《湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期第2次（10月）月考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期第2次（10月）月考数学试题含答案.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、试卷第 1页，共 4页衡阳市八中 2024 届高三第 2 次月考数 学 试 题衡阳市八中 2024 届高三第 2 次月考数 学 试 题注意事项：本试卷满分为 150 分，时量为 120 分钟注意事项：本试卷满分为 150 分，时量为 120 分钟一、单选题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）一、单选题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）1 若集合|02Axx，2|1Bx x，则AB（）A|01xxB.|12xxC|02xxD0 x x或1x 2 在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（，）B（，）C（0，1）D（0，1）3 定义在R上的偶函数()f x满足：对任意的
2、1x，2120,)()xxx，有2121()()0f xf xxx，则（）A(1)(2)(3)fffB(2)(1)(3)fffC(3)(1)(2)fffD(3)(2)(1)fff4 已知等差数列 na的公差为d，前n项和为nS，则“0d”是“322nnnnSSSS”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5某校高三有 1000 人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布 N(105，2)，且成绩优良（不低于 120 分）的人数为 360，则此次考试数学成绩及格（不低于 90 分）的人数约为（）A360B640C720D7806椭圆222133xyaa的左、右
3、焦点分别为1F，2F，A为上顶点，若12AFF的面积为3，则12AFF的周长为（）A8B7C6D57设函数 elnxf xaxmaxx（其中e为自然对数的底数），若存在实数 a 使得 0f x 恒成立，则实数 m的取值范围是（）A21,eB1,eC2e,D21,e8如图，在三棱锥SABC中，2 2,2SASCACABBC，二面角SACB的正切值是2，则三棱锥SABC外接球的表面积是（）A12B4C4 3D4 33二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分）试卷第 2页，共 4页9已知向量(1,3),(2,4)ab，则下列结论正确的是（）A
4、()abaB|2|10abC向量,a b 的夹角为34Db在a方向上的投影向量是10a10设等比数列 na的前n项和为nS，前n项积为nT，若满足101a，740401aa，20232024110aa，则下列选项正确的是（）A na为递减数列B202320241SS C当2023n 时，nT最小D当1nT 时，n的最小值为 404711 已知函数 cos22 sinf xxx，则（）A函数 fx在区间,6 2 上单调递增B直线2x是函数 fx图象的一条对称轴C 函数 fx的值域为31,2D 方程 0,2f xa x最多有 8 个根，且这些根之和为812已知直线:2l yk x交y轴于点 P，圆
5、22:21Mxy，过点 P 作圆 M 的两条切线，切点分别为 A，B，直线AB与MP交于点 C，则（）A若直线 l 与圆 M 相切，则1515k B当2k 时，四边形PAMB的面积为2 19C直线AB经过一定点D已知点7,04Q，则CQ为定值三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e2.71828小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前 6 位数字 2，7，1，8，2，8 进行某种排列得到密码如果排列时要求两个 2 相邻，两个 8 不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有个1
6、4曲线 exfxxa在点 0,0f处的切线与直线12yx 垂直，则a.15 底面ABCD为菱形且侧棱AE底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若4DADHDB，3AECG.则三棱锥FBEG的体积为_16设0a，平行于x轴的直线:l ya分别与函数2xy 和12xy的图像交于点A，B，若函数2xy 的图像上存在点C，满足ABC为等边三角形，则a 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7 70 0 分）分）#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#试卷第 3页，共 4页17已知ABC
7、的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为32，1AB AC 且c b(1)求角 A 的大小；(2)设 M 为 BC 的中点，且32AM，求 a 的长度18某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过 a，b，c 三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为34，12，12三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品(1)求加工一件工艺品不是废品的概率；(2)若每个工艺品为特等品可获利 300 元，一等品可获利 100 元，二等品将使工厂亏损 20 元，废品将使工厂亏损 100元，记一件工艺品经过三
8、道工序后最终获利 X 元，求 X 的分布列和数学期望19在图 1 中，ABC为等腰直角三角形，B=90，2 2AB，ACD为等边三角形，O 为 AC 边的中点，E 在BC 边上，且2ECBE，沿 AC 将ACD进行折叠，使点 D 运动到点 F 的位置，如图 2，连接 FO，FB，FE，使得4FB(1)证明：FO 平面ABC(2)求二面角EFAC的余弦值20若数列nA满足21nnAA，则称数列nA为“平方递推数列”已知数列 na中，19a，点1,nna a在函数2()2f xxx的图象上，其中 n 为正整数，(1)证明：数列1na 是“平方递推数列”，且数列lg1na 为等比数列；(2)设lg1
9、,24nnnbacn，定义,*,a aba bb ab，且记*nnndbc，求数列 nd的前 n 项和nS#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#试卷第 4页，共 4页21已知双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点，右顶点分别为F，A，0,Bb，1AF，点M在线段AB上，且满足3BMMA，直线OM的斜率为 1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EPFQEQFP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.22已知函
10、数 1lnf xxa xx，0a.(1)讨论 fx极值点的个数；(2)若 fx恰有三个零点123123,t t tttt和两个极值点1212,x xxx.（）证明：120f xf x；（）若mn，且lnlnmmnn，证明：1 2 31eln1mmnnt t t.#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 1页，共 11页参考答案：参考答案：1 12 23 34 45 56 67 78 89 91 10 01 11 11 12 2A AC CD DC CB BC CA AA AA AC CB BC CB BCDCDA ACD
11、CD1 13.363.3614.114.115.15.8 33166324C【详解】因为数列 na是公差为d的等差数列，所以321113(31)2(21)(51)32222nnnnnnnnSSnadnadnad，21112(21)(1)(31)2222nnnnn nnnSSnadnadnad，所以3222)(nnnnn dSSSS，若等差数列 na的公差0d，则20n d，所以322nnnnSSSS，故充分性成立；若322nnnnSSSS，则3222)0(nnnnSSSSn d，所以0d，故必要性成立，所以“0d”是“322nnnnSSSS”的充分必要条件，故选：C.5B【详解】因为360(9
12、0)(120)1000P XP X，所以640(90)1(90)1000P XP X，所以此次考试数学成绩及格（不低于 90 分）的人数约为64010006401000.故选：B6C【详解】设椭圆222133xyaa的半短轴长为b，半焦距为c，则3b，12AF F的面积12132SFFbc由题知33c，所以1c，222abc，由椭圆的定义知12AFAF 24a，又1222FFc，所以12AF F的周长为426.故选：C.7A【分析】由题意可得eln()(0)xmxaaxx，令 lne,()xxmg xh xxx，函数 yg x和函数 yh x的图象，一个在直线ya上方，一个在直线ya下方，等价
13、于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案【详解】函数 fx的定义域为(0,)，由 0f x，得(e)ln0 xaxmaxx，所以eln()(0)xmxaaxx，令lne(),()xxmg xh xxx，由题意知，函数 yg x和函数 yh x的图象，一个在直线ya上方，一个在直ya下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由ln()(0)xg xxx，得21ln()xg xx，所以当0,ex时，0,gxg x单调递增，当(e,)x时，0,gxg x单调递减，所以 maxlne1(e)eeg xg，()g x没有最小值，#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgC
14、EOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 2页，共 11页由e()(0)xmh xxx，得22eee(1)()xxxmxmmxh xxx，当0m 时，在0,1x上 0,h xh x单调递增，在(1,)x上 0,h xh x单调递减，所以 h x有最大值，无最小值，不合题意，当0m 时，在0,1x上 0,h xh x单调递减，在(1,)x上 0,h xh x单调递增，所以min)()(1eh xhm，所以 e1hg即1eem，所以21em，即 m 的取值范围为21(,)e故选：A8A【分析】利用二面角SACB的正切值求得SB，由此判断出2BSBABC，且,BS BA BC两
15、两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E是AC的中点，连接,EB ES，由于,SASC ABBC，所以,ACSE ACBE，所以SEB是二面角SACB的平面角，所以tan2SEB，由22sintancossincos1SEBSEBSEBSEBSEB得3cos3SEB.在SAC中，22222 226SESAAE，在ABE中，2222222BEABAE，在SEB中，由余弦定理得：222cos2SBSEBESE BESEB，所以2BSBABC，由于2 2SASCAC，所以,BS BA BC两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为
16、2，则体对角线长为2 3.设正方体外接球的半径为R，则3R，所以外接球的表面积为24212R，故选：A.9AC【详解】对于 A，3,1ab，由3 1130aba ，则abarrr，故 A 正确；对于 B，22 1,32,44,2ab，222422 5ab，故 B 错误；对于 C，1 23410a b ，221310a，22242 5b ，则102cos,2102 5a ba bab ，即向量,a b 的夹角为34，故 C 正确；对于 D，b在a方向上的投影向量是21010a baaaa ，故 D 错误.故选：AC.10BC【详解】A.由条件可知，10a，1a与7a同号，所以70a，则40400
17、a，而4039404010aa q，则公比0q，若01q，数列单调递减，则740400,1a a，那么740401aa，与已知矛盾，#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 3页，共 11页若1q，则17404001aaa，则那么740401aa，与已知矛盾，只有当1q，才存在q，使740401aa，所以等比数列 na单调递增，故 A 错误；B.因为20232024110aa，na单调递增，所以202320241,1aa，则2024202420231aSS，即202320241SS，故 B 正确；C.因为1q，且2023
18、20241,1aa，所以当2023n 时，nT最小，故 C 正确；D.根据等比数列的性质可知，47404460101a aaa，21404520231a aa，所以当1nT 时，n的最小值为 4046，故 D 错误.故选：BC11BCD【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题.【详解】cos22 sin,f xxx x R，()cos(2)2|sin()|cos22|sin|()fxxxxxf x，则()f x是偶函数，图象关于y轴对称.()cos2()2 sin()cos22 sin()f xxxxxf x ，()f x是周期函数，周期T.又()cos2()
19、2 sin()cos22 cos222fxxxxx 且()cos2()2 sin()cos22 cos222fxxxxx，()()22fxfx，即()f x图象关于2x轴对称，故直线,2kxkZ都是()f x的对称轴.当0,2x时，sin0 x，则2()cos22sin2sin2sin1f xxxxx 2132(sin)22x，令sintx，则()f x可看成由2132()22yt 与sintx复合而成的函数，sin,0,2tx x单调递增，当0,6x，则10,2t，2132()22yt 单调递增，则()f x单调递增；当,6 2x，则1,12t，2132()22yt 单调递减，则()f x单
20、调递减；且minmax3()(0)()1,()()262f xfff xf.结合以上性质，作出函数 cos22 sin,0,2f xxx x的大致图象.选项 A，函数 fx在区间,6 2 上单调递减，故 A 项错误；选项 B，直线2x是函数 fx图象的一条对称轴，故 B 项正确；#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 4页，共 11页选项 C，当0,x时，函数 fx的值域为31,2，由函数周期T，函数 fx的值域为31,2，故 C 项正确；选项 D，如图可知，方程 fxa最多有 8 个根，设为(1,2,3,8)ix i
21、，不妨设1238xxxx，当0,2x时，函数()f x的图象关于x对称，则8182736451()()()()4 28iixxxxxxxxx ，即这些根之和为8，故 D 项正确.故选：BCD.12ACD【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出k即可判断 A；根据k求出0,4P，进而求出PM，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知,A M B P四点共圆，且PM为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断 C；根据直线AB过定点及PMAB可得90MCN，即 C 在以MN为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点Q，即可判断
22、 D.【详解】解：对于 A，若直线 l 与圆 M 相切，则圆心到直线的距离2411kk，解得1515k ，所以 A 正确；对于 B，当2k 时，0,4P，2,0M，1642 5PM，因为,PA PB为圆的两条切线，所以90PAMPBM，所以四边形PAMB的面积221119PAMSSAMPAPM，所以 B 错误；对于 C，因为0,2Pk，2,0M，且90PAMPBM，所以,A M B P四点共圆，且PM为直径，所以该圆圆心为1,k，半径为224412kk，所以圆的方程为：22211xykk，因为AB是该圆和圆M的相交弦，所以直线AB的方程为两圆方程相减，即222221211xykxyk，化简可得
23、：:2230ABxky，所以直线AB经过定点3,02N，所以 C 正确；对于 D，因为PMAB，所以90MCA，因为3,02N在直线AB上，所以90MCN即点 C 在以MN为直径的圆上，因为2,0M，3,02N，所以圆心为7,04，半径为11424，所以圆的方程为：2271416xy，圆心为7,04Q，#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 5页，共 11页因为点 C 在该圆上，所以14CQ 为定值14，所以 D 正确故选：ACD1336【详解】如果排列时要求两个 2 相邻，两个 8 不相邻，两个 2 捆绑看作一个元素
24、与 7，1 全排列，排好后有 4 个空位，两个 8 插入其中的 2 个空位中，注意到两个 2，两个8 均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有3234AC36故答案为：36.141【详解】f x在 0,0f处的切线与直线12yx 垂直，02f，又 ee1 exxxfxxaxa，012fa，解得：1a.故答案为：1.15.8 33【详解】设ACBDO，EGHFP，由已知可得：平面/ADHE平面BCGF，因为平面ADHE 平面EFGHEH，平面BCGF 平面EFGHFG，所以/EH FG，同理可得：/EF HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以/OP A
25、E，所以3OP，4DH，所以2BF.所以142BFGSBFBC.因为/EA FB，FB 平面BCGF，EA女平面BCGF，所以/EA平面BCGF，所以点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离，为2 3.所以18 32 333F BEGE BGFA BGFBFGVVVS.【点睛】求三棱锥的体积的时候，要注意利用图形的特点，看把哪个点当成顶点更好计算.16632【详解】直线:l ya，由2xa，得2logxa，即点2log,Aa a，由12xa，得2log1xa，即点2log1,Baa，于是1AB，如图，取AB的中点D，连接CD，由正ABC，得CDAB，32CD，显然点C不可能在直线l
26、上方，因此点213(log,)22Caa，而点C在函数2xy 的图象上，#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 6页，共 11页则21log2322aa，即322aa，解得3 2236342222a，所以632a.故答案为：63217(1)23A，(2)=7a【详解】（1）因为ABC 的面积为32，所以13sin22bcA，即sin3bcA，因为1AB AC ，所以cos1bcA，所以sin3cosbcAbcA，得tan3A，因为0,A，所以23A（2）因为23A，所以2sin33bc，得2bc，在ABC中，由余弦定理
27、得222222cos2abcbcAbc，在ABM中，32AM，11,22BMBCa ABc，由余弦定理得222223144cos231222acAMBMABAMBAM BMa，在ACM中，32AM，11,22CMBCa ACb，由余弦定理得222223144cos231222abAMCMACAMCAM CMa，因为AMBAMC，所以coscos0AMBAMC，所以22223131444403131222222acabaa，所以22231022acb，得2223122bca，所以2231222aa，得27a，所以=7a18(1)1516；(2)分布列见解析，数学期望为1752.【详解】（1）记“
28、加工一件工艺品为废品”为事件 A，则 311111142216P A ，则加工一件工艺品不是废品的的概率 15116P AP A（2）由题意可知随机变量 X 的所有可能取值为-100，-20，100，300，110016P X ，31111111152042242242216P X ，311311111710042242242216P X，311330042216P X，则随机变量 X 的分布列为：#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 7页，共 11页X-100-20100300P116516716316故15731
29、7510020100300161616162E X 19(1)证明见解析(2)32【详解】（1）证明：连接 OB，因为ABC为等腰直角三角形，90B=，2 2AB，所以4AC，因为 O 为 AC 边的中点，所以122OBAC，在等边三角形FAC中，4AFACFC，因为 O 为 AC 边的中点，所以FOAC，则222 3FOAFAO，又4FB，所以222FOOBFB，即FOOB，因为ACOBO，AC平面ABC，OB平面ABC，所以FO 平面ABC（2）方法一：因为ABC是等腰直角三角形，90ABC，O为边AC中点，所以OBAC，由（1）得FO 平面ABC，则以 O 为坐标原点，OB，OC，OF
30、的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则0,2,0A，4 2,03 3E，0,0,2 3F，所以0,2,2 3AF ，4 8,03 3AE，设平面FAE的法向量为,nx y z，由00AF nAE n ，得22 3048033yzxy，令1z，得2 3,3,1n，易知平面FAC的一个法向量为1,0,0m，设二面角EFAC的大小为，则3|cos|2m nm n ，由图可知二面角EFAC为锐角，所以二面角EFAC的余弦值为32方法二：作EMAC，垂足为 M，作MNAF，垂足为 N，连接EN，因为FO 平面ABC，EM 平面ABC，所以EMFO，又因为ACFOO，,AC FO 平面
31、AFC，所以EM 平面ACF，#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 8页，共 11页又AF 平面AFC，所以EMAF，又MNAF，MNEMM，,MN EM 平面EMN，所以AF 平面EMN，又EN 平面EMN，所以AFEN，又平面AFC 平面AEFAF，所以二面角EFAC的平面角为ENM，因为EMOB，所以23EMECCMOBBCOC，所以43EM，1233OMOC，在Rt AMN中，60FAC，28233AMAOOM，所以84 3sin6033MN ，所以222244 38333ENEMMN，所以3cos2MNEN
32、MEN，即二面角EFAC的余弦值为3220(1)证明见解析(2)*2*21,4N,521,4N.nnnnSnnnn且且【详解】（1）点1,nna a在函数2()2f xxx的图象上，212nnnaaa，2111,1nnnaaa 是“平方递推数列”因为1lg1lg(9 1)10a ，对2111 nnaa两边同时取对数得1lg12lg1nnaa，数列lg1na 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列（2）由（1）知11lg11 22nnnnba，由数列 nnbc、的通项公式得，当4n 时，nnbc；当4n时，nnbc又由,*,a aba bb ab*nnndbc，得1*2,4,24,4nnnnNd
33、nnnN，当4n 且*nN时，11 2211 2nnnnSbb；当4n且*nN时，123456nnSbbbbccc42(4)(1424)215212nnnn，综上，*2*21,4N,521,4N.nnnnSnnnn且且21(1)2213yx(2)存在，1,02E【分析】（1）由1AF，3BMMA，直线OM的斜率为 1，求得,a b c之间的关系式，解得,a b的值，进而求#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 9页，共 11页出双曲线的方程；（2）设直线PQ的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立
34、，可得EF为PEQ的角平分线，可得直线,EP EQ的斜率之和为 0，整理可得参数的值，即求出E的坐标【详解】（1）设2220cabc，所以,0F c，,0A a，0,Bb，因为点M在线段AB上，且满足3BMMA，所以点31,3131Mab，因为直线OM的斜率为 1，所以1311331ba，所以3ba，因为1AF，所以1ca，解得1a，3b，2c.所以双曲线C的方程为2213yx.（2）假设在x轴上存在与F不同的定点E，使得EPFQEQFP恒成立，当直线 l 的斜率不存在时，E 在 x 轴上任意位置，都有EPFQEQFP；当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设,0E t，直线 l 的方程为2x
35、ky，直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，则3333k且0k，设11,P x y，22,Q xy，由22132yxxky，得22311290kyky，2310k ，236360k，所以1221231kyyk，122931y yk，因为EPFQEQFP，即EPFPEQFQ，所以EF平分PEQ，0EPEQkk，有12120yyxtxt，即1212022yykytkyt，得1212220ky ytyy，所以229122203131kktkk，由0k，解得12t.综上所述，存在与F不同的定点E，使得EPFQEQFP恒成立，且1,02E.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方
36、程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0 或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 10页，共 11页22(1)当12a 时,fx无极值点;当102a时,所以 fx有两个极值点；(2)（）证明见解析；（）证明见解析.【分析】（1）先求导，对a进行讨论，研究单调性可得函数
37、的极值；（2）(i)由(1)知:102a,且121x x,又得出 1ff xx，即可得证；(ii)易得1 2 31t t t，令 ln,0h xxx x,可得101emn，要证明:1 2 31eln1mmnnt t t，只需证:ln 11ln1ln ln1mmnn ，只需证:1ln1mn(显然,易证ln1nn)，即证明:1mn，又因为lnlnmmnn,所以lnmnnnn，令 lnxxxx,11ex,利用导数证明 1n即可.【详解】（1）由题知:22210aaxxafxaxxxx，设函数 2g xaxxa,当12a 时,g x开口向上,21 40a ,所以 0fx,fx在0,上单调递减,无极值点
38、；当102a时,0g x 在0,上有两个解2212114114,22aaxxaa,又因为121x x,所以 fx在10,x上单调递减,在12xx，上单调递增,在2,x 上单调递减.所以 fx有两个极值点.综上:当12a 时,fx无极值点;当102a时,所以 fx有两个极值点.（2）(i)由(1)知:102a,且121x x,又因为 1111lnlnfaxxaxf xxxxx ,所以 121110f xf xf xfx.(ii)由(i)知:1ff xx,102a,112231txtxt,所以1 31t t,所以1 2 31t t t.令 ln,0h xxx x,ln1hxx,所以 h x在10,
39、e上单调递减,在1,e上单调递增.因为1x 时,h x0;01x时,h x0.所以101emn.所以,要证明:1 2 31eln1mmnnt t t,只需证:1eln1mmnn,只需证:ln1elnln1mmnn,只需证:ln 1lnln ln1mmnn,只需证:ln 11ln1ln ln1mmnn ,#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#答案第 11页，共 11页又因为 lnt xxx在0,上单调递增,所以只需证:1ln1mn.令 1ln11ev xxxx，所以 1110 xv xxx，所以函数 v x在1,1e上单调递减
40、；所以 10v xv，即ln1nn.所以，要证：1ln1mn，只需证：1 mn，即证明:1mn.因为10em,所以ln1m ,所以lnmmm.又因为lnlnmmnn,所以lnmnn,所以lnmnnnn.令 lnxxxx,11ex,则 ln0 xx,所以 x在1,1e上单调递增,所以 11n,所以1mn,所以1 2 31eln1mmnnt t t成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 f xg x（或 f xg x）转化为证明 0f xg x（或 0f xg x），进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见结论放缩；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.#QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=#