《数列中的数学文化--2024年新高考数学题型归纳与方法总结 解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列中的数学文化--2024年新高考数学题型归纳与方法总结 解析版.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数列与数学文化数列与数学文化一、知识点梳理新课程标准进一步明确了数学文化在教学中的地位，数学文化作为素养考查的四大内涵之一，以数学文化为背景的试题将是新高考的考察内容，数列与数学文化有着紧密的联系，本专辑总结了数学文化在数列中出现的真题和模拟题。二、题型精讲精练1 1(单选题)(2022全国统考高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图其中DD1,CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k
2、2,AA1BA1=k3已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.92 2(单选题)(2022全国统考高考真题)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 bn：b1=1+11，b2=1+11+12，b3=1+11+12+13，依此类推，其中kN N(k=1,2,)则()A.b1b5B.b3b8C.b6b2D.b40，0q2n+2成立的n的最小值是()4A.3B.4C.5D.615(2023黑龙江大庆统考二模)我国
3、古代数学家对近似值的确定做出了巨大贡献，早在东汉初年的数学古籍 周髀算经 里便记载“径一周三”，并称之为“古率”，即“直径为1的圆，周长为3”，之后三国时期数学家刘徽证明了圆内接正六边形的周长是圆直径的三倍，说明“径一周三”实际上是圆的内接正六边形的周长与圆直径的比值，而不是圆周率若将圆内接正n边形的周长与其外接圆的直径之比记为ann3，则下列说法错误的是()A.a4=2 2B.anan+1C.存在tN N*，当nt时，an2 3D.存在n0N N*，使得a3n-1=a2n+3二、填空题二、填空题16(2023湖南长沙长沙市明德中学校考三模)中国古代数学著作 增减算法统宗 中有这样一段记载：“
4、三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是里(用数字作答).17(2023甘肃金昌永昌县第一高级中学统考模拟预测)我国古代数学著作 九章算术 有如下问题，“今有金箠，长五尺斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为斤18(2023云南云南师大附中校考模拟预测)幻方又称为魔方，方阵或厅平方，最早记载于中国公元前500年的春秋时期 大戴礼 中，宋代
5、数学家杨辉称之为纵横图.如图所示，将1，2，3，9填入33的方格内，使三行 三列 两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，n2填入nn的方格内，使得每行 每列 每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为Sn(如：S3=15)，则S10=.49235781619(2023广西南宁南宁三中校考一模)唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将
6、花传给另外两人中的任何一人，经过6次传递后，花又在甲手中的概率为20(2023全国模拟预测)斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用斐波那契数列 an满足：a1=a2=1，an+2=an+1+annN N，则1+a3+a5+a7+a9+a2022是斐波那契数列 an中的第项21(2023浙江金华统考模拟预测)数学王子高斯在小时候计算1+2+100时，他是这样计
7、算的：1+100=2+99=50+51，共有50组，故和为5050，事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数y=f x图象关于12,2对称，Sn=n+1f1n+1+f2n+1+fnn+1nN N*，则1S15+1S2+1Sn=.22(2023山东烟台统考二模)欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理如著名的欧拉函数 n：对于正整数n，n表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，如 5=4，9=6那么，数列 n 5n的前n项和为23(2023黑龙江大庆大庆实验中学校考模拟预测)古印度数学家婆什伽罗在 丽拉沃蒂 一
8、书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝(古印度货币单位)，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了an子安贝(其中1n31，nN)，数列 an的前n项和为Sn若关于n的不等式Sn-62a2n+1-tan+1恒成立，则实数t的取值范围为三、解答题三、解答题24(2023云南昆明统考模拟预测)雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：将图中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图；
9、将图的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图；按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线(Koch snowflake)现将图、图、图、中的图形依次记为P1、P2、Pn、小明为了研究图形Pn的面积，把图形Pn的面积记为an，假设a1=1，并作了如下探究：P1P2P3P4Pn边数31248192从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积19192193根据小明的假设与思路，解答下列问题6(1)填写表格最后一列，并写出an与an-1nN N*,n2的关系式；(2)根据(1)得到的递推公式，求 an的通项公式；(3)从第几个图形开始，
10、雪花曲线所围成的面积大于797500参考数据(lg30.477，lg20.301)25(2023福建福州福州四中校考模拟预测)如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的 详解九章算法商功 中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.设各层球数构成一个数列 an.(1)写出an与an+1nN*的递推关系，并求数列 an的通项公式；(2)记数列 bn的前n项和为Sn，且Sn=32bn-32，在bn与bn+1之间插入n个数，若这n+2个数恰能组成一个公差为dn的等差数列，求数列 andn的前n项和Tn.7数列与数学文化数列与数学文化一、知识点梳理新课程标准进一步明确
11、了数学文化在教学中的地位，数学文化作为素养考查的四大内涵之一，以数学文化为背景的试题将是新高考的考察内容，数列与数学文化有着紧密的联系，本专辑总结了数学文化在数列中出现的真题和模拟题。二、题型精讲精练1 1(单选题)(2022全国统考高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图其中DD1,CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差
12、数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【答案】D【分析】设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则可得关于k3的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3，依题意，有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，所以0.5+3k3-0.34=0.725，故k3=0.9，故选：D2 2(单选题)(2022全国统考高考真题)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人
13、造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 bn：b1=1+11，b2=1+11+12，b3=1+11+12+13，依此类推，其中kN N(k=1,2,)则()A.b1b5B.b3b8C.b6b2D.b4b7【答案】D1【分析】根据kN N*k=1,2,，再利用数列 bn与k的关系判断 bn中各项的大小，即可求解.【详解】方法一:常规解法因为kN N*k=1,2,，所以111+12，得到b1b2，同理1+121+12+13，可得b2b3又因为1212+13+14,1+12+131+12+13+14，故b2b4；以此类推，可得b1b3b5b7，b7b8，故A错误；b1b7b8，
14、故B错误；1212+13+16，得b21+12+16+17，得b4b7，故D正确.方法二：特值法不妨设an=1,则b1=2,b2=32，b3=53,b4=85，b5=138,b6=2113，b7=3421,b8=5534，b40，0q2n+2成立的n的最小值是()A.3B.4C.5D.6【答案】C【分析】由题设及累加可得an-a1=2+3+n，应用等差数列前n项和公式及已知不等关系求n范围，即可得结果.【详解】由题意a2-a1=2a3-a2=3,an-an-1=n，n2，nN*且a1=1，累加可得an-a1=2+3+n，所以an=1+2+n=n n+12，n n+122n+2，得n4，即nmi
15、n=5故选：C15(2023黑龙江大庆统考二模)我国古代数学家对近似值的确定做出了巨大贡献，早在东汉初年的数学古籍 周髀算经 里便记载“径一周三”，并称之为“古率”，即“直径为1的圆，周长为3”，之后三国时期数学家刘徽证明了圆内接正六边形的周长是圆直径的三倍，说明“径一周三”实际上是圆的内接正六边形的周长与圆直径的比值，而不是圆周率若将圆内接正n边形的周长与其外接圆的直径之比记为ann3，则下列说法错误的是()A.a4=2 2B.anan+1C.存在tN N*，当nt时，an2 3D.存在n0N N*，使得a3n-1=a2n+3【答案】C【分析】根据题意，设外接圆的半径为R，求出 an的通项公
16、式，代入即可判断AD，利用导数求解单调性即可判断BC.【详解】解：根据题意，正n边形内接于圆，设圆的半径为R，则正n边形的周长d=2nRsinn，则an=d2R=nsinn，对于A，当n=4时，a4=4sin4=2 2，A正确；9对于B，设 f x=xsinxx3，其导数 fx=sinx-xcosx=cosxtanx-x，接下来证明sinxxtanx 0 x2，令m(x)=sinx-x,n(x)=x-tanx,0 x2，则m(x)=cosx-10,n(x)=1-1cos2x=-sin2xcos2x0,故m(x),n(x)均为0 x2上的单调递减函数，所以m xm 0,n xn 0，故sinxx
17、tanx 0 xx，故 fx0，函数 f x在 3,+上为增函数，故数列 an为递增数列，则有anan+1，B正确；对于C，当0 x2时，sinxx，对于 f x=xsinxx3，必有 f xxx=2 3，对于数列an，必有an2 3，C错误；对于D，当n=4时，a3n-1=a11=11sin11，a2n+3=a11=11sin11，D正确；故选：C二、填空题二、填空题16(2023湖南长沙长沙市明德中学校考三模)中国古代数学著作 增减算法统宗 中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是里(用数字作答).【答案】6【分析】根
18、据题意分析，看成首项a1，公比q=12的等比数列an，已知S6=378，继而求出a1，即可得出答案.【详解】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列an，nN,n6，其公比q=12，令数列an的前n项和为Sn，则S6=378，而S6=a11-1261-12=63a132，因此63a132=378，解得a1=192，所以此人在第六天行走的路程a6=a1125=6(里).故答案为：617(2023甘肃金昌永昌县第一高级中学统考模拟预测)我国古代数学著作 九章算术 有如下问题，“今有金箠，长五尺斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细在粗的一端
19、截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为斤【答案】15【分析】根据题意，每节重量构成等差数列，由等差数列求和公式得解.【详解】由题意知每节的重量构成等差数列，10设首项为2，则第5项为4，所以总重量为2+425=15斤故答案为：1518(2023云南云南师大附中校考模拟预测)幻方又称为魔方，方阵或厅平方，最早记载于中国公元前500年的春秋时期 大戴礼 中，宋代数学家杨辉称之为纵横图.如图所示，将1，2，3，9填入33的方格内，使三行 三列 两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般
20、地，将连续的正整数1，2，3，n2填入nn的方格内，使得每行 每列 每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为Sn(如：S3=15)，则S10=.492357816【答案】505【分析】利用等差数列求和公式得出n阶幻方的所有数之和，再计算每行数之和即可得出对角线上数字之和.【详解】n阶幻方共有n2个数，其和为1+2+n2=n2(n2+1)2，n阶幻方共有n行，每行的和为Sn=n2(n2+1)2n=n(n2+1)2，S10=10(102+1)2=505.故答案为：50519(2023广西南宁南宁三中校考一模)唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传
21、彩球游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过6次传递后，花又在甲手中的概率为【答案】1132【分析】设第n次传球后球在甲手中的概率为Pn，根据题意找出Pn的递推关系，写出Pn的通项公式，然后求P6即可.【详解】设第n次传球后球在甲手中的概率为Pn，nN N*.则Pn+1=Pn0+1-Pn12，得Pn+1=-12Pn+12，Pn+1-13=-12Pn-13.一次传球后，花不在甲手上，故P1=0，所以数列 Pn-13 是以-13为首项，公比为
22、-12的等比数列，所以Pn-13=-13-12n-1.即Pn=-13-12n-1+13，所以P6=-13-125+13=1132故答案为：113220(2023全国模拟预测)斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的11应用斐波那契数列 an满足：a1=a2=1，an+2=an+1+annN N，则1+a3+a5+a7+a9+a2022是斐波那契数列 an中的第项【
23、答案】2023【分析】利用递推关系a1=a2=1，将所求关系式中的“1”换为a2，再利用an+2=an+1+annN N即可求得答案【详解】由an+2=an+1+annN N可得1+a3+a5+a7+a9+a2022=a2+a3+a5+a7+a9+a2022=a4+a5+a7+a9+a2022=a6+a7+a9+a2022=a2021+a2022=a2023.故答案为：2023.21(2023浙江金华统考模拟预测)数学王子高斯在小时候计算1+2+100时，他是这样计算的：1+100=2+99=50+51，共有50组，故和为5050，事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数y=f x图象
24、关于12,2对称，Sn=n+1f1n+1+f2n+1+fnn+1nN N*，则1S1+1S2+1Sn=.【答案】n2 n+1【分析】根据抽象函数的对称性可得 f(x)+f(1-x)=4，由题意得 fin+1+fn+1-in+1=4，根据Sn=(n+1)ni=1fin+1,Sn=(n+1)ni=1fn+1-in+1可得Sn=2n(n+1)，即1Sn=121n-1n+1，结合裂项相消求和法即可求解.【详解】由函数 f(x)图象关于点12,2对称，得 f12-x+f12+x=4，得 f(x)+f(1-x)=4，所以 fin+1+fn+1-in+1=4.因为Sn=(n+1)ni=1fin+1,Sn=(
25、n+1)ni=1fn+1-in+1，所以2Sn=(n+1)ni=1fin+1+(n+1)ni=1fn+1-in+1=(n+1)ni=1fin+1+ni=1fn+1-in+1=(n+1)ni=1fin+1+fn+1-in+1=4n(n+1)，所以Sn=2n(n+1)，则1Sn=12n(n+1)=121n-1n+1，所以1S1+1S2+1Sn=121-12+12-13+1n-1n+1=n2(n+1).故答案为：n2(n+1).22(2023山东烟台统考二模)欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理如著名的欧拉函数 n：对于正整
26、数n，n表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，如 5=4，9=6那么，数列 n 5n的前n项和为【答案】n-145n+14【分析】利用错位相减法求和.【详解】在 1,5n中，与5n不互质的数有51,52,53,55n-1，共有5n-1个，12所以 5n=5n-5n-1=45n-1，所以n 5n=4n5n-1，设数列 n 5n的前n项和为Sn，所以Sn=450+851+1252+4n5n-1，5Sn=451+852+1253+4n5n，两式相减可得-4Sn=4+4 51+52+5n-1-4n5n,所以Sn=-1-51+52+5n-1+n5n=-1-5(1-5n-1)1-5+n5n,即Sn
27、=n-145n+14,故答案为：n-145n+14.23(2023黑龙江大庆大庆实验中学校考模拟预测)古印度数学家婆什伽罗在 丽拉沃蒂 一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝(古印度货币单位)，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了an子安贝(其中1n31，nN)，数列 an的前n项和为Sn若关于n的不等式Sn-62a2n+1-tan+1恒成立，则实数t的取值范围为【答案】-,15【分析】先求得数列an的通项公式和前n项和Sn，化简题给不等式为t642n+1+2n+1-1，求得642n+1+2n+1-1的最小值，进而得到实数t的取值范围
28、.【详解】由题意可知，数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，故an=2n(1n31,nN)所以Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2由Sn-62a2n+1-tan+1，得2n+1-6422n+2-t2n+1，整理得t642n+1+2n+1-1对任意1n31，且nN恒成立又642n+1+2n+1-12642n+12n+1-1=15，当且仅当2n+1=8，即n=2时等号成立，所以t797500，利用指数函数的性质及对数的运算性质求解【详解】(1)图形P1、P2、Pn、的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形Pn的边数为34n-1；从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首
29、项，4为公比的等比数列，则Pn比前一个图形多出的三角形的个数为34n-2；从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以19为首项，19为公比的等比数列，则Pn比前一个图形多出的每一个三角形的面积是19n-1P P1 1P P2 2P P3 3P P4 4PnPn边数边数3 31212484819219234n-114从从P P2 2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数3 31212484834n-2从从P P2 2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积1919219319n-1所以an
30、=an-1+34n-219n-1，即an=an-1+3449n-1nN N*,n2(2)当n2时，an=an-an-1+an-1-an-2+an-2-an-3+a1-a2+a2-a1+a1=3449n-1+49n-2+49+1=3449-49n1-49+1=85-3549n-1，又因为a1=1，符合上式，所以an=85-3549n-1nN N*(3)由an797500，得85-3549n-1797500，则49n-11100，所以 n-1lg491lg3-lg2+1，由lg30.477，lg20.301，故n6.682，又因为nN N*，所以n7，所以从第7个图形开始雪花曲线所围成的面积大于7
31、9750025(2023福建福州福州四中校考模拟预测)如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的 详解九章算法商功 中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.设各层球数构成一个数列 an.(1)写出an与an+1nN*的递推关系，并求数列 an的通项公式；(2)记数列 bn的前n项和为Sn，且Sn=32bn-32，在bn与bn+1之间插入n个数，若这n+2个数恰能组成一个公差为dn的等差数列，求数列 andn的前n项和Tn.【答案】(1)an+1=an+n+1,nN*，an=n n+12,nN*(2)Tn=3+2n-13n+14【分析】(1)利用每一层小球的
32、数量找到递推关系，再利用累加法求通项公式即可；(2)利用Sn与bn的关系求出数列 bn，进而求得dn，再利用错位相减法求Tn即可.【详解】(1)由题意可知，a1=1,a2=3=1+2=a1+2，a3=6=1+2+3=a2+3,an=an-1+n，所以数列 an的一个递推关系为an+1=an+n+1,nN*，所以当n2时，利用累加法可得an=a1+a2-a1+a3-a2+an-an-1=1+2+3+n=n n+12，将n=1代入得a1=122=1，符合an=n n+12，15所以数列 an的通项公式为an=n n+12,nN*.(2)当n=1时，S1=32b1-32，即b1=3，当n2时，Sn=
33、32bn-32，Sn-1=32bn-1-32，-，得bn=Sn-Sn-1=32bn-32bn-1，即bn=3bn-1，所以数列 bn是以3为首项，3为公比等比数列，所以bn=3n,bn+1=3n+1，由题意可知bn+1=bn+n+2-1dn，所以dn=bn+1-bnn+1=23nn+1，所以andn=n n+1223nn+1=n3n，所以Tn=131+232+333+n-13n-1+n3n，3Tn=132+233+334+n-13n+n3n+1，-得-2Tn=31+32+33+3n-n3n+1，-2Tn=3-3n+11-3-n3n+1所以Tn=3+2n-13n+14，所以数列 andn的前n项和Tn=3+2n-13n+14.16