，p=所以该业主获奖的概率为 24.(2)以(,b,c,d)为一个基本事件，如下表所示：(m b c,d)X(，b,c,d)X(a,b,cf d)X(b 2,3,4)0(2,3,1,4)4(3,4,1,2)8(1,2,4,3)2(2,3,4,1)6(3,4,2,1)8(1,3,2,4)2(2,4,b 3)6(4,1,2,3)6(1,3,4,2)4(2,4,3,1)6(4,1,3,2)6(1,4,2,3)4(3,1,2,4)4(4,2,1,3)6(1,4,3,2)4(3,1,4,2)6(4,2,3,1)6(2,1,3,4)2(3,2,1,4)4(4,3,1,2)8(2,1,4,3)4(3
11、,2,4,1)6(4,3,2,1)8所以随机变量片的所有可能的取值为，Z4,6,8,1 3 1 7A =0)=,7X=2)=-=-,A =4)=可得 24 24 8 249 3 4 12X=0=-,A =)=-24 8 24 6所以随机变量X的分布列如表：X02468P124187243S16=Ox#2x +4x4*6X+8x =5所以数学期望E(X)24 8 24 8 672 0.已知1 3,在区 间 上 是 增 函 数.(1)求实数。的值组成的集合4/(x)=2x+-x?(2)设关于x的方程 3 的两个非零实根为不、巧.试问：是否存在实数处使得不等式加+加+1 之区一口对任意。e /及止
12、KU 恒成立？若存在，求 的 取 值 范 围；若不存在，请说明理由.【答案解析】(1)实数a的值组成的集合4=.L 1：(2)存在实数加4 _ 2 或使得不等式取一+m2+12卜一1 对任意ae/及，e -L q恒成立./(x)=4x+ax2-xJ(xeJR)r i ii试题解析：(1)因为 3 在区间I-13上是增函数所以，任)=-讨+加+4*在区间-L可上恒成立，=-2-2a+40二 U n T W a V l/(l)=-2+2a+40所以，实数。的值组成的集合=T 1；(2)由4x+axi-=2 x+-得 3 3即 中2 y-2)=0因为方程 一2+了，即 中2一 一2)=。的两个非零实
13、根为a f二2巧 是 方 程 中2 y-2)=。两个非零实根，于是玉+9=a%=-2二|耳一/1=J k f)=他+毛)-4书；=业+8-aet=-l l 二|不-马 匕=+8=3,(/)=m2+丽+1=1+(储+1)re -1,1m2+m+lm 0若8()=2+而+1*|%一且对任意。4及 人 -1 1 恒成立，则“)=入(*)*1，一 巧 匚=3,解得mW-2或 1W2,因此，存在实数EW-2或m 2 2,使得不等式M+52+1 2区一引对任意a w d及e卜口 恒成立.2 1.创新题型已知椭圆E两焦点(-L以4 a丹，并经过点44(1)求椭圆E的标准方程：(2)设M、N为椭圆E上关于其轴
14、对称的不同两点，收 总 的 即 为x轴上两点，I不巧=2,证明：直线幺的交点尸仍在椭圆E上；(3)你能否将(2)推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案解析】U x2 y2f-4-y3=1 +=1 2 _(1)2 ；(2)证明见解析；(3)若椭圆*2，若书=，则直线 神，出的交点仍在椭圆E上；【分析】(!)已知焦点4 T叽凰劭利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得左，写出方程即可.（2）设省（明 外，伍，-外y =得到直线4的方程为nm-卜 一 *，）X、,直线B N的直线如y =的方程为y =-卜 胃J .、方程为“2-加 ，设设交点 （。，/），分别代入直线/,B N的方程得（几-勾
15、为=%-，伍*）/=%+%,两式化简得到与2+2/、2,说明交点在椭圆上.（3）根 据（2）的论证过程，推知规律是凝巧=.2a【详解】根据题意，椭圆的长轴长：冬1+国J l2J解得a2=2,弓+/=1所以椭圆的方程是2（2）设，（肛刀），N （m,f),则直线 翻 的 方程为,设交点代入得（几 一 句“=%一叫 ,（兀+勺=郎0+飞与两边分别相乘得（y；-4）*昂=#y：-X：+BJ=1 _Q又 因 为2，不巧=2,所以与2+2比2=2,所以直线“，痴的交点P的坐标适合椭圆的方程,所以直线“，泗的交点P仍在椭 圆 百I:.工+金=1（3）若椭 圆 空 记 一,若不巧=/，则直线NB的交点p仍在椭圆式上;