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1、2023-2024-1 高三年级高三年级 10 月学情检测数学试卷月学情检测数学试卷满分，满分，150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟一分钟一单选题：（共单选题：（共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分）1.若集合2560,13AxxxBxx，则AB（）A.3,3 B.2,3 C.2,2 D.2,22.已知复数 z 满足i22i1 iz（i为虚数单位），则2z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知 na为等差数列，首项12a，公差3d，若228nnaa，则n（）A.1B.2 C.3D.44.已知3tan2,2，则co
2、ssin（）A.55B.55C.3 55D.3 555.已知平面,，直线,m n，若,l mn，则（）A.m B.nC.nlD.ml6.已知函数 211,02log1,0 xxf xxx，若 1f a，则1f a（）A.1B.0C.12D.-17.已知数列 na的通项公式为271717,2,842,2nnanannaan，若 na是递增数列，则实数 a 的取值范围是（）A.3,2B.9,5C.2,D.9,4山西省大同市第一中学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题含答案8.三棱锥PABC中，,PA PB PC互相垂直，1PAPB，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角
3、的正切的最大值是62，则三棱锥PABC的外接球的表面积是（）A.2 B.4 C.8 D.16二二多选题：（共多选题：（共 4 小题，在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求，全部选对得小题，在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.）9.已知正方体1111ABCDABC D中，O为11B D的中点，直线1AC交平面11AB D于点M，则下列结论正确的是（）A.,A M O三点共线 B.1,A M O A四点共面C.,A O C M四点共面 D.1,B B O M四点共面10.在平面直角坐标系xOy中，已知
4、任意角以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终点经过点00,P xy，且OPr（0r），定义：00sosyxr，称“sos”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数()sosf x”，有同学得到以下性质，其中正确的是（）A.()f x的值域为2,2；B.()f x的图象关于,04对称；C.()f x的图象关于直线34x对称；D.()f x为周期函数，且最小正周期为2.11.九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABCABC-中，ACBC，且12AAAB.下列说
5、法正确的是（）A.四棱锥11BA ACC为“阳马”B.四面体1A ACB的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8C.四棱锥11BA ACC体积最大值为23D.四面体11AC CB为“鳖臑”12.已知等差数列 na的首项为1a，公差为d，前n项和为nS，若201819SSS，则下列说法正确的是（）A.10a B.0d C.18192021aaaaD.数列nnSa的所有项中最小项为2020Sa三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量3,1,1,2ab，且abab，则实数_.14.已知数列 na满足111,1,2,nnnanaaan
6、为奇数为偶数.若2nnba，则1b _，nb _.（第一空 2 分，第二空 3 分）14.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 3，点,E F分别在棱1111,D A DC上，且满足1111111,3D ED FOD ADC为底面ABCD的中心，过,E F O作截面，则所得截面的面积为_.16.已知函数 cos2xf xx，数列 na满足*1naf nf nnN，则数列 na的前 100 项之和是_.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（10 分）如图，在正三棱柱
7、111ABCABC中，已知12,ABAAD是AB的中点.（1）求直线1CC与1DB所成角的正切值；（2）求点B到平面1CDB的距离.18.（12 分）已知等差数列 na的前n项和为nS，124345325,2,2aaaaa a成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设13nannba，求数列 nb的前n项和nT.19.（12 分）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.已知sinsinsinBCAC.（1）求A的值.（2）若2,5ABAC，且,BC AC边上的中线,AM BN相交于点P，求MPN的余弦值.20.（12 分）如图，一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的
8、圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上.已知圆锥底面面积是这个球的表面积的316，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.（1）试确定R和r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积之比；（2）求两个圆锥的体积之和与球的体积之比21.（12 分）在数列 na中，*211713,1644nnaaanN.（1）证明：数列1na 是等比数列；（2）令123nnnba，数列1nb的前n项和为nS，求证：1340nS.22.（12 分）已知函数 1,xf xexaa xbx a bR.（1）若函数 f x的图象在1x 处的切线方程为10exye ，求,a b的值；（2）若 2,0,bxf xx 恒成立，求
9、实数a的取值范围.高三年级高三年级 10 月月考数学答案月月考数学答案一一选择题：选择题：题号12345678答案DADADBCB二二多选题：多选题：题号9101112答案ABCADABDAD三三填空题：填空题：题号13141516答案-12；31n2 22100四四解答题：解答题：17.解：（1）由正三棱柱的结构特征可知：111,CCBB BB 平面,ABCABC为等边三角形；直线1CC与1DB所成角即为1DB B，QBD平面1,ABC BB 平面1,ABCBBBD，因为D是AB的中点，所以12BDAB，所以在 Rt1B BD中，111112tan2ABBDDB BBBAA，即直线1CC与1
10、DB所成角的正切值为12.（2）解法一：因为D是AB的中点，ABC为等边三角形，所以CDAB，因为1BB 平面,ABC CD 平面ABC，所以1CDBB，又因为11,ABBBB AB BB平面11ABB A，所以CD 平面11ABB A，又因为CD 平面1CDB，所以平面1CDB 平面11ABB A.在平面11ABB A内作1BEB D，垂足为E，平面1CDB 平面11ABB A，平面1CDB 平面111,ABB AB D BE平面111,ABB A BEB D，BE平面1,CDB 点B到平面1CDB的距离即为BE的长，由（1）知：2211,125BBBDB D，1111122B BDSB D
11、 BEBB BD，即1122 555BB BDBEB D，点B到平面1CDB的距离为2 55.解法二：等体积法11BBCDB B CDVV18.解：（1）设等差数列 na的公差为d，由124325aaa得151025ad，则1325ada.又3452,2aa a成等比数列，所以7,5,32dd成等比数列，得2(5)7 32dd，解得2d，所以*3321,naandnnN.（2）由（1）得221321 3nnnbnn，所以1231 33 35 321 3nnTn ，234131 33 35 323 321 3nnnTnn ，两式相减得231232 33321 3nnnTn119 1 33221
12、31 3nnn 16223nn 所以131 3nnTn.19.解：（1）因为BAC，所以sinsinBAC.故sinsinsinACCAC.所以2cos sinsinACC.因为sin0C，所以1cos2A.因为0,A，所以3A.（2）设,ABc ACb，依题意可得111,222AMbcBCbc BNBABCbc .所以3921,22AMBN.因为11322AM BNbcbc ，所以4 91cos91AM BNMPNAM BN .20.解：（1）由已知得球的表面积为24 R，所以圆锥的底面面积为223416rR，解得32rR，则球心到圆锥底面的距离22112OORrR，所以小圆锥的高为1122
13、RRR，母线长为2212RrR，同理可得大圆锥的高为1322RRR，母线长为22332RrR.因为这两个圆锥具有公共底面，故大圆锥与小圆锥的侧面积之比为它们的母线长之比，即3:3:1R R.（2）由（1）可得两个圆锥的体积之和为321232RrR，球的体积为343R，所以两个圆锥的体积之和与球的体积之比为334:3:823RR.21 解：（1）由11344nnaa得11114nnaa，由21716a 得154a，则11104a ，所以10na ，所以11114nnaa，所以1na 是以14为首项，14为公比的等比数列.（2）由（1）得114nna ，则114nna，所以111123232nnn
14、nnba，所以11111112212222221211232nnnnnnnnnnnb1121121212121nnnnn所以2334111111111131138212121212121402140nnnnS.22 解：（1）1,xf xexaa xbx a bR，所以 1xxxfxexaeabxa eab，因为函数 f x的图象在1x 处的切线方程为10exye ，所以 111fef，所以2121a eabeeaab，解得11ab.（2）因为2b，所以 12xf xexaa xx，所以10 xexaa xx在0,x恒成立.记 1,11xxh xexaa xx h xxa ea，记 11,xg xxa ea则 2xgxxa e，当2a 时，0gx，所以 g x在0,单调递增，因为 0110gaa ，所以 0g x，即 0h x，所以 h x在0,单调递增，又 00h，所以当0 x 时，0h x.当2a 时，令 0gx，得2xa，当0,2xa时，0gx，所以 g x在0,2a单调递减，因为 0110gaa ，所以当0,2xa时，0g x，即 0h x，则 h x在0,2a单调递减，又 00h，所以当0,2xa时，0h x，不符合题意.