2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数（10题）.pdf

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1、2022年中考数学复习之挑战压轴题(解答题)：反比例函数(10题)一.解 答 题(共10小题)1.(2021秋双流区期末)如图，过A(2,0),B(0,2)的直线y=-x+2与双曲线y=W4x(x 0)交于P(X 3),Q(旦，1)两点，连接O Q.点C是线段OA上 一 点(不与2 2 2 2O,A 重合)，C_LAB 于。，D E 1.OB 于 E.设 CA=a.(1)求 的 长；(2)当a为何值时，CE=AC?(3)设OQ,EC相交于点F,是否存在这样的点C,使得OEF为等腰三角形？若存在,求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.备用图2.(2021秋天府新区期末)如图，在平面直角坐标系

2、xOy中，直线y=x+b与反比例函数)，=区(x 0)的图象交于点A(3,)，与y轴交于点B(0,-2),点P是反比例函数Xy=(x 0)的图象上一动点，过 点P作直线PQ/y轴交直线y=x+b于点Q,设点Px的横坐标为f,且0 V/V 3,连接4P,BP.(1)求 晨b的值.(2)当A A B P的面积为3时，求点P的坐标.(3)设P。的中点为C,点。为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B,C,D,E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.3.(2 0 2 2南山区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在)，轴的正半轴上，直线8 c的解析式为y

3、=f cc+1 2 (Z W O),AC A.BC,线段O A的长是方程/-1 5 x-1 6=0的根.请解答下列问题：(1)求点A、点8的坐标.(2)若直线/经过点A与线段8 c交于点 ,且ta n/C 4 O=，双曲线)=&(m#0)4x的一个分支经过点。，求，的值.(3)在第一象限内，直线C B下方是否存在点P,使以C、4、尸为顶点的三角形与A A B C相似.若存在，请直接写出所有满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.4.(2 0 2 2济南一模)如图，在平面直角坐标系x O y中，一次函数y=k i x+b的图象与反比例函 数 的 图 象 交 于 点4 (2,4)和点B ,-2

4、).x(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直线A B与x轴交于点。，与)，轴交于点C.过点C作C E x轴交反比例函数丫=的图象于点E,连接4 E,试判断力C E的形X状，并说明理由;设M是x轴上一点，当时，求点M的坐标.直线y=依+互与双曲线2y=交于A、B两点，直线A B分别交x轴、y轴 于C、。两点，且5/0。=专.（1）求一次函数的解析式;（2）如图2,E的坐标为（6,0）,将线段。沿y轴向上（或向下）平移得线段0 ,在移动过程中，是否存在某个位置使A。+E O 的值最小？若存在，求 出A。+E O 的最小值及此时点0的坐标；若不存在，请说明理由;（3）如图3,在（2）的条件下

5、，将直线O A沿x轴平移，平移过程中在第一象限交X的 图 象 于 点 可 与A重合），交x轴于点N.在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点尸为顶点的四边形为菱形且以为菱形的边？若存在，请直说明理6.(2 0 2 1 秋渝中区校级月考)如图，已知直线)，=x+l 与双曲线y=K交于A、B两点，且xA点坐标为Q,2).(1)求双曲线解析式及B点坐标.(2)将直线y=x+l 向下平移一个单位得直线/,P是 y 轴上的一个动点，。是/上的一个动点，求 A P+P。的最小值.(3)若点M 为)，轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以力、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点

6、坐标.7.(2 0 2 1 亭湖区校级一模)材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：建立平面直角坐标系，将已知锐角/AOB的顶点与原点。重合，角 的 一 边 与 x轴正方向重合；在平面直角坐标系里，绘制函数了=的图象，图象与已知角的另一边O A交于点P；X 以 P为圆心，2 O P 为半径作弧，交函数)=工的图象于点R；X分别过点尸和R作 X轴和y 轴的平行线，两线相交于点M、。；连 接 得 到/MO B,这时3根据以上材料解答下列问题：(1)设点尸的坐标为(“，工)，点 R的坐标为(b,1),则点M 的坐标为；a b(2)求证：点 Q在 直 线 上；(3)求证：N M0

7、B=2N A08；3(4)应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角(用文字简要说明).B x8.(2 0 2 1 铁岭模拟)如图，一次函数y=o x+(aWO)的图象与反比例函数y=K (ZWO)的图象交于A、8两点，与x轴、y轴分别交于C、。两点，与x轴、y轴分别交于C,D两点，若C D=2遥，t an/A C 0=1，点A的坐标为(/,3).2(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)连接O B,点 P在直线A C上，且 SMOP=2S&BOC,求点P的坐标.9.(2 0 2 1杭锦旗二模)如图，在直角坐标系中，矩 形O4 B C的顶点。与坐标原点重合，顶点A,C分别在坐标轴上，顶点8

8、的坐标为(4,2),过点。(0,3)和E (6,0)的直线分别与A B,B C交于点M,N.(1)求直线O E的解析式和点M的坐标；(2)若反比例函数=区的图象经过点M,求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；(3)若反比例函数y=K(x 0)的 图 象 与 有 公 共 点，请直接写出发的取值范围;(4)若将 M NB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点8在反比例函数)=_!的图象上，试求出N点的坐标.10.（2020岳麓区校级模拟）直线y=-x+2“（常数”0）和双曲线y=K （左 0,x 0）x的图象有且只有一个交点&（1）求点8 的 坐 标（用含。的式

9、子表示）；（2）如 图 1,一次函数y=-x+2与x 轴交于点A,点 P 是线段O A上的动点，点 Q 在反比例函数图象上，且满足/8 P O=N。布.若。=1时，点 P 在移动过程中，求 8尸+尸。的最小值；如图2,设 PQ 与线段4 8 的交点为M,若试求变2 坦的值.P M2022年中考数学复习之挑战压轴题(解答题)：反比例函数(10题)参考答案与试题解析一.解 答 题(共10小题)1.(2 0 2 1秋双流区期末)如图，过4 (2,0),B(0,2)的直线y=-x+2与双曲线、=且4x(x 0)交于P (X 3),Q(2,1)两点，连接O Q.点C是线段0 4上 一 点(不与2 2 2

10、 2O,A 重合)，C O-L A B 于 D,D E工0B 于 E.设 C A=a.(1)求AQ的长；(2)当a为何值时，C E=A C?(3)设0。，E C相交于点F,是否存在这样的点C,使 得 为 等 腰 三 角 形？若存在,求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.备用图【考点】反比例函数综合题.【专题】代数几何综合题；推理能力.【分析】(1)如 图1中，过 点。作QN _L O A于点M证明 A N Q是等腰直角三角形，可得结论；(2)如 图1中，过点。作。G _L O 4于点G.用a表示出C E,OC,0 E,利用勾股定理,构建方程求解即可；(3)存 在.分三种情形：如图2中，当E

11、 F=O F时，如图3中，当O E=O F时，当O E=E F时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可.【解答】解：(1)如 图1中，过点。作Q V L O A于点M图1：Q（3,工），2 2:.Q N=/：ZBOA=90,0A=0B=2,.,.N O A 8=N O B A=4 5,(2)如图1中，过点。作DG10A于点G.；N O A 8=4 5,CDJ-AB,：.ACDA是等腰直角三角形，.Z)G=C 4=L,2 2：DEOB,四边形OEDG是矩形，：.OE=DG=a,2V CE=AC,(2-a)2+(L)2a2,2解得，a=8+4 百(舍 去)，或a=8-4 料，.,.当 a=8

12、-4 百 时，CE=AC；(3)存在.由(2)可知I,C (2-小 0),E(0,A),2,直线CE的解析式为y=_+至，-2a-4 2,：Q（3,工），2 2，直 线 0 Q 的解析式为y=L,-36a-3 a2杆a+4y=2 a da+4.F(6a-3 a2a+4区二4),a+4如图2 中，当 E尸=0 尸时，过点尸作/77J_OE于点H,则 0 =2 0 E,2 2a-a2 _ 1 一 Cl,a+4 4解得，。=0（舍去）或。=全5经检验，“=匹是分式方程的解，5：.C&0）.5如图3 中，当。E=。/时，则 O f=L,2过点尸作/L O C 于点儿,:F(6a-3 a2 2a-a+4

13、 a+4:.FH=LOH,3解得，a0（舍去）或 a=28_4VJ,_ 13经检验，a=28-4函是分式方程的解,_ 13：.C（4标-2,0）.13_ 当O E=E F时，过点E 作E K 1 O F 于点K,则O K=L o F=-F H,2 2由 E O K s aO尸”，可得 O E=4 O K=5 F H,即 F H=O E,5.2 a-a 2=L,a+4 10解得，a=0 （舍去）或。=与，11经检验，旦是分式方程的解,11:.c(A,o),11图3(4 v13-2,0)或(且，0)1311【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和

14、性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题.2.(20 21秋天府新区期末)如图，在平面直角坐标系x O y中，直线y=x+方与反比例函数)，=区(%0)的图象交于点A (3,),与y轴交于点B (0,-2),点P是反比例函数xy (%0)的图象上一动点，过点P作直线PQ/y轴交直线yx+b于 点Q,设点Px的横坐标为f,且0 V/V 3,连接4 P,BP.(1)求A,Z?的值.(2)当a A B P的面积为3时，求点P的坐标.(3)设P Q的中点为C,点。为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B,C,D,E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.【

15、考点】反比例函数综合题.【专题】反比例函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.【分析】(1)将点3 代入y=x+b,求得儿 进而求得y=x-2,将 A 点坐标代入求得;(2)表示出PQ的长，根据PQ(XA-X6)=3 求得r,进而得出点尸的坐标；2(3)分为3 c 是边，点。在 x 轴正半轴上和在负半轴上，以及3C 为对角线.当BC为边时，点。在无轴正半轴上时，过点。作 C Ly轴，作 QG_LCK 证明BC尸名CGQ,进而得出。尸=0 F,从而求得，的值，另外两种情况类似方法求得.【解答】解：(1),直线y=x+力过点8(0,-2),0+b=-2,:.b=-2,

16、直线y=x-2 过点A(3,)，/.n=3-2=1,A A(3,1),.y=K过点A(3,1),x.k=xy=3X 1=3；(2)VP(3 3),Q(6/-2),A(3,1),B(0,-2),t.PQ=&_(t-2)，VSMPB=SAPQ-SBPQ=PQ(X4-XB),得年一(t-2)X3=3,P(F，%)；t3 八+t-2：.C(r,1-),2当 是 边，点。在 x 轴正半轴上,作 CFJ_08于 凡 作 DG_LC尸于G,：.ZBFC=ZG=90，：/FBC+/FCB=90。,VZBCD=90,:/DCG+/FCB=90,：,/F B C=/D C G,：BC=CD,:.BFCQACGD(

17、A4S),:CF=DG,OF=DG,：OF=CF,3 n+t-2 t=t，*t=l9 t2=-3(舍去)，：.P(1,3)如图2,当点。在 x 轴的负半轴上时,由上知：BG=DF=2,：.t=2f：.P（2,旦）,2当 8C是对角线时，点。在 x 轴负半轴上时,可得：CF=OD,DF=OB=2,f+t-2 ！-=2-32t=1,：.P(1,3),2.0=2y-3,12=-243-3（舍去），当 f=2愿-3 时，y=4 =2 a+3,2V3-3：.P（273-3,25/3+3）,综上所述：P（2,四）或（1,3）,（2料-3,27 3+3）.2【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数

18、关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系.3.（20 22南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点4在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在）,轴的正半轴上，直线8 C的解析式为y=A x+12&0）,AC 1 BC,线 段0 4的长是方程/-15x -16=0的根.请解答下列问题：（1）求点A、点8的坐标.（2）若直线/经过点A与线段B C交于点。，且ta n/C A O=工，双曲线了=如（m W O）4x的一个分支经过点。，求，”的值.（3）在第一象限内，直线C B下方是否存在点P,使以C、A、尸为顶点的三角形与

19、a A B C相似.若存在，请直接写出所有满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力.【分析】（1）先解方程，求得A点坐标，根据 A O C s A C B,求得A B,进而求得8点坐标；（2）作。E _ L O C于E,先求得C D,可证 C D E s/c 30,从而求得D E,C E,0 E,进而求得结果；（3）分为四种情形：当时，此时以可直接写出点P坐标，当胆C s/A C B时，作尸于E,先求得A P=殁，再根据 P E A s/A C O得P E3=空，A E=16,从而得出点P

20、 坐标，当用C s4C B A 时，此时用C也O CA,直接3得出点P 坐标，当力C sC A B 时，此时B4C丝OAC,作PHLOC于H,AG1PH于 G,可证由A G P s/v/c,进一步求得点尸坐标.【解答】解：由x2-15x-16=0得，Xl=16,X2=-1 (舍去)，A OA=16,A(16,0),当 x=0 时，y=12,：.C(0,12),OC=12,-A C=yJoh2O C2=1 62+1 22=2 0,VAC1BC,A ZACB=ZAOC=9O0,VZOAC=ZBAC,匕AOCs kCB,-A C =_ 0 A,A B A C 20=1 6.而 20：.AB=25：.

21、OB=AB-OA=25-16=9,：.B(-9,0)；(2)如 图 1,图1作 QE_LOC 于 E,：tanZC AD=-=L,AC=2 0,A C 4,C D=4 X 20=5，4；0 C=1 2,0B=9,B C=7OC2OB2=5：Z C E D Z B O C=9 0Q,D E/OB,C D E sAC BO,-D E _ C E _ C D)O B O C BC.D E _ C E _ 5 _ 1,方下下ED E=3,C E=4,OE=OC-C E=8,D(-3,8),./=-24；(1 2,0),8(-9,0),C(0,1 2),AP(25,1 2),如图3,.A.P.二 A C

22、,A C B C A P 20 ,20 1 5；.”=世，3由4 sACO 得，P E =A E =A P(O A O C A C,8 0 P E =A E=-=41 6 12 20 3：.P E=,4E=16,3；.OE=OA+AE=32,：.P(32,H),3：.P(16,12),如图5,当B4Cs/CA8 时，此时丝OAC,A P _ Q A _ 1 6 4CP=oc 12 3作 P”_LOC 于 ，AG_LP”于 G,由A G P s/pc 得，A G =P G =A P=_ 4(P H C H C P 3.设 AG=4x,PG=4y,贝 ij PH=3x,CH=3y,：PH+PG=O

23、A=6,OC+CHAG,(3x+4 y=1 6 l3y+1 2=4 x，9 6x/.*.P=3 x=i,AH=4X=A,25 25：.P(2 S 8,驾 1),25 25综上所述：P(25,1 2)或(3 2,空)或(16,1 2)或(笙，-4).3 25 25【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，求反比例函数解析式，解一元二次方程,解直角三角形，勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类及计算能力.4.(2022济南一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数)=切+%的图象与反比例函数)二 的 图 象 交 于 点 4(2,4)和点8(m,-2).x(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

24、(2)直线AB与 x 轴交于点。，与)，轴交于点C.过点C 作 CEx 轴交反比例函数丫=的图象于点E,连接A E,试判断ACE的形X状，并说明理由；设M 是 x 轴上一点，当/C M O=NZ)C。时，求点M 的坐标.【专题】几何综合题；推理能力.【分析】(1)利用待定系数法求出2,%,人即可解决问题.(2)结论：ACE是等腰直角三角形.利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明即可.分两种情形：当点M 在 x 轴的负半轴上时，当点M 在 x 轴的正半轴上时，分别求解即可.【解答】解：(1)点A(2,4)在反比例函数y=上，：.ki=8,.反比例函数的解析式为旷=旦，X；点 B(nt,-2)在 y

25、=上,x.m=-4,：.B(-4,-2),.,y=%x+6 的图象经过 A(2,4),B(-4,-2),(2k+b=4-4k+b=-2解得,b=2,，一次函数的解析式为y=x+2.(2)对于 y=x+2,当 x=0 时，y2,.点C 坐 标 为(0,2),当 y=0 时，x=-2,.点。坐 标 为（-2,0）,结论：aACE是等腰直角三角形.理由：CEx 轴，.点E 的横坐标为2,.点E 在反比例函数尸图的图象上，X：.E（2,4）,.CE=4,：AC=722+（4-2）2=2A/2（4-2）2+（4-2）2=2V2：.AC2+AE2 （2&）2+（2 7 2）2=16=Cf2,AC=AE,.

26、NC4E=90,.4 CE是等腰直角三角形.如图，由可知，OC=2,00=2,:.CD=2 近,当点M 在 x 轴的负半轴上时，,/ZCM 2O1ZDCO,NCDO=/CM2O+NM2CD,2：.ZCM2OZDCM2,:.D M 2=C D=2,：.OMi=OD+DM2=2+2&,二点 M2的坐标为（-2-2&,0）,同理，当点M 在 x 轴的正半轴上时，根据对称性可知点M l的坐标为（2+2&，0）,综上所述，点 M 的坐标为（2+272,0）或（-2-2&,0）.【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形

27、的判定等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.5.（20 21 秋锦江区校级期中）如 图 1,在平面直角坐标系X。），中，直线），=履+互与双曲线2）,=1 2 交于4、B 两点，直线A B 分别交x轴、），轴 于 C、。两点，且 弘（7。=空.x4（1）求一次函数的解析式；（2）如图2,E的坐标为（6,0）,将线段。沿 y轴向上（或向下）平移得线段。0 ,在移动过程中，是否存在某个位置使A D1+E O 的值最小？若存在，求 出AD+EO的最小值及此时点0的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3,在（2）的条件下，将直线04沿 x轴平移，平移过程中在第一象限交y

28、=2 2x的图象于点M （M 可与4重合），交无轴于点N.在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以为菱形的边？若存在，请直接写出 P 的坐标；若不存在，请说明理【专题】几何综合题；推理能力.【分析】(I)求 出 C,。两点坐标，可得结论；(2)作点A 关于)，轴的对称点A,作 A A/OD,且 A A=0 D,连接E A 交 y轴于点O,此时AO+E O 的值最小，求出直线E4”的解析式，可得结论：(3)分三种情形：如图3-1 中，当点N 在点E 的左侧时，M N=M E.如图3-2 中，当M N=M E 时,如图3-3 中，当点N 在点E 的右侧时

29、，M N=E N,分别构建方程求解即可.【解答】解：(1)直线与y 轴交于点。，2：.D(0,A),2.0。=8，2.SACOD=.4.OCOO=空，24.JLX O C X=空，2 2 4：.OC=5,AC(-5,0),把 C(-5,0)代入得到&=工，22二直线A B的解析式为y-X x+，可以设 H N=3Z,M H=4 k,贝U M N=5公(fx=-8 由 ，解得1 x-3或 3，y 上 I y=4 y=-yX(3,4),B(-8,一2),2作点A关于y轴的对称点A,作A A /O D,且点O,此时A。+E O 的值最小，“T 方 Dao|X图2V E (6,0),A(-3,3),2

30、：.AD+E O 的值最小为 A E=J(6+3)2 +6)2=直线E 4 的解析式为y=-L+l,6：.O(0,1)；(3)如图3-1中，当点N在点E的左侧时，M N=R0|N HEX3-1过点M作M H L x轴于点H,V t a nZ M/V/7=A=,3 NHA A =O D,连接E A 交y轴于.3437-,24E:.NE=MN=5k,:E H=2 k,：.M（6-2%,4%）,（6-2%）X4k=12,解得上=2 2巨，此时P（2 1+32J/3,（6+2百）或（2 1-3日,6-2 代）.2 2 2如图3-2 中，当M N=M E时，(6-3/n)X4m=12,解得m=,此时 P

31、(3,-4).如图3-3 中，当点N 在点E 的右侧时，M N=E N,：.（6+8）X4=12,解得而-3（负根己经舍弃）,8 _ _可得 p（39+3 V 33-32综上所述，满足条件的点P的坐标为(4,-3)或(烫 至 返，33-3)或(2 1+3遮,_ 8 2 26+2 7 3)或(2 1H叵 6-2愿).2【点评】本题属于反比例函数综合题、考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、轴对称最短问题、菱形的性质，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.6.(2 0 2 1秋渝中区校级

32、月考)如图，已知直线y=x+l与双曲线y=K交于A、B两点，且xA点坐标为(2).(1)求双曲线解析式及B点坐标.(2)将直线y=x+l向下平移一个单位得直线/,P是y轴上的一个动点，。是/上的一个动点，求A P+P。的最小值.(3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以4、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标.【考点】反比例函数综合题.【专题】代数几何综合题；推理能力.【分析】(1)利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标；(2)首先判断出直线/是一三象限的角平分线，过 点。作。7 1 _直线/交A B于点T,作点。关于y轴的对

33、称点。，连 接P Q ,考点A P+P Q=Q P+P Q N A T,求出A T,可得结论；(3)分三种情形：当N B A M=90 时.当/A B M=90 时.当/A MB=90 时，设 M(0,机)，设 AB的中点为J A),2 2问题.【解答】解：(1).直线y=x+l经过点A(a,2 a+l,6t=I,(1,2),.双曲线y=K 经过点A(1,20,X:k=2,双曲线的解析式为y=2,由;1，解 得 卜=1或0T,y=Y 1 y=2(y=-l：.B(-2,-1)；(2)如 图 1 中，社 y=x+l图1:直 线 y=x+l向下平移一个单位得直线1,直线1是一三象限的角平分线，利用勾

34、股定理构建方程求出加，即可解决,2),过 点 0 作 O7J_直线/交AB于点T：.AP+PQ=QP+PQ 2A7,由题意 A（1,2）,r（-A,A）,2 2 7=6）2+6）2=平，作点。关于y 轴的对称点Q,连接尸。，J.AP+PQ的 最 小 值 为 巨;2当/B A M=90 时，Mi (0,3),M (-3,0).当N A B M=90 时，Mi(0,-3),Ni(3,0).当N A MB=90 时，设M(0,?)，设A B的中点为J (-,A),2 27=V32+32=3V 2.:.AJ=JB=JM=绘区,2_(-1)2+(l-/n)2=(-3近)2,2 2 2解得 m=2_(O,

35、A/4(O,2 2:JN3=JM3,JN4=JM4,:.N3(-1,),N 4 (-1,),2 2 _综上所述，满足条件的点N的坐标为(-3,0)或(3,0)或(-1,上M 13 或(-21,上 画).2【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,把最值问题转化为垂线段最短，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.7.(2 0 2 1 亭湖区校级一模)材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：建立平面直角坐标系，将 已 知 锐 角 的 顶 点 与 原 点。重合

36、，角的一边0 8与x轴正方向重合；在平面直角坐标系里，绘制函数丫=工的图象，图象与已知角的另一边O A交于点P；X 以P为圆心，2 O P为半径作弧，交函数y=工的图象于点R；X分别过点P和R作X轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；连接OM,得到/M 0 8,这时3根据以上材料解答下列问题：(1)设点尸的坐标为(a,工)，点R的坐标为(b,-1),则点M的坐标为(b,1)；a b a(2)求证：点Q在直线OM上；(3)求证：Z M O B=Z A O B；3(4)应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角(用文字简要说明).【专题】代数几何综合题；推理能力.【分析】(1)由点尸的坐标为(a,

37、-1),P M x轴，可得点M的纵坐标为工，由点R的a a坐 标 为(b,-1),R历y轴，可得点M的横坐标为b,即可求解；b(2)先求出直线OM解析式和点Q坐标，将 点。坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；(3)连 接P R,交O用 于 点S,由矩形的性质可得N 1 =N 2,由2P O=P R=2P S,可得P S=P O,可得N 4=/3=2 N 2,由平行线的性质可得N 2=/5,即可得结论；(4)可以按照题意叙述的方法进行作图即可(方法不唯一).【解答】(1)解：如图,a.点M的纵坐标为工，a,点R的坐 标 为(b,工)，R M)，轴,b.点用的横坐标为6,.点 M C b,

38、A),a故答案为：(b,1).a(2)证明：设直线0 M解析式为：y=kx,点M Qb,A),.=bk,a b.二 直线O M解析式为：a b,分别过点尸和R作y轴和元轴的平行线，两直线相交于点 点 Q (d A),b 当 x=a 时，y=L-X a=fa b b 点。在直线OM上；(3)证明：连接P R,交OM于点S,由题意得四边形PQRM是矩形，：PR=QM,SP=LPR,2 2:.SP=SM,AZ1=Z2,A Z3=Z1+Z2=2Z2,;PR=2PO,:PS=PO,A Z4=Z3=2Z2,轴，A Z2=Z5,NAO8=N4+N5=3N5,即 N M O BQN A O B；2（4）解：如

39、图，设 边。4与函数y=-工（xVO）的图象交于点P,以点P为圆心，2OPx的长为半径作弧，在第四象限交函数）=-2（x0）的图象于点R,X过点尸作X轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M,连 接O M,则NMOB=XZAOB.3【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.8.（2021 铁岭模拟）如图，一次函数（aWO）的图象与反比例函数y=K （ZWO）x的图象交于4、B 两点，与 x 轴、y 轴分别交于C、。两点，与 x 轴、y 轴分别交于C,D两点，若 C=2,tan/A C O=L，点 A 的坐标为（?，3）.

40、2（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接。3,点尸在直线AC上，且 S/jop=2SO C,求点尸的坐标.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形.【分析】（1）根据RtaCOO中，tan/ACO=上，CO=2代，即可得到。（0,2）,C（4,20）,运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；（2）先解方程组求得8（6,-1）,进而得至!|5 。户=2&（=2 义工义4*1=4,设 P（x,2-kr+2）,再分两种情况：当 点 P 在 C D 上时，SAOP=SMOD+SDOP,当 点 P在2CA延长线上时，SAOPS&DOP-SAAOD,分别求得点P 的坐标为

41、（2,1）或（-6,5）.【解答】解：（1）,.rCO。中，tan/ACO=,2：.C 0=2 0D,又，:C D=2匹,：.OD2+4OD2(2遥)2,解得 00=2,C 0=4,：.D(0,2),C(4,0),.直线y=o r+b (a#0)与x轴、y轴分别交于C、。两点,，nf 1.*J2=b，解得.a，10=4a+b b=2 一次函数的解析式为y=-L+2,2把点A的 坐 标C m,3)代入，可得3=-m+2,解得?=-2,2(-2,3),.反比例函数y=K (�)的图象经过点4,X：.k=-2X 3=-6,反比例函数解析式为y=-2；X(2)解方程组|2，可得仆=-2或1 x=6

42、y=_ .l y=3 l y=-lX：.B(6,-1),.SAAOP=2SZJ?OC=2XX4X 1=4,2设 尸(x,-k x+2),2分两种情况：当点尸在C O上时，SAAOP=SAAOD+SADOP,.,.4=AX2X2+AX2X|X|,解得X=2,2 2：.P(2,1)；当点P在C A延长线上时，SMOP=SDOP,-SMOD.,.4=AX2X|X|-A X 2 X 2,解得 x=-6,2 2：.P,（-6,5）.综上所述，点尸的坐标为（2,1）或（-6,5）.【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，

43、解题时注意分类思想的运用.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可.9.(2021 杭锦旗二模)如图，在直角坐标系中，矩 形O A 8 C的顶点。与坐标原点重合，顶点A,C分别在坐标轴上，顶点8的坐标为(4,2),过点。(0,3)和E (6,0)的直线分别与A 8,B C交于点M,N.(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；(2)若反比例函数)，=区的图象经过点求该反比例函数的解析式，并通过计算判断X点N是否在该函数的图象上；(3)若反比例函数y=K(x 0)的图象与 M N B有公共点，请直接写出左的取值范围；X(4)若将用N 8放置于平面直角坐标系中：使斜边在横

44、轴上，直角顶点8在反比例函数 的 图 象 上，试求出N点的坐标.X【考点】反比例函数综合题.【专题】反比例函数及其应用；矩 形 菱 形 正方形.【分析】(1)设直线O E的解析式是)，=履+从 把。、E 的坐标代入即可求出直线的解析式，把 y=2 代入即可求出M 的坐标.(2)把 M 的坐标代入反比例函数解析式求出即可，把 x=4 代入直线的解析式即可求出N 的坐标.(3)求出反比例函数的图象过B 点的无值，即可求出答案.(4)求出直角三角形MBN的斜边上的高B L,根据相似求出L N,即可求出N 的坐标.【解答】解：(1)设直线Q E的解析式是y=fcc+b,把。、E 的坐标代入得：P=b,

45、l0=6k+b解得：k=-1,b=3,2直线DE的解析式是：y=-Xx+3,2:矩形 AOCB,B(4,2),.把 y=2 代入 y=-kx+3 得：x=2,2例的坐标是(2,2).(2)把 M(2,2)代入 y=K 得:k=4,X即反比例函数的解析式是)，=g，X :B(4,2),把x=4 代入y=-1+3 得：y=l,2 .N 的坐标是(4,1),把 N 的坐标代入y=4 得：左边=4,右边=4,左边=右边，X即点N 在反比例函数的图象上.(3)把 B(4,2)代入 y=K 得：k=8,X反比例函数y=2 过 M、N 点，x若反比例函数y=K (x 0)的 图 象 与 有 公 共 点，k

46、的取值范围是4WZ:W8.x(4)过 8 作 于 L在MNB 中，B M=4 -2=2,B N=2-1=1,由勾股定理得：地=如2 +2=遥,SAMNB-4 M X B N=工M N X BL,2 2.,.2X1=A/5XBL,5:直角顶点B 在反比例函数图象上，.8的纵坐标是会叵，代入y=三得：横坐标是2遍,5x：.0L=2 娓,是直角三角形，BL 1.MN于L,:.BL Ns/MBN,.,LN一 _B L,BN M B2 7 5 LN=52：.L N=J-,5_：.0 N=0 L+L N=2匹!-=I 1漏 或 O N=O L -L N=2匹-遮（此时 N在“5 5 5 5的左边），的坐标

47、是（卫亚0）或（-叵，0）.【点评】本题考查了用待定系数法求一次和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度.10.(2020岳麓区校级模拟)直线y=-x+2”(常数 0)和双曲线y=K (%0,x0)x的图象有且只有一个交点B.(1)求点B 的坐标(用含。的式子表示)；(2)如 图 1,一次函数y=-x+2“与 x 轴交于点A,点 P 是线段OA上的动点，点。在反比例函数图象上，且满足 若 a=1时，点P在移动过程中，求B P+P Q的最小值；如图2,设 P。与线段A 8的交点为M,若O M

48、 LB P,试 求 的 值.P M【考点】反比例函数综合题.【专题】几何综合题；反比例函数及其应用；应用意识.【分析】(1)构建方程组根据=(),确定k 与 a 的关系，再求出方程组的解即可.(2)如图1 中，作过B 关于0A 的对称点8,连接Q B 交 0A 于尸，此时/8 尸 0=ZQ PA,设。(机，1),构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.m过点8 作于“交 0M 于设OM交PB于K.利用全等三角形的性质证明OJ=PB,JH=PH,即可解决问题.ry=_x+2a【解答】解：由 J k 消去了 得到，x2-2ar+jt=0,y=X由题意=(),.4/-4Z=0,:.k=3,解方

49、程组得到，(X=a,I y=a.*.B(a,a).(2)如图1 中，作过3 关 于。4 的 对 称 点 夕，连接Q 交 QA于尸，此时N 3P 0=,:B(1,1),夕(1,-1),J(m 1)2-2 (m 2)+4=J (mT)2+3，V m m V mV I 0,当?-1=1时，PB+PQ的值最小，最小值为百.m过点B作5_L04于H交0M于设OM交P 3于K.由题意，B(m a),A(2af 0),OH=BH=AH=a,VOM1PB,BH.LOA,：/OHJ=/BKJ=90,：40JH=/BJK,：.ZHOJ=ZHBP,:NOHJ=NBHP=90,OH=BH,:AO H乂ABHP(ASA

50、),：.OJ=PB,JH=PH,ZOJH=ZBPH,AP=BJ,V ZAHB=90,HB=HA,：.ZPAM=ZJBM=45,；NBPH=NAPM,/OJH=/BJM,:/BJM=/APM,(ASA),：JM=PM,：,OM-PB=OJ+JM-BP=JM=PM,.OM-PB=1PM .【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.考点卡片1.反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，