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1、(难)2021-2022学年人教版八年级数学期末压轴课等腰三角形(解析版)学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.(2021全国八年级专题练习)当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题.如图1,在AABC中，ZA=2NB,C D 平分Z4C8,)=2,A C =3,求 B C 的长，解决办法：如图2,在 B C 边上取点E,使 E C=A C,连接D E,可得DEC会且ABDE是等腰三角形，所以B C 的长为5,试通过构造等腰三角形解决问题：如图3,中，AB=AC,ZA=20,B D 平分Z A 8 C,要想求A D 的长，仅需知道下列哪些线段的长(8C=a,B D =b,D
2、 C =c)()A.a 和 b B.b 和 c C.a 和 c D.a b 和 c【答案】A【分析】在 84边上取点E,使 BE=BC=a,连接),得到=,在 D 4 边上取点尸，使DF=DB=b,连 接 庄，得 至“B DEAFDE,即可推出结论.【详解】解：要想求A O 的长，仅需知道BC和8 0 的长，理由是：如图 4,.ABC中，A B A C,4=20。，.-.ZAfiC=ZC=80,Q 8 D 平分 NABC,.-.Zl=Z2=40,Z B D C =60,在 边 上 取 点 E,使 BE=BC=a,连接0E,在.D E B和ADCB中，B E=B C A 边上取点尸，使 D F
3、=D B,连接F E,贝Ij/BDE 三 A FDE(SA S),/.Z5=Z1=4O,BE=EF=a,vZA=20,/.Z6=20,/.AF=EF=a,;BD=DF=b,:.A D=A F+DF=a+b.故选：A.本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键.2.（20 21 全国八年级专题练习）如图，在 A B C 中，AB=A C9 Z B A C =5 4 ,Z B A C 平分线与A B的垂直平分线交于点0,将 N C 沿 防（在 B C 上，尸在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，有如下五个结论：AOL8C；O D =
4、O E；是等边三角形；AOEF%C E F ；/。所=5 4。.则上列说法中正确的个数是（）AA.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】利用三线合一可判断；由折叠的性质可判断；根据垂直平分线的性质得到OA=OB,从而计算出乙4cB=/EOF=63。，可判断；证明 O A B g A O A C,得 到。4=O8=OC,从而推出NOEF=54。，可判断；而题中条件无法得出0。=。可判断.【详解】解：如图，连接。8,0C,：AB=AC,0A 平分/B A C,/8AC=54,.AOA-BC(三线合一)，故正确；/8A。=N CA O g N 8A C=g x54=27,ZABC=ZACB=|
5、x(180-/8AC)=gx126=63,是A B的垂直平分线，：.O A=O B,即/。48=NOBA=27。，则 Z OBC=NA BC-Z O8A=63-27=36#Z OBA,由折叠可知：4 OEFm/C E F,故正确；BP ZACB=ZOF=630/60,OE=CE,ZO EF=ZCEF,.OEF不是等边三角形，故错误；在4 0 4 3和4 O A C中，AB=A C-N O A B =Z O A C ,OA=OA：./OAB/OAC(SAS),：.OB=OC,又 03=0A,/.OA=OB=OC,N O C B=/O B C=3 6。,又 OE=CE,：.ZOCB=ZEOC=36
6、,.ZGD=1 CAE+AF)GD=nm,故错误.：BE=EG,GF=CF,：.A E+A F+EF=AE+A F+EG+FG=AE+A F+BE+CF=AB+AC,即 AEF的周长等于48+AC的和，故正确，故选：c.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键.4.（2021浙江八年级期中）如图，正方形ABC。的边长为2,。为 8 边 上（异于C,。）的一个动点，A Q 交 B D 于点M.过 用 作 M NLAQ交 BC于点N,作 N P L B D 于点P,连接N
7、Q,下面结论：AM=AW：M P =叵；ACNQ的周长为2+0；B O+2B P=28M,其中一定成立的是（）B _A:图。C Q DA.B.C.D.【答案】C【分析】正确.只要证明 AME四即可：正确.只要证明 AOM安MPN即可：错误.只要证明由此推出 AN。畛ZVINH即可：正确.只要证明 AME丝丛N M F,四边形E M F B是正方形即可解决问题；【详解】解：连接AC交 8。于。，作M E1.AB于E,M F L B C于F,延长C B到 H,使得BH=DQ.；四边形ABCD是正方形，：.ACLBD,AC=&AD=2应，O4=OC=亚，ZDBAZDBC=4 5,：.ME=MF,：N
8、 M E B=N M F B=ZEBF=90,二四边形EMFB是矩形，,:ME=MF,.四边形EMF8是正方形，N E M F N=9 0 ,NAME=NNMF,NAEM=NMFN=90,：./NMF(ASA),：.AM=M N,故正确，：/OAM+NAMO=90,NAMO+/MWP=90,NAMO=NMNP,/ZAOM=ZNPM=90,：.A O M M P N (AAS),：.PM=0A=41，故正确，,：DQ=BH,AD=AB,ZADQ=ZABH=90,：.ZAD Q/ABH (SAS),：.AQ=AH,NQAD=NBAH,ZBAH+ZBAQ=ZDAQ+ZBA0=90,：AM=MN,ZA
9、M7V=9O,，NMAN=45,：.ZNAQZNAH=45,：./AN Q/AN H(SAS),NQ=NH=BN+BH=BN+DQ,:A C N Q 的周长=C/V+CQ+BN+OQ=4,故错误，:BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP,：.BD+2BP=2BM,故正确.故选：C.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.5.(2021四川叙州)如图，正方形A5C。中，尸为CD边上任意一点，E_LAP于点E,点尸在AP延长线上，且E F=A E,连结。/、CF
10、,NC。尸的平分线OG交A尸于G,连结B G.给出以下结论：。尸=D C；AO EG是等腰直角三角形；NAGB=45；D G+B G=42A G.所有正确的结论是()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据等腰三角形三线合一，得到A D=O R 又根据正方形性质得A D=O C,从而等量代换得，D F=D C,即可判断；设NZW =NDE4=a,则NAD尸=18O-2a,由ZPDF=ZADF-ZADC=90-2a ZFDG=ZPDF=45-a,进-一 步得到2NDGE=NDFA+NFDG=45，从而可判断；在向4 4 出和 Rt/”。尸中进行角等量代换，得到ND4P=EDP，再山4=尸和角平分线
11、两个条件，进行角之间的等量代换，结合D E L A F,即可判断；作 B H L A F,分别在和RrAOEG中，进行边的转换，再根据 得到0G=74”，由AH+G/=A G,代入化简即可判断.【详解】解：；四边形A8CO是正方形，AD=DC.BAD=ZADC=90,-.-D E A F,EF=AE,A D D F,：.DF=DC,.正确；,/AD=DF,ZDAF=ADFA,设 NZMF=ZDE4=g,则 乙4）尸=180-2 a，NPDF=ZADF-ZADC=90-2 a -平分NCF,2FDG=-4PDF=45-a ,2*.NDGE=ZDFA+/尸Z)G=45，:.XDEG是等腰直角三角形
12、，正确；四边形A3CO是正方形ZADC=90 ZADE+ZEDP=90,:DELAF,，ZADE+NDAP=9 0，:.ZDAP=/EDP,:AD=DF,ZDAP=ZDFP，:ZEDP=ZDFP，/ZCDF的平分线交AF于点G,/.NCDG=/FDG,:.ZEDP+ZCDG=ZDFP+ZFDG，：.NEDG=/EGD,又:DEAF,.QEG是等腰直角三角形.如下图：正确,/NAG8=45。，BG=历BH,QEG是等腰直角三角形,DG=ED E,四边形ABCD是正方形:.AB=AD,又 BH A_AF,DEA.AP,J ZBHA=ZAED=90N B AH +N E A D =N E AD+Z
13、A D E=90，Z B AH =Z AD E,4B AH =/A D E，：.A H =D E,*-D G =Q AH ,?AH +G H =A G,4 2 A H +yj2 GH=y/2 A G，DG+BG=6AG，.正确；故选：D.【点 睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质等相关知识点，结合条件找见相关切入点是解题关键.二、填空题6.（2021湖北钟祥）如 图，A 8 c是 边 长 为6的等边三角形，。为 射 线B C上一动点（点。在 点C的右侧），将 线 段 8 绕 点。逆 时 针 旋 转120。得 到 线 段。E,连 接SE,F为 的 的 中 点，连 接C F
14、,在 点。运动的过程中，线 段C F长 度 的 最 小 值 为.【分 析】连 接C E,取8 c的 中 点M连 接 作 射 线N F,先由旋转的性质和等腰三角形的性质得ZD C=30,再由三角形中位线定理得N尸C E,则NCNF=NQCE=30。，得 点F的轨迹 为 射 线N F,且/CNF=30。，当C F L N F时，C F最短，然 后 由 含30。角的直角三角形的 性 质 得C F=gcN=T即可.【详 解】解：连 接 C E,取 8C 的中点N,连接作射线NF,如图所示:.CCE 为等腰三角形，Z.NDCE=30。,点N为 BC 的中点，点 F为 BE的中点，:.NF是 4 8 C
15、E 的中位线，：.NF/CE,：.NCNF=NDCE=30,.点F的轨迹为射线NF,且ZCNF=3G,当 C PL N F 时，C F最短，：AB=BC=6,；.CN=3,在/?/CNF 中，NCNF=30。,：.CF=CN=,2 2线段C F长度的最小值为：3，23故答案为：.2【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，判断出点尸的运动轨迹是解题的关键.7.（2 0 2 1 上海崇明八年级期末）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”.如果凸四边形A
16、 8 CZ）是“等腰四边形”，对角线4C 是该四边形的“等腰线”,其中/3 C O =8 0。，AB=B C =C D丰A D,那么Z f i W 的度数为.【答案】7 5。【分析】根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线8 0 是该四边形的“等腰线”，所以 CBD和AABD为等腰三角形，由于AB=3C=CDw A。，AABE)中分两种情形：AB=BD,A D=B D.当时，由于 A3=5C=C,可得ABDC为等边三角形，ZABC=9 0 ,则NA8 =30。，结论可得；当4)=3。时，过点。作。根据等腰三角形的三线合一，BE=A B,过点。作Q F_L C B,交CB延长线于点F,根据四边形
17、 也 为矩形，DF=AB=C D,可得NDC8=3 0 ,由于NABC=90,N F D B 可得，从而ZS4 可求.【详解】解：凸四边形A8CO是“等腰四边形”，对角线8 0 是该四边形的“等腰线”,X C B D和M B D为等腰三角形.由于ABxAD，在AAB 中分两种情形：A B =B D,4)=8 当/W=8 时，如下图：AB=B C =CD,AB=BD.BC=CD=BD.ABQC为等边三角形./.ZDBC=60.-Z A B C =90,:.ZABD=30.过点。作 小，A B,过点。作 小 _ L C 8,交8 c 延长线于点厂,;AD=BD,DEA-AB,：.BE=-A B.2
18、,.D E工AB,DF工CB,NABC=90。，二四边形石 3尸 为矩形.,.DF=BE=-AB,2/AB=CD,.DF=、CD.2DE 1在 RtADCF 中，sinZDCF=-,/.ZrCF=30.BC=CD,NDBC=/BDC=Z D C F=15.2/ZABC=90,ZABD=75.AD=BD,BAD=ZABD=75.综上，/BAD =75。.故答案为：75.【点睛】本题主要考查了等腰三角形，多边形的对角线，等腰直角三角形等知识点.本题是阅读题，正确理解题意是解题的关键.8.（2021正定县教育局教研室八年级期中）如图，等边三角形ABC的边长为4,顶点8 与原点。重合，点 C 在 x
19、轴的正半轴上，过点3 作 BA_LAC于点片,过点%作B J I O A,交。C 于点用；过点用作用&L A C 于点&,过点七作交于点生,则点A 的 坐 标 是 按 此 规 律 进 行 下 去，点 儿的坐标是【分析】根据图形算出A点、A点、4点的坐标，进而总结出坐标规律，即可完成本题.【详解】如图,分别连接从 与、4也、&鸟、4鸟、.AABC是等边三角形：.AB=BC=AC=4,Z ABC=Z A=ZACB=60：BA,1 A CA是A C的中点A B J/OA 4是B C的中点AB,1 BC：.BB.=B.C=-B C =21 1 2由勾股定理得做=2 6，A（2,2百）：A B J/0
20、4ZAB,C=ZABC=60AA B C是等边三角形，且边长为2同理可得：4点是AC中点，是BC的中点:.BB?=B2c=1 ,=BB+8层=2+1=3 A（3,石）同理，A4 8 2 c 是等边三角形，且边长为11 7:.BB3=3旦 +4&+不坊=2+1 +/=耳，A,4 二同理，亨），/-一般地，4 4 一 白,寡（1 c根据上述规律得：4（）2 1 4-尹五，另五本题主要考查点的坐标的规律以及等边三角形的判定与性质，总结出点A,的规律是解题的关键，体现了由特殊到一般的数学思想，属于填空题中的压轴题.9.（2021广东宝安八年级期末）如图，在AA8C中，ZC4B=60,AB=10,AC=
21、6,将线段BC绕着点8 逆时针旋转60。得到AC,C C,则AABC的面积为.c【答案】10石【分析】延长A C至 Q,使得 =3 ,连接8。，可以证明A8。为等边三角形，利用必S证明A O B C g A M C,过点8做于点E,由30。的角的性质以及勾股定理可求BE,又8=A O-A C,根据三角形的面积公式即可得出答案.【详解】延长A C至。，使得4 5 =3 ),连接8 3，如图DA*.ZC4B=60 A 8O为等边三角形.8C绕着点3逆时针旋转60。得到B C 8 C C为等边三角形:BC=BC,ZCBC=60 :Z DB A -Z A B C =Z C B C-Z A B C即 N
22、OBC=ZABC在 (%口 A B C 中DB=DB/3 D C A D-A C =10-6=4：.S,DBC=go C B E =Jx 4 x 56=106S皿=i o G故答案为10 石.【点睛】本题考查的是三角形的综合，涉及到三角形全等、旋转的性质以及构造等边三角形等知识点，证明AOBCGAABC是本题的关键.10.（2021湖北江汉）如图，A A 8C 中，A B=A C,P 是 BC延长线上一点，CTJLAP干尸，D,E 分别为8 c 和 AC的中点，连 EO,E F,若NAP3=40。，贝!|NZ）E f=度.【分析】根据邻补角的性质可得N B C 片 N C F P+N 尸=13
23、0。，再根据三角形中位线定理得到DE/AB,则N E O C=/A B C,然后由直角三角形的性质得到EF=EC,得到N ECF=N EFC,最后结合图形计算即可.【详解】解：CFA-AP,NA P8=4 0 ZBCFZCFP+ZP=130 ,g|J N E C D+N E C 尸=130 ：AB=AC：.ZABC=ZACB,/D、E分别为B C和 4 c 的中点：.DE/AB：.NEDC=NABC：.NEDC=NACB：.ZDECS00-2ZACB：CFLAP,E为AC的中点,:.EF=EC,：.NECF=NEFC/.ZCEF=I8O-2Z ECF：.Z DEF=Z DEC+Z CEF=18
24、0-2ZACB+1800-2Z ECf=360-2x 130=100.故 填100.【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键.三、解答题11.（2021杏花岭山西实验中学）情景观察：如图 1,AABC 中，AB=AC,ABAC=45,CD!AB,AEL 8C,垂足分别为 D,E,CD与AE交于点F.;BEC b=4，图 1 .2（1）写出图中所有的全等三角形_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
25、_ _ _；（2）线段A尸与线段CE的数量关系是AF=2 C E,并写出证明过程：问题探究：如图 2,在AABC中，ZBAC=45,AB=BC,AO平分NBAC,ADLCD,垂足为,AD与BC交于点E.求证：AE=2CD.【答案】（1）RtAABEWRuACE,A/ADFACDB；（2）见解析；问题探究：见解析【分析】（1）根据等腰三角形性质、全等三角形的判定定理解答；（2）根据全等三角形的性质解答；问题探究：延长A&C O交于点G,分别证明ADG AA D G、AADC冬&CBG,根据全等三角形的性质证明.【详解】解：(1)在 ABE和用。石中，AB=ACAE=AE：.RtAA B E/RS
26、A C E(H L):V C D!A B,AE 上 BCJ ZADF=ZCDB=90,ZAEC=90,*/ZAFD=/C F E,ZB+ZFCE=90。，NCFE+ZFCE=90,J ZAFD=ZB,*/ZADC=90,ZBAC=45,.N4 a)=45。，:.AD=CD.在 AD/和COB中，NADF=NCDB NAFD=4B,AD=CD：.ADF沿ACDB,故答案为：RsABE*RsACE,AD尸名CDB；(2)RtSBE冬R tSC E,:.BC=2CE,:公 ADF冬 A C D B,:,A F =BC,：.AF=2CExCD交于点G,如图所示:.ZCAD=ZGAD9VyADICD,，
27、ZADC=NAOG=90,it ADC 和 ADG 中，ZA DC =NA DG =A,Z A C Z)=Z A/E=9 0,:.A HE=DC A(A A S),:.EH=A C；(2)证明：如图2,过点E作ENL AM,交A的延长线于N,图2-.-AD1AE,EN LA M,:.ZANE=ZEAD=ZACB=90,/.ZZMC+ZA)C=90o,ZD A C Z E A N=90,:.ZEAN=ZADC,又.AD=AE,ZACD=ZANE=9Q,:.MNE/SDCA(AAS),:.EN=A C,/BC=A Cf/.BC=NE,又.ABMC=Z.EMN,ZBCM=Z E W =90,:.AB
28、CM AENM(AAS),BM =EM ；(3)解：当点。在线段3 C上时，如图,-2AC=5CM,设 CM=2a,AC =5a,由(1 )得：AAHEADCA,:.AH=D C,EH=AC=5afAC=BC=5a,BC=EH=5a,又.ZBMC=/EM H,ZBCM=ZEHM=90,g C M =庄HM(AAS),.HM=CM=2a,.AH =A C-C M-H M=a,:.AM =AH+HM=3af BD=BC-CD=4a,C -B D A C x4ax5a._ 2=2_ 3.S 3 1 AM-EH Ix3x5a 3 52 2当点。在线段B C的延长线上时，如图2,由图可得：AC +4+(
29、a-+8)2=0/.2n+b+4=0,a-Z?+8=0,/.a=-4,Z?=4,点 A(-4,4),轴,.A B=BO=4,ZA BO=90f：.A B O是等腰直角三角形；(2)如图2,过点。作于,图2，ZDHO=ZCBO=90,：.N BCO+N BOC=N DOH+/COB,：.4D0H=/BC0,又：CO=DO,ZDHO=ZCBO=90f:BCOQRHOD(A4S),:DH=BO,BC=OH,点。是AB的中点，：.AC=BC=2,：OH=2,BH=BO-OH=2fyAB=DH,ZAEB=ZDEH,NABE=NDHE=90,：./XABEADHE(A4S),：.BE=EH=f：.OE=O
30、H+EH=3,工 点 E(-3,0)；(3)OM+A/N-ON 的值不变，理由如下：如图3过点A作AP_LMO于P,AQLy轴 于Q,AG_LAM交y轴G,：.AP=AQ=4f/必。=90=NMAG,ZPAM=ZGAQf又 ZAPM=ZAQG=90,.APM丝 zMQG(4SA),：.AM=AG,MP=QG,：ZMAN=45,：.NMAN=/GAN=45,又,：AN=AN,：./A.NM/ANG（SAS）,：.MN=GN,：.OM+MN-ON=OP+MP+GN-ON=4+MP+ON+OG-ON=4+QG+OG=4+4=S【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的
31、性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.14.（2021武汉市南湖中学八年级月考）在平面直角坐标系中，三角形AA8C为等腰直角三角形，AC=BC,BC交x 轴于点D.（D若 A（0）,C（0,2）,直接写出点8 的坐标（2）如图，三角形AOAB与ACD均为等腰直角三角形，连。,求ZA。/）的度数;（3）如图，若 AO平分N8AC,A（-4,0）,（;,0）,B的纵坐标为，求 2+?的值.【答案】(D (2,-2)；(2)9 0 ；(3)-4【分析】(1)如 图 1 中，作轴于只要证明NCC运 C B/G M S)即可解决问题；(2)过C作 C K J_ x 轴交0 4 的延长线于K,求
32、证AC Kg/X D C。即可求出Z A。/)的度数可求；(3)作轴于点E,并延长交A C的延长线于点F,证明/AF E(AS A),由全等三角形的性质得出3E=E E，证明AC。丝C S F(AS A),得 出 所=4)，则可得出答案.【详解】解：(1)如 图 1 中，作8 _ Ly 轴于，.A(-4,0),C(0,2),OA=4,O C=2 ,Z AOC =ZA C B=ZBHC=9 0 ,ZA C O+Z B C H=9 0 ,N C 4 O+N A C O =9 0,:.ZC A O=Z B CH,在 AC O与ACB”中，Z A O C=Z B H C A C A O =Z B C
33、HA C =BC:.A C O/C BH(A A S),.CH=OA=4t BH=OC=2,:.OH=CH-OC=2,C(2,2),故答案为：(2,-2)；(2)如图所示，过。作C K JL x轴交0 A的延长线于K，则NOCK=90。,/ziAOB为等腰直角三角形，J ZAO8=45。,又丁 NOCK=90。，ZK=900-ZAOB=45=ZAOB,：OC=C K,AC。为等腰直角三角形，.ZAC=90,AC=D C1.NACO+NOCD=90。，又NOCK=90。，.ZACO+ZACK=90 t:.ZACK=/OCD,在“4CK与 O C O中，CK=OC ZACK=ZOCDAC=DC./
34、ACK/DCO(SAS),ZDOC=ZK=45,.ZAOD=ZAOB+ZDOC=90；(3)如 图2中，作轴于点E,并延长交A C的延长线于点尸,AD=m+,AO平分NBAC,ZBAE=ZFAE.BEJ_x轴于点E,:.ZAEB=ZAEF=90,在 A 4 5 E 和八 位 中，ZAEB=ZAEF AE=AE,NBAE=NFAE.AABEAAFE(ASA),:.BE=FE,B的纵坐标为，且点8 在第四象限,BE=FE=n,/.BF=BE+FE=-2n,/ZAC6=ZAEB=90,/.ZC4D+NCDA=NCBF+4BDE=90,又,:NCDA=NBDE,:.ZCAD=ZCBF f在 zMCZ)
35、和BCF 中，/ACD=/BCFAC=BC,4CAD=/CBF.AACDZC5F(ASA),.AD=BF,.加 +4=-2,即：m+2 n=-4,:.2 +加的值为Y.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.1 5.(2 0 2 1 黑龙江巴彦八年级期末)如图，在AABC中，点A,点8 在 x 轴上，Z 4 C B =9 0 ,C A =C B,B C 交.V 轴于点。，点。的坐标为(0,1),点C的横坐标为-3.图1 图2 图3(1)如 图 L求点C的纵坐标.(2)如图2,点
36、E 在线段B C 上，点 E 横坐标为3八旬石的面积为S,求S 与f 的关系式(不要求写出/的取值范围)(3)如图3,在(2)的条件下，延长A E 交 V 轴于点G,点尸在E G 的延长线上，连接 8/，G H 平分N A G O 交 x 轴于点“，ZA FB=4 5,C A =F B,求”点的坐标.7【答案】(1)4；(2)5=4 4；(-,0)【分析】(1)如 图 1 中，过点C作 C/7 LAB 于H.利用等腰直角三角形的性质求出C4 即可解决问题.(2)如图2中，过点E 作 E 7 U A 8 于 T,连接4 E.用 f 表示E T,利用三角形面积公式计算即可.(3)如图3 中，过点8
37、作 8 7 L 4 F 于 7,R/_ LB F 交 A F于 J,过点C作 C M_ LB 7 交 B T的延长线于M,C N L 4 产于N,过点1/作于K.利用全等三角形的性质证明AJ=2 JK,推出NG49=30。，即可解决问题.【详解】解：(1)如 图 1 中，过点C作 C4 L 4 5于 H.图1 点C的横坐标为-3,:.0/7=3,VCA=CB,ZACB=90,：.ZCBA=45,丁 N 008=90,:.0D=0B,VD(0,1),OD=OB=,VC/1AB,；.AH=HB=4,工 CH=AH=BH=4,，点。的纵坐标为4.(2)如图2中，过点E作ETL48于7,连接AE.点七
38、的横坐标为，：.T(r,0),:B(1,0),ZEBT=45,ZETB=90,：.ET=BT=-tf.,.S=yMB*E7yx8x(1-r)=4-4r.S=4-4九(3)如图3中，过点B作尸于T,B U B F交A F于J,过 点。作C M,3 r交BT的延长线于M,CNLAF于N,过点J作/于K.BTLAF,CNLAF,：.Z M=ZMTN=Z CNT=90,四边形CN7M是矩形，NMCN=NACB=90。,/.ZACN=ZBCMf在 4。和4 5 cM 中，2ACN=ZBCM 4ANC=NM,CA=CB:ACN4XBCM (A4S),:CN=CM,AN=BM,：.四边形CNTM是正方形，设
39、 CM=MT=NT=CN=a,V Zraj=90,N 尸=45。，.ZF=ZBJF=45,：.BJ=BF,AC=CB=BFf:.BJ=BC,VBT1JF,BJ=BF,ZJBF=90,；NJBT=/FBT=45,JT=TFf：.BT=TJ,ISL BT=JT=bf：.ZABC=ZJBT=45f：.ZJBK=ZCBM,在4砌和 C8历中，ZJBK=/CBM /JKB=NM,BJ=BC:4JBK咨/XCBM(A4S),：.JK=CM=afAN=BM,:AJ+ba=a+b,，A7=2,：.AJ=2JKf：.ZGAK=30%V ZAOG=90,ZAGO=60,G”平分NAGO,ZHGO=ZAGH=NAGO=30。，NHAG=/AGH,：.AH=GH=2OHf1 7:.OH=-OA=-93 37：.H(,0).3【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.