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1、2指对同构指对同构一.指对同构的原理一.指对同构的原理先取指数再取对数：lnxxxee；先取对数再取指数：lnln0 xxxex.指对互化，再结合经典导数构造类型，就是所谓的指对同构，其本质就是导数构造的一种类型.二.指对同构的类型（1）朗博同构：二.指对同构的类型（1）朗博同构：10tf tet ，令lntxax，得到lnln1axx axx eexax，上面的t可以随意换元，但是有些不一定能取等比如2lntxx，1ln2xx这个就取不了等，书写过程一定要按照构造函数的形式，稳拿满分.常见的类型：lnln3ln3x lnln22lnln1ln13ln1ln1ln12ln1xxxxxxxxxx
2、axxaxxxxeexxeexxxeexxxaeexaeexaax eexx(2)同形构造(2)同形构造：主要是六大同构函数引发的构造问题，注意指对分离，一边对数一边指数，一边含参一边不含，常见的处理方法，两边同时加减,x ex等等，再结合单调性和定义域基本都可以解决了.ln;ln;lnln,lnxxxxxexxxxexxx exxxexx ex xx，积型：lnlnlnlnlnln lnlnlnlnlnabxaaaaeb ef xxeaebb aabbf xxxeebbf xxx2024届高考数学专项指对同构问题讲义3商型：lnlnlnlnln lnlnlnlnlnlnabxaaaeeef
3、xabxebaabbf xxxabebxf xebx和差型：lnlnlnlnlnlnabxaaaeaebf xexeabbeebbf xxx(3)差一同构：(3)差一同构：最明显的一种构造形式，包含,ln1xex，也是由朗博函数引发的构造类型，由两大指对跨阶不等式构成:+ln(1)011,0,ln(1)0ln(1)ln1xxf xfxf xexf xexf xfxfxxx ln11ln()2ln121xxxexexmmexx(4)反函数性质构造：(4)反函数性质构造：若()f xx单调，则1()()f xfx恒成立等价于()f xx恒成立；1()()f xfx的解可以等价于()f xx的解与(
4、)()f xyf yx的解的并集；反函数和关于yx对称的函数的交点()f x与1()fx关于yx对称，若1()()g xgx，则()()f xg x的解1x和1()()fxg x的解2x关于yx对称，此时1212xyyx，()g xmx时，12xxm为定值；()mg xx时，12x xm为定值xya与logxay 0,1aa的交点的个数判定10eae时，3个交点11eae时，1个交点11eae时，2个交点1eae时，1个交点1eae时，0个交点4讨论xya与logxay 图像交点的个数（标答需要零点找点处理）.lnloglnlnlnlnlnxxxxxxaxaaaaxaaxxa构造 lnxg t
5、ttg ag x当1a 时，必有lnlnlnlnlnlnxxxaxaxxaxax110ln1eaaee，两个交点11lneaaee，一个交点11lneaaee，零个交点当01a时，由图像可知xax相等时必有一个交点，若存在另外的交点则有1212,xat xttt，得：21122112,lnln,lnlnttat attat tat1 21 21 2121 21 2lnlnlnln2t tt tt taettt tt t，可得：10eae，1 21 2211t tt tee，.下面证明：1 221t te，12112221ln1lnln01lnttttttmttm 1lnln1mmtm 2lnl
6、n1mtm1 21lnln0121mt tmmm 1 221t te.当12tt时，此时就是xax，1eae.综上：10eae时，3个交点；11eae时，1个交点.(5)(5)函数保值性定理函数保值性定理?因为?,这时c叫做余量，所以当?时，此式子恒成立，当?羘?时找矛盾点或者矛盾区间.?在?处取等1当?时，式子恒成立；2当?羘?时，在?处与已知矛盾.52）矛盾区间（同端点效应）?,有?此时当?羘?时无法判断?与?大小关系，所以无法用矛盾点证明矛盾.分析 h xgxa?羘?单调递增存在?使?羘?h?在?上单调递减，?羘?,与已知矛盾.下面给出两个例题矛盾点和矛盾区间的书写过程，小题不需要，大题
7、一定要注意过程的满分性.下面给出两个例题矛盾点和矛盾区间的书写过程，小题不需要，大题一定要注意过程的满分性.已知?ln?恒成立，求 a 的范围.解：?ln?，?ln?ln?ln?(考试时需自行证明)，当000ln00 xxx时00ln00ln10 xxexx.当?时式子恒成立；当?时，必存在一个0 x且000ln00 xxx使00ln000ln110 xxexxa x 与已知矛盾.综上：?.已知21 ln111xexxaxax在0 x 时恒成立，求a的取值范围.解：1 ln111xexxaxx，1ln11xeaxxx，ln1ln111xxexxax，构造 ln1ln111ln11xxh xex
8、xa xg xxa x，ln10g xx（自证），当1a 时式子恒成立；当1a 时，ln11h xg xxa x，1h xgxa，010ha，h x单调递增，在0,x上，必存在一个1x使10h x，则 h x在10,x单调递减，100h xh，矛盾.综上：?.(6)同形异构（多条切线放缩结合保号性，技巧性太强仅供了解）(6)同形异构（多条切线放缩结合保号性，技巧性太强仅供了解）已知函数?ln?，当?时，?恒成立，求实数 m 取值范围解：原式等价于?ln?ln?,即?ln?ln?ln?，6即?ln?ln?，因为?ln?（?时取等），且?ln?（?时取等）（考试时需自行证明）故需满足?即?，当?羘
9、?时，则?ln?ln?羘?，与已知矛盾综上：?.三.指对同构的处理技巧（指对分离，系数上头，朗博加减，定义取等）三.指对同构的处理技巧（指对分离，系数上头，朗博加减，定义取等）：指数对数分离两边，xe系数上头：先朗博后加减乘除：注意定义域，验证取等条件典例精讲典例精讲例例 1（2017 沈阳市一模）当0 x时，证明2)1ln()1(xxex恒成立【参考答案】【参考答案】【解法解法 1】指对同构ln1 1ln111xxxexxxee，构造 ln1xg xx单调递减，因为：1xxe，所以：1xg xg e，原不等式得证【解法解法 2】利用飘带函数2121,lnln1011xxxxxxxx，要证原式
10、成立，可证：2ln11xxxe，即证：222110112xxxxexxxxe，利用指数找基友21121xxxe，可证例例 2（2021-T8 大联考）已知函数 ln202xaf xaeax，若 0f x 恒成立，则实数a的取值范围.【参考答案】【参考答案】【解法解法 1】朗博同构+同形构造ln202xaaex，2ln2xxaealnln22xaeax，lnlnln22xaexaxx令 xg xex，g x单调递增，lnln2g xagx，lnln2xax，2lnlnxxae2222xxxxaeee，ae.【解法解法 2】朗博同构+切线放缩7 ln22xaf xaexlnlnln22xaeaxl
11、n1lnln22xaax ln22ln1xxa212ln1xxa2ln20a，ae【解法解法 3】反函数性质构造：ln202xaaex，22lnxxaea，令2lnxya2lnyxa，2xyae，2xyae，2xae与2lnxa互为反函数，利用反函数性质秒杀可得：2xaex，2222xxxxaeee，ae【解法解法 4】同形构造ln202xaaex，2ln2xxaea，22lnxexaea，221lnxexeaa222222lnxexexexeaa，222222lnxexexxeaa，令 xg xxe g x单调递增，222lnexg xga，222lnexxa，222xexae，ae例例 3
12、（2020-新高考山东卷）已知函数1()elnlnxf xaxa 当ae时，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；若()1f x，求a的取值范围【参考答案】【参考答案】【解法解法 1】朗博同构+同形构造ln1ln1lnlnln1ln1lnlnxaxaxexaexaxxxe ln1lnlnln11xaxaxxa .【解法解法 2】同形构造1lnln10 xaexa，即1lnxexaealnlnlnexxaexexexxeeaaaln1xexexxaaae；【解法解法 3】隐零点代换（略）【解法解法 4】反函数性质构造：lnxaeexea，只需：xaexe，1
13、xexaae即可.【解法解法 5】异形构造：变形为：111ln0 xxxa exaxaaa，只需101aaa形如：0+g00af xxh a x，只需 0h a 处理即可，0,0f xg x在1x 时满足取等，也可：1ln11ln0 xa exxxaxa，结合保号性和切线放缩（需要证明），就可以快速凑出结果，技巧性太强，书写过程需要证明，最后可能会丢失一部分分数，在此仅仅是为大家提供一种思路和方法.8例例 4（百时教育高中数学组原创题）对任意实数0,x 不等式22lnln0 xaexa恒成立，则a的取值范围为【参考答案】【参考答案】【解法解法 1】反函数性质同构22211ln22xxxxxae
14、aexaaaee【解法解法 2】同形构造22222ln221lnln22ln12ln2ln2xxxxxxxaxxxxxeeeaaxxaaaeexeaaxxxxeexaaaaee【解法解法 3】朗博构造+同形构造2ln22ln22ln2ln2ln22ln22ln2ln22ln21ln2ln22ln212xaxxaexaeaxxxexaxxaxxaae 【解法解法 4】朗博同构2ln222ln2ln2ln221ln222ln210ln222ln2112ln2ln2212ln222xaxaexaeaxxxaxxaaxxaae 【解法解法 5】同形构造22212ln2ln2lnln ln2ln2xxx
15、xxxxxxxxexxxeaaaaaaaaee【解法解法 6】异形构造2ln22ln21+2ln212ln220 xaexaxxa，只需12ln2202aae不建议使用异构的方法，对于保号性以及涉及的切线都需要证明，配凑的过程技巧性太强，为了构而构，背离了，我们研究导数同构的初衷，这点必须认清.例例 5（27 中学期中考试）设实数0，若对任意的),0(x，关于x的不等式0lnxex恒成立，则的最小值为【参考答案】【参考答案】【解法解法 1】反函数性质同构1lnxex，只需xex即可，得到ln xx，1e.【解法解法 2】同形构造lnlnxxexxexx，令 xg xxe，g x在0,单调递增，
16、得lngxgx，得到ln xx，1e.例例 6（2021名校调研）已知函数 xf xeax，若0 x时，ln11fxx，求实数a的取值范围【参考答案】【参考答案】9【差一同构差一同构】ln11fxx，得到ln11xeaxx，变形得到：ln11xexax，差一同构ln11ln()2ln121xxxexexmmexx，只需1212axxa .例例 7（试题来源于网络）关于x的不等式lnxeeexaa恒成立，则a的最大值为【参考答案】【参考答案】【解法解法 1】反函数性质同构lnxeaexae，只需xeaxe即可，得到xaeex，0a.【解法解法 2】同形构造lnlnxxeeexaaeexeexae
17、xa，构造 xg xeex，单调递增，lng xgexa，只需lnxexa，得到xaeex，0a.例例 8 已知2()3xf xxee的零点为1x，()ln6g xxxx的零点2x，则12x x【参考答案】【参考答案】【解法解法 1】反函数性质同构11221112221231330;ln60ln2xxx eeexxxexxx,反函数图像性质可知121233,xxxx 关于yx对称，得到212133xx xx.【解法解法 2】同形构造11121212122122122113;ln13ln12ln22xxxx exxx exxx eexex，tg tte，可得122lngxgex，122lnxex
18、，221ln132xx，得到211212332xxx x.例例 9（2020 全国模拟）若实数ba,满足2422lnln22baba，则()A.412 baB.4122 baC.322baD.142 ba【参考答案】【参考答案】【解法解法 1】同构变形结合均值babababa2412ln422)2ln(2222,由均值bababa222224224，由tt1ln，1)2ln(222baba；但且仅当122422baba时，babababa22222241)2ln(2中所有等号都成立，412ba，即选 A【解法解法 2】同构变形结合凹凸反转2222ln1ln1lnln21lnln21lnln21
19、22222xxxaaxxxaa ，此时2a.10ln1ln441ln2ln2414ln22ln21xxbbbbbb ，此时14b.2222lnln 242ln4ln2222aaabbabb，若不等式成立，必须相等，2a，14b.【解法解法 3】双元同构变形为：22ln1ln441022aabb ，构造 ln10g ttt ，当且仅当1t 时取等，得到2402aggb，21,412ab，412ba，即选 A【解法解法 4】主元法（,g ag b皆可）22lnln24202ag aabb，20gaaa，2a，2ln2ln2142ln4410gbbbb ，ln10g ttt ，当且仅当1t 时取等，
20、得41b.变式集训变式集训1.（2018 年沈阳市一模）已知函数 ln2f xaxx，若不等式12xf xaxe在0,x上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.2aB.2aC.0aD.20 a2.（同泽 12 月考试题）当0 x时，)1ln(1xaxxex恒成立，则a的取值范围是3.（同泽 12 月考试题）当0 x时，xaxxexln1恒成立，则a的取值范围是4.（2019 省实验月考）0 x，1lnbxxexxx恒成立，则b的取值范围是5.（2020 武汉市二模）不等式3ln1xx eaxx对任意1,x恒成立，则实数a的取值范围为6.（2020 清华大学学业能力测试）已知不等式1lnaxxax
21、xe在1,x恒成立，则a的最小值为7.（2020 郑州市一模）已知函数 lnxef xxxx，若 11bxexxxfx恒成立，求b的取值范围为8.（2020 九师联盟三月模考）已知函数 xf xeax aR，若ln12e xfx在0,x上恒成立，求实数a的取值范围为9.（2020 王后雄线上考试）任意,0 x2ln1xxeaxx恒成立，求实数a取值范围是10.（2021 辽宁协作体高三模拟）11已知函数xaxxfln1)(对于任意0 x，不等式xxexf)(恒成立，求实数 a 的取值范围为已知函数xxfln)(，xexg)(不等式)()1(2 1)(xfxxxgmm对于0 x恒成立，求实数 m
22、 的取值范围为11.（2021 三校三模理科 12）若对任意实数0,x，不等式22lnln0 xeaaax恒成立，则实数a的最大值为12.（2020 沈阳第三次模拟）已知函数=bxef xax在2x 处取得极值2e 求函数 f x的单调区间；若不等式 2ln1x f xkxx在0,x时恒成立，求k的取值范围13.（2021 衡水中学卫冕考试理 21）已知函数=ln1xaf xxeexa aR 当0a 时，证明不等式+20f x；若不等式 0f x 恒成立，求实数a的取值范围1214.（2021 高考冲刺模拟）已知函数 =ln,1,xaef xxax g xeaRx 讨论 f x的单调性；若 g
23、 xf x恒成立，求a的值或者取值范围15.（2021广州调研）已知函数 1xf xaxeaxaR.当1a 时，求函数 xf在1,1f处的切线方程；若1xe时，lnf xx恒成立，求实数a的取值范围.16.（2021哈尔滨师范大学附中模考）已知函数 22ln11,1xf xxaxxg xxeax.当0a，讨论 g x零点的个数；证明：f xg x.17.（2021山东名校开学模考）已知函数 2ln0,0,1f xxxa ax.讨论 f x的单调性；若 lnxf xaex对任意0,1x恒成立，求实数a的取值范围.13参 考 答 案参 考 答 案1.【参考答案】A ln1212,2,ln1,ln1
24、xxaxxaxeg xaxegxg xxx要求 2xg xaxe单调递减，202xaea.2.【参考答案】1a 1 ln1,xxxexxg xxe递增，ln11ln1g xg xgxagx.3.【参考答案】0alnln10 xxexxa，简单朗博同构处理即可.4.【参考答案】2b lnln122xxexxxbxb，简单朗博同构处理即可.5.【参考答案】3,3ln3ln103 ln3xxexxaxa .6.【参考答案】elnaaxxxxe ，构造 ln,0,1g xxx单调递增，axg xg e，01,01xaex，lnaxxxeaaex.7.【参考答案】2b lnln1ln1202xxxxxe
25、exxxebxexxb xbxx .8.【参考答案】2,1ln12ln12112xxxeaxexxaxa ，2a.9.【参考答案】2,.2ln2ln120202xxexxa xaa.10.【参考答案】朗博同构ln1ln11xxexxaxxa 【参考答案】=xh xxex222212ln2ln2lnlnlnmxmxmemxxmxemxxxxxxxx22ln2lnxh mxhxmmxe.11.【参考答案】加减同构变形为22lnxxeaxax，令 xg xxe在0,x单调递增，即2lngxgax，222ln222xxexaxeaxaaex12.【参考答案】朗博同构ln22ln1ln12xxxxxee
26、xkxx，可得当且仅当ln02xx时12k 13.【参考答案】指对跨阶问题，切线放缩，也可以考虑隐零点处理；朗博同构+加减同构+单调性处理，lnlnaxxeaxex，令 xg xex，函数单调递增，只需lnaxx，lnaxx，即1a 14.【参考答案】略；朗博同构+同形同构+极点效应1lnxae xexax，14lnln1x axexaxe，只需：ln1xax恒成立，即1lnxax，极点效应处理可得到1a 15.【参考答案】11yxe；lnlnln1ln1ln1xxxxaeaxxa exaxx，得到1a.16.【参考答案】当0a 时 g x有唯一零点，当0a 时 g x有两个零点（详细过程需要
27、结合单调性找点处理）；ln111xxxxe，ln11ln11xxxxeexx，简单朗博同构处理即可，下面给出标答满分过程：令 1xg xex，1xgxe，当0 x g x单调递增，所以 00g xg，得到1xex，令ln1xxx，可得ln11ln11xxxxeexx，当ln10 xx时，取得等号成立，综上原式得证.17.【参考答案】略；2lnlnlnlnlnxxxxxaaexx xaxaeaex，构造 ln xh xx，在0,e单 调 递 增，lnlnxxaexaex，0,1x，若1xaex，此 时 10h axhh x，成 立；若0,1,0,1xaex，ln xh xx在0,1单调递增，只需xxxaexae得到1ae.