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1、2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.4 数列求和练基础1（2021全国高三其他模拟）设数列an的前n项和为Sn，若，则S99（ ）A7B8C9D102（2017全国高考真题（理）（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A1盏 B3盏C5盏 D9盏3（2019全国高考真题（文）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）A16B8C4D24（2020山东曲阜一中高三3月月考）【多选
2、题】在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）A此人第二天走了九十六里路B此人第三天走的路程站全程的C此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D此人后三天共走了42里路5.（2019全国高考真题（文）记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_6（2021四川成都市石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为_.7（2021甘肃白银市高三其他模拟（理）已知正项等比数列的前项和为，则数列中不超过2021的所有项的和为_.8（2021福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，（1）求；（2）求数列
3、的前项和9（2021辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和10（2021广东实验中学高三其他模拟）已知数列an中，a11，其前n项和Sn，满足an+1Sn+1（nN*）（1）求Sn；（2）记bn，求数列bn的前n项和Tn练提升TIDHNEG1【多选题】（2021吉林松原市高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）ABCD2【多选题】（2021河北
4、高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，)，则（ ）A数列是公比为的等比数列BC数列是公比为的等比数
5、列D数列的前n项和3（2022河南高三月考（文）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.4（2021全国高三其他模拟（理）已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.（1）求与的通项公式；（2）求的前n项和.5（2021黑龙江哈尔滨市哈九中高三其他模拟（理）已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求最小值.6（2021四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得，求的最小值.7.（2021全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.（1
6、）求数列的通项公式；（2）在数列中，去掉第项，第项，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.8（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.（）求的值，并求出数列的通项公式；（）设，求证：.9（2019浙江高考模拟）已知数列中， （1）令，求证：数列是等比数列；（2）令 ，当取得最大值时，求的值.10（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，_（1）求数列，的通项公式（2）记，求数列，的前n项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分练真题T
7、IDHNEG1（2020全国高考真题（理）数列中，若，则（ ）A2B3C4D52（2021浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）ABCD3（2020全国高考真题（理）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和4.（2020全国高考真题（文）设等比数列an满足，（1）求an的通项公式；（2）记为数列log3an的前n项和若，求m5.（2020山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和6. （2020天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，
8、求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和专题7.4 数列求和练基础1（2021全国高三其他模拟）设数列an的前n项和为Sn，若，则S99（ ）A7B8C9D10【答案】C【解析】采用裂项相消法求数列的和【详解】因为，所以故选C.2（2017全国高考真题（理）（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A1盏 B3盏C5盏 D9盏【答案】B【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7
9、=a1(1-27)1-2=381，解得a1=3故选：B3（2019全国高考真题（文）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C4（2020山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）A此人第二天走了九十六里路B此人第三天走的路程站全程的C此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以
10、，解得， 对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于 ，所以B不正确；对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，由于，所以D正确，故选：ACD5.（2019全国高考真题（文）记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以6（2021四川成都市石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为_.【答案】1023【解析】首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前n项和公式求出即可.【详解】因为数列为等比数列，所以，解得，设等比数列的公比为，因为，所
11、以即，解得或，因为等比数列是递增数列，所以，所以.故答案为：10237（2021甘肃白银市高三其他模拟（理）已知正项等比数列的前项和为，则数列中不超过2021的所有项的和为_.【答案】2046【解析】先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数列的前n项和公式求和即可.【详解】设正项等比数列的公比为q，因为，所以，解得：，所以.令，解得：.所以数列中不超过2021的所有项的和为：.故答案为：2046.8（2021福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，（1）求；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，令，求出，再
12、令，求出等比数列的公比，由，即可求解；（2）由（1）求出通项公式，可得数列为等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可得出结论.【详解】（1）令，则由可得，当时，由可得，两式相减，可得，即，依题意，为等比数列，故；（2）由（1）可知为首项等于1，公比等于2的等比数列，故；故为首项等于，公比等于的等比数列，故故9（2021辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和【答案】（1），；（2）【解析】（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；（2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和【详解】（1
13、）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，则13d4d，可得d1，所以，因为，所以，整理得，解得q2，所以；（2），两式相减，得所以10（2021广东实验中学高三其他模拟）已知数列an中，a11，其前n项和Sn，满足an+1Sn+1（nN*）（1）求Sn；（2）记bn，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.【详解】（1）当时，又，所以，即，在中，令，可得因为，所以故是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为，所以.（2）因为所以故练提升TIDHNEG1【多选题
14、】（2021吉林松原市高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）ABCD【答案】AD【解析】根据题意求出n，然后即可求出，再利用错位相减法求出新数列的和.【详解】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第个1一共有项，从新数列的第1个1到第个1一共有项，所以，解得，而，所以，故A正确，B错误；，令，则，所以，故D正确，C错误，故选：AD.2【多选题】（2021河北高三其他模拟）数学中有各式各样
15、富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，)，则（ ）A数列是公比为的等比数列BC数列是公比为的等比数列D数列的前n项和【答案】BD
16、【解析】先得到，即可判断A，再求出，可判断B与C，最后求出，可判断D.【详解】如图：由图知，对于A：，数列是公比为的等比数列，故A不正确；对于BC：因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确；对于D：因为，故D正确，故选：BD.3（2022河南高三月考（文）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，单调，结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，可得，即，又因为，可得，所以，所以，即数列的通项公式.（2
17、）由（1）知，可得，则.令，则，所以，所以.所以.4（2021全国高三其他模拟（理）已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.（1）求与的通项公式；（2）求的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得；设正项等比数列的公比为q，q0，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可得答案.【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，由，可得，解得，则；设正项等比数列的公比为q，q0，由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2，则；（2）由（1）可得，所以，则，两式相减
18、可得=，所以.5（2021黑龙江哈尔滨市哈九中高三其他模拟（理）已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求最小值.【答案】（1）；（2）最小值为.【解析】（1）由已知条件得到为等比数列，即可得到通项；（2）错位相减求出，根据单调性求出最小值.【详解】解：（1）由，得，是以2为公比的等比数列，记公比为，又，；（2），两式相减，得，即，又，单调递增，时，最小，最小值为.6（2021四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得，求的最小值.【答案】（1）；（2）11.【解析】（1）设数列的公比
19、为，根据条件列出，求得首项和公比，从而求得通项公式；（2）由（1）求得，分奇偶求解即可求得满足条件的最小n值.【详解】（1）设数列的公比为，则，由题意得，即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.由得，即.当为偶数时，上式不成立；-当为奇数时，即，则.综上，的最小值为11.7.（2021全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，去掉第项，第项，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比数列通项公式可求得，进而得到；（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为，根据三者之间的关系可整理得到当
20、为偶数时，当为奇数时，利用等差数列求和公式可整理求得结果.【详解】（1）由题意得：，；（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为；，由知：当时，；由知：当时，；当为偶数时，；由知：当时，即当为奇数时，；综上所述：.8（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.（）求的值，并求出数列的通项公式；（）设，求证：.【答案】（），；（）证明见解析.【解析】（）解：令，则，则，令，则，得，为等差数列，数列的通项公式为；（）证：由题意得，为递增数列，即，成立9（2019浙江高考模拟）已知数列中， （1）令，求证：数列是等比数列；（2）令 ，当取得最大值时，求的值.【答案】（I）
21、见解析（2）最大，即【解析】（1）两式相减，得 即： 数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知， 即 也满足上式 令，则 ， 最大，即10（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，_（1）求数列，的通项公式（2）记，求数列，的前n项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】方案一：选条件（1）解得或（舍去）（2）方案二：选条件（1） 解得或（舍去） （2） 方案三：选条件解得或（舍去）（2）练真题TIDHNEG1（2020全
22、国高考真题（理）数列中，若，则（ ）A2B3C4D5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，则，解得.故选：C.2（2021浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】显然可知，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解【详解】因为，所以，由，即根据累加法可得，当且仅当时取等号，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即故选：A3（2020全国高考真题（理）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求
23、数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设的前项和为，得，.4.（2020全国高考真题（文）设等比数列an满足，（1）求an的通项公式；（2）记为数列log3an的前n项和若，求m【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；（2）令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以.5.（2020山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所
24、以数列的通项公式为.（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个.所以.6. （2020天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和【答案】（），；（）证明见解析；（）.【解析】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.()证明：由()可得，故，从而，所
25、以.()当n为奇数时，当n为偶数时，对任意的正整数n，有，和 由得 由得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.专题7.5 数列的综合应用练基础1（2021浙江高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）ABCD2（2021江西赣州市高三二模（理）朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.算学启蒙中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开
26、始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）A5B6C7D83.【多选题】（2020湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（ ）(参考数据：)ABC2020年小王的年利润为40000元D两年后，小王手中现款达41万4（2021江西高三其他模拟（理）已知公差不为0的等
27、差数列的部分项，构成等比数列，且，则_.5（2021西安市经开第一中学高三其他模拟（理）数列满足：，点在函数的图像上，其中为常数，且（1）若成等比数列，求的值；（2）当时，求数列的前项的和.6.（2021江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.7（2021全国高三其他模拟（理）已知在等差数列中，为其前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为且求的取值范围.8（2021太原市山西大附中高三其他模拟）在数列中，.等差数列的前两项依次为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.9（2021重庆高三三模）已知数
28、列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式：（2）设，数列的前项和为，求证：10（2021沂水县第一中学高三其他模拟）在数列中，且成等比数列（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为，证明：练提升TIDHNEG1（2021河南郑州市高三三模（文）1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章英国的海岸线有多长？标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支分形几何分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1
29、，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为_2（2020沙坪坝区重庆南开中学高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.3（2021全国高三其他模拟）有下列三个条件：数列是公比为的等比数列，是公差为1的等
30、差数列，在这三个条件中任选一个，补充在题中“_”处，使问题完整，并加以解答.设数列的前项和为，对任意的，都有_.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2021四川自贡市高三三模（文）已知数列an的前n项和为Sn，数列bn是等差数列，且b1a1，b6a5（1）求数列和的通项公式；（2）若，记数列cn的前n项和为Tn，证明：3Tn15（2021全国高三其他模拟）在；成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列an是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a12，且_.（1
31、）求数列an的通项公式；（2）若（），求数列bn的前n项和Tn.6（2021宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求的前项和及的前项和为7（2021湖北高三其他模拟）在等比数列an中，公比，其前n项和为Sn，且S2=6，_.（1）求数列an的通项公式；（2）设，且数列cn满足c1=1，cn+1cn=bn+1bn，求数列cn的通项公式.从.S4=30，.S6S4=96，.a3是S3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.8（2021全国高三其他模拟）从，中任选一个填入下面的空中，并解答设等比数列的
32、公比，且_（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和9（2021浙江高三其他模拟）已知数列满足，且=，n（是等比数列，是等差数列），记数列的前n项和为，的前n项和为，若公比数q等于公差数d，且（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项和，求（n2，且n）的最小值10（2021浙江金华市高三三模）若数列的前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.练真题TIDHNEG1.（2020北京高考真题）在等差数列中，记，则数列（ ）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项2.（2020浙江省高考真
33、题）已知等差数列an的前n项和Sn，公差d0，记b1=S2，bn+1=S2n+2S2n，下列等式不可能成立的是（ ）A2a4=a2+a6B2b4=b2+b6CD3.（2019年浙江卷）设，数列中， ,则（ ）A. 当B. 当C. 当D. 当4（2020江苏省高考真题）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列已知数列an+bn的前n项和，则d+q的值是_5.（2019年浙江卷）设等差数列的前项和为，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：6.（2021天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II
34、）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明专题7.5 数列的综合应用练基础1（2021浙江高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）ABCD【答案】B【解析】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.【详解】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：A. ,故A不正确；B. ，故B正确；C. ，故C不正确；D. ，故D不正确.故选：B2（2021江西赣州市高三二模（理）朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.算学启蒙中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以
35、及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）A5B6C7D8【答案】D【解析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264 的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根，一共放n（n2）层，则最下一层放根，由等差数列前n项和公式得：，,n为264 的因数，且为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.故选：D3.【多选题】（2020湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王
36、2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（ ）(参考数据：)ABC2020年小王的年利润为40000元D两年后，小王手中现款达41万【答案】BCD【解析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.【详解】对于A选项，元，故A错误对于B选项，第月月底小王手中有现款为，
37、则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确；对于C选项，由得所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，所以，即所以2020年小王的年利润为元，故C正确；对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确.故选： BCD.4（2021江西高三其他模拟（理）已知公差不为0的等差数列的部分项，构成等比数列，且，则_.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得 然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得【详解】解：设等差数列的公差为，则，由已知，即，得，于是，在等比数列中，公比由为数列的第项，知；由为数列的第项，知，故.故答案为5（2021西安市经开第一中学高三其他模拟（理
38、）数列满足：，点在函数的图像上，其中为常数，且（1）若成等比数列，求的值；（2）当时，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先由条件，列式表示为，再根据数列是等比数列求的值；（2）由条件，归纳可知，再求数列的前项的和.【详解】解：（1）由可得，所以，.又，成等比数列，所以，则，又，故.（2）时，.6.（2021江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）计算得到，得到答案.（2），得到数列通项公式.（3）根据分组求和法计算得到答案.【详解】（1）由，得，又，是首项
39、为3，公比为3的等比数列. （2），.（3）.7（2021全国高三其他模拟（理）已知在等差数列中，为其前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为且求的取值范围.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由条件求得公差，写出通项公式；（2）求出通项公式，利用分组求和求得，且单增，找到符合的最小n值即可.【详解】（1）由等差数列性质知，则，故公差，故（2）由（1）知，易知单调递增，且，故，解得，.8（2021太原市山西大附中高三其他模拟）在数列中，.等差数列的前两项依次为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）cn=8n-10；（2）Sn=(4n-9)2n+
40、2+36.【解析】（1）根据递推公式计算，利用等差数列公式计算得到答案.（2）将题目中两式相加得到，故是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】解（1）a1=b1=1，则数列cn的公差d=6-(-2)=8.数列cn的通项公式为cn=-2+8(n-1)=8n-10.（2）an+1=3an-bn-3n-1， bn+1=3bn-an+3n+1，+，得an+1+bn+1=2(an+bn).a1+b1=2，数列an+bn是首项为2，公比为2的等比数列，an+bn=2n.Sn=-22+622+(8n-10)2n，则2Sn=-222+623+(8n-10)2n+
41、1，Sn-2Sn=-4+8(22+23+2n)-(8n-10)2n+1，即-Sn=-4+8(2n+1-4)-(8n-10)2n+1=(18-8n)2n+1-36，Sn=(4n-9)2n+2+36.9（2021重庆高三三模）已知数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式：（2）设，数列的前项和为，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）利用，求得数列的通项公式.（2）求得数列的通项公式，进而利用裂项求和法求得，结合数列的单调性证得.【详解】（1）解：，令，解得时，两式相减，得数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）证明单调递增，所以1即10（2021沂水县第一中学高三其他模拟）在数列中，且成等比数列（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为，证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）利用已知条件推出数列是等差数列，其公差为，首项为1，求出通项公式，结合由，