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1、2022年高考数学全国卷试题评析+2022年普通高等学校招生全国统一考试甲、乙卷数学试题及参考答案目 录2022年高考数学全国卷试题评析.32022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学.72022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学参考答案.122022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学.172022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学参考答案.222022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学.252022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学参考答案302022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数
2、学.392022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学参考答案.43全国甲卷适用地区：云南、四川、广西、贵州、西藏全国乙卷适用地区：内蒙古、吉林、黑龙江、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、山西、安徽、江西、河南2022年高考数学全国卷试题评析2 0 2 2年教育部教育考试院命制6套高考数学试卷，包括全国甲卷2套（文、理科）、全国乙卷2套（文、理科）、新 高 考I卷1套（不分文理科）、新高考H卷（不分文理科）。试题落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展，体现高考改革要求；试题突出数学学科特点，强化基础考查，突出关键能力，加强教考衔接，服 务“双减”政策实施，助力基础教育提质增效
3、。一.设置现实情境，发挥育人作用高考数学命题坚持思想性与科学性的统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，设置真实情境，命制具有教育意义的试题，发挥教育功能和引导作用。1 .设置优秀传统文化情境以中华优秀传统文化为情境材料设置试题，让学生领略中华民族的智慧和数学研究成果，进一步树立民族自信心和自豪感，培育爱国主义情感。新高考n卷第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景，考查学生综合应用等差数列、解析几何、三角函数等基础知识解决实际问题的能力。全国甲卷理科第8题取材于我国古代科学家沈括的杰作 梦溪笔谈，以沈括研究的圆弧长计算方法 会圆术为背景，让学生直观感受我国古代科学家探究问题和解决问题的过程
4、，引发学生的学习兴趣。2 .设置社会经济发展情境以我国的社会经济发展、生产生活实际为情境素材设置试题，如：新 高 考I卷 第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景，考查学生的空间想象、运算求解能力，引导学生关注社会主义建设成果，增强社会责任感;全国甲卷文、理科第2题以社区环境建设中的“垃圾分类”为背景考查学生的数据分析能力;全国乙卷文、理 科 第1 9题以生态环境建设为背景材料，考查学生应用统计的基本知识和基础方法解决实际问题的能力，对数据处理与数学运算素养也作了相应的考查。3.设置科技发展与进步情境选取我国科技发展与进步中取得的重要成就作为试题背景，体现数学的应用价值和时代特征，激发
5、青年学生树立为国家服务、奉献科技事业的信念。如全国乙卷理科第4题，以嫦娥二号卫星在完成探月任务后继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为情境，考查学生综合应用数列、函数、不等式等基本知识观察问题、分析问题和解决问题的能力。二.加强教考衔接，发挥引导作用2 0 2 2年高考数学依据课程标准命题，深化基础考查，突出主干知识，创新试题设计，加强教考衔接，发挥高考试题对中学教学改革的引导和促进作用。1.依据课程标准高考数学命题贯彻高考内容改革要求，依据高中课程标准，进一步增强考试与教学的衔接。试题的考查内容范围和比例、要求层次与课程标准保持一致，注重考查内容的全面性，同时突出主干、重点
6、内容的考查，引导教学依标施教。试题突出对学科基本概念、基本原理的考查，强调知识之间的内在联系，引导学生形成学科知识系统；注重本原性方法，淡化特殊技巧，强调对通性通法的深入理解和综合运用，促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构。全 国 乙 卷 第2 1题考查分类与整合的思想，全国甲卷第2 0题考查数形结合的思想，新 高 考I卷第16题体现特殊与一般的思想，新高考n卷 第19题对统计与概率的思想进行了深入考查。数学试题力图引导中学遵循教学规律、提高课堂教学效果，实现作业题、练习题减量提质。2.加强主干考查试卷在选择题、填空题、解答题3种题型上都加强了对主干知识的考查。如新 高 考I卷 第12题，
7、要求学生在抽象函数的背景下，理解函数的奇偶性、对称性、导数等概念以及它们之间的联系，对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养都有较高的要求。再如全国甲卷理科第19题，以学校体育比赛为情境，考查概率的基础知识和求离散型随机变量的分布列与期望的方法，体现了对主干知识的深入考查。3.创新试题设计高考数学创新试题形式，引导教学注重培养核心素养和数学能力，增强试题开放性，鼓励学生运用创造性、发散性思维分析问题和解决问题，引导教学注重培育学生的创新精神。在多选题的设计上，进一步增强选项的灵活性，突出对发散性思维和创新性思维的考查。在填空题的答案设计上，给学生较大的思考空间，对知识之间的联系、直观想象等素养
8、作了深入的考查。试卷创新结构不良问题的设计，有效增强试题的开放性，考查学生创新思维能力。如新高考H卷 第21题给出3个条件，要求学生选取2个作为已知条件，证明另外一个成立，给学生提供了选择的自由度和发挥空间，有利于对学生思维水平的考查。三.加强素养考查，发挥选拔功能数学试题加强学科核心素养考查，强化数学思想方法的渗透，深入考查关键能力，优化试题设计，发挥数学科高考的选拔功能，助力提升学生综合素质。1 .加强思维品质考查，增强思维的灵活性数学试题通过突出思维品质考查，强调独立思考和创新意识。全国乙卷理科第9题、文 科 第1 2题，研究球内四棱锥体积的最大值问题，要求学生有较强的空间想象能力和分析
9、问题能力，将问题转化为三次函数的最值问题，进而利用导数求解。新高考n卷 第8题对思维的灵活性有较高要求，在抽象的情境中发现函数周期性是问题的关键。全国甲卷理科第2 0题、文科第2 1题，考查直线、抛物线、三角函数、不等式的基本性质以及解析几何的基本思想方法，要求学生在复杂的直线与抛物线的位置关系中，能抓住问题的本质，发现解决问题的关键，选择合理的方法。2.加强关键能力考查，增强试题的选拔性数学试题通过设置综合性的问题和较为复杂的情境，加强关键能力的考查。新 高 考I卷 第2 2题重视基于数学素养的关键能力的考查，在数学知识、数学能力和创新思维层面都有所体现，具有较好的选拔功能。新高考H卷 第2
10、 2题将函数、导数、数列与不等式等知识有机结合，考查学生灵活应用函数、不等式思想解决复杂问题的能力，对直观想象能力和逻辑推理能力也有较高的要求。2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）注意事项：1 .答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效
11、。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若z =-l +百i,贝=（）z z -1A.-1 +V3 i B.-1-V3 i C.+D.一;2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识 为了解讲座效果，随 机 抽 取1 0位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这1。位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：讲座为讲座后居民瑞弓则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于7 0%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于8 5%C.讲座前问卷
12、答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.设全集。=一2,-1,0,1,2,3 ,集合4 =1,2 ,3 =|炉 4%+3 =0 ,则e（4 1 1 8）100%95%385%宣80%75%70%65%A.1,3 B.0,3 C.-2,1 D.-2,0 4 .如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为()5 .函数y =(3 -3 7)c o sx在 区 间 一，5的图像大致为()6 .当x =l时，函数/(x)=a l n x +2取得最大值2,贝”八2)=()x,1 IA.一1 B.-C.
13、-D.12 27.在长方体A B C。-A 4G。中，已知与。与平面A 8 C D和平面A&gB所成的角均为3 0,则()A.A B 2 A D B.4?与平面A 4G。所成的角为3 0 C.A C =C B D.BQ与 平 面 所 成 的 角 为4 5 8.沈括的 梦溪笔谈 是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，A 8是以。为圆心，。4为半径的圆弧，C是A B的中点，。在上，C D L A B.”会C D2圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=A B +.当。4 =2,Z A O B=6 0。时，O ADB1 1-3 7 3 1 1-4 6 9-3A/3
14、B-C.2-2-29-4 7 3-2-9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2 兀，侧面积分别为S 甲和 S 乙,体 积 分 别 为 和%.若 含=2,则 合=（）A.V 5 B.2叵 C.M D.41 0.椭圆C：=+与=1（。0）的左顶点为A,点 P,。均 在 C 上，且关于y 轴对称.若CT b直线AP,A Q的斜率之积为L ,一 4则 C 的离心率为（）,V 3A.-2_ V 2D.-21D.-31 1.设函数/(x)=sin7 1COX+3在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围 是（）A.5 1 33，-6B.5 1 91 不C.1 3 8Z3D.1
15、 3 1 96 61 2.3 1 1 1已知 a=,6 =co s,c=4sin,3 2 4 4则（)A.c b aB.b a cC.a b cD.a c b二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3 .设向量。，。的夹角的余弦值为g,且|。|=1,g|=3,贝 I J （加+6）小=.21 4.若双曲线/一 二=1（加（）的渐近线与圆工 2+,2-4 y +3 =0相切，则m=1 5 .从正方体的8个顶点中任选4 个，则这4 个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为.A C1 6 .已知 A B C 中，点。在边 BC 上，Z A D B =1 2 0 ,A D =2
16、,CD=2 B D .当一取得A B最小值时，BD=.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（-）必考题：共60分。17.（12 分）2S记 S“为数列 凡 的前n项和.已知一丁+=2%+1 （1）证明：4 是等差数列；（2）若。4，%，。9 成等比数列，求 S”的最小值.18.（12 分）在 四 棱 锥 P-ABCD 中，PD1.底 面ABCD,CD/AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6（2）求 PO与平面RLB所成的角的正弦值.19.（12 分）甲、乙两个学校进
17、行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望.20.（12 分）设抛物线。：/=2%（2 0）的 焦 点 为 点。（,0）,过尸的直线交C 于 M,N 两点.当直线MO垂直于x 轴时，|M同=3.（1）求 C 的方程；（2）设直线MD,N与C的另一个交点分别为A,B,记 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为a、B.当a-尸取得最大值时，求直线AB的方
18、程.21.（12 分）已知函数/（x）=-ln x+x-a .（I）若 x）2 0,求 a 的取值范围；（2）证明：若/（x）有两个零点玉,，贝 1 无 押 2-s i n 6 =0,求G与G交点的直角坐标，及G与交点的直角坐标.23.选修4-5：不等式选讲(10分)已知a,b,c均为正数，且。2+42=3,证明：(1)a+h+2c 3；(2)若b=2c,则2十,之？.a c绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号
19、及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.l.C 2.B.3.D 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.111 4.331 6.百-1#一 1+G三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明
20、、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.2517.(1)解：因为 +=2。“+1,即 2S”+犷=2m+，n当N2时，+(/?-1)2，-得，2Sn+/-2Sn_ (n-1)2=2nan+n-2n-)an_(H-1),即 2an+2n-i=2narl+1,即2(-l)a,=2(-1),所以a“一。,-=1,“2 2且eN*,所以%是以1为公差的等差数列.(2)-78.18.(1)证明：在四边形A8CD中，作。E_LA5于E，CF_1_AB于/，因为 CO/AB,AD=CO=C8=1,AB=2,所以四
21、边形ABC。为等腰梯形，所以 AE=BF=L,2G _故。石=，B D =1 D E 2 +BE2=G,所以 4。2+8。2 =他2，所以 AD_LBD，因为PD_L平面ABC。，B D u平面ABC。，所以又 P D c A D=D，所以8。，平面PA。，又因B 4u平面PAD,所以.519.(1)0.6；(2)分布列见解析，(X)=13.【解析】依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，p(x =o)=0.5x0.4x0.8=0.16,P(X=10)=0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2=0.44,P(X=20)=0.5
22、x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2+0.5 x 0.6 x 0.2=0.34,p(X=30)=0.5 x 0.6x 0.2=0.06.即X的分布列为X0102030P0.160.440.3 40.0 6期望 E(X)=0 x0.16+10 x0.44+20 x0.34+30 x0.06=13.20.(1)上以；(2)AB:x-y/2y+4.21.已 知 函 数=nx+x-a .(1)(-o o,e +l(2)由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设M 1 工 21要证X/2 1，即证%0,1X、ev,设 g(x)-xex,x 1X(1 1、(1则 g(x)=-T
23、 eA-ex+xex)IJ IV ev D x-(eI X 八 X )X (X设9(x)=x=工 f )0,X G (1,+CO)0If n nn x x O(l)=e,而/(),所以 g(x)0X所以g(x)在(1,4 W)单调递增ex 1即 g(x)g(l)=0,所以 J xe、0X令/z(x)=In x x 1hf(x)=x所以/l(x)在(1,+0。)单调递减即(%)。(1)=0,所以 In x-；0,所以西工2 0)；(2)C3，G的 交 点 坐 标 为(1,2),G，G的交点坐标为(一；，-1)，(-1,-2).选修4-5：不等式选讲23.(1)证明：由柯西不等式有“+6 2+(2
24、 4(1 2+2+2)2(”+/7+20)2,所以a+b +2 c 4 3,当且仅当。=Z?=2c =l时，取等号，所以。+人+2。43；(2)证明：因为=2c,a0,b 4,c 0,由(1)得a+2c =a +4 c 3,即0 Q +4 c 3,所以 Q+4 c 3由权方和不等式知_L +_l=f+二 之（+2）=9之3,a c a 4c a+4c a+4c1 2 1当且仅当一=一,即a=l,c=一时取等号，a 4c 2所以a c2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数 学（文科）（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准
25、考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 A =-2,-1,0,2,8=1川0,%0）的图像向左平移 个单位长度后得到曲线0若C关于y轴对称，则。的最小值是（）I 1cl 1A.-B.-
26、C.-D.一6 4 3 26,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）7.函数/（X）=（3 X-3 r）COSX在 区 间 三 方的图像大致为（）XA.1 B.-C.D.12 29.在长方体A B C。A4G。中，已知与。与平面A B C。和平面A&gB所成的角均为3 0,则（）A.A B =2 A D B.A B与 平 面 所 成 的 角 为3 0 C.A C =C 4 D.片。与 平 面 所 成 的 角 为4 5 1 0.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2 7r，侧面积分别为S甲 和S乙，体 积
27、 分 别 为 彩 和 忆 若 含=2,则 含=（）s乙%A.y/5 B.2 5/2 C./1 0 D.5 4x2 y2 11 1.已知椭圆c：-y +=1（。匕 0）的离心率为一，4，4 分别为C 的左、右顶点，Ba b 3为。的 上 顶 点.若 瓯 丽;=一1,则。的方程为（)2 2工+匕=13 2)2D.+/=121 2 .已知9 =1 0,Q=l（r=一9,贝 IJ （A.aOh B.ab 0 C.b a0 D.hOa二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2。分。1 3 .已知向量a =（加,3）,力=（1,根+1）.若。_ 1 _，贝！/%=.1 4 .设 点 M在直线2 x+
28、y 1=0上，点（3,0）和（0,1）均 在。M上，则。用 的 方程为1 5 .记双曲线C:二 一 与=1（。0 力 0）的离心率为e,写出满足条件“直线y =2 x 与 Ca b无公共点”的e的一个值.Q1 6 .已知 A 5 C 中，点。在边 BC 上，A A D B =1 2 0 ,AD =2,C D=2 B D .当 一 取 得A B最小值时，BD =.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7 .（1 2 分）甲、乙两城之间的长途客车均由A
29、和 8两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的50 0 个班次，得到下面列联表：（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有9 0%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？准点班次数未准点班次数A2 402 0B2 1 03 0n(a d-bc)2(a +b)(c +d)(a+c)(b+d)P(K.k)0.1 0 00.0 500.0 1 0k1 8.(1 2 分)2.7 0 63.8 416.6 3 5记S,为数列%的前项和.已知二、+=24+1.（1）证明：4 是等差数列；（2）若为，%，%成等
30、比数列，求S“的最小值.1 9.（1 2 分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面A 8 C。是边长为8 （单位：c m）的正方形，A E A B,FB C,4 6 0）,AH D A均为正三角形,且它们所在的平面都与平面A 8 C D垂直.（1）证明：防平面A 8 C D；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.2 0.（1 2 分）已知函数f（x）=xi-x,g（x）=x2+a,曲线y =/（x）在 点 处 的 切 线 也 是 曲 线y =g（x）的切线.（1）若 =1 ,求 4:（2）求a的取值范围.2 1.（1 2 分）设抛物线。：尸=2叱0）
31、的 焦点为凡点。（,0）,过尸的直线交C于M,N两点.当直 线 垂 直 于x轴时，|”目=3.（1）求C的方程：（2）设直线M ,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线M N,A3的倾斜角分别为a,p.当a-取得最大值时，求直线A B的方程.（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。2 2.选修4-4：坐标系与参数方程（1 0分）2+tX -在直角坐标系x O y中，曲线G的参数方程为彳 6 （f为参数），曲线。2的参数方程2 +sx=-为，6 （s为参数）._ y=-f s(i)写出G的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
32、建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为2 c o s 6 -s i n(9 =0,求G与G交点的直角坐标，及G与C 2交点的直角坐标.2 3 .选修4-5：不等式选讲(1 0分)已知a,),c均为正数，且 +从+4。2=3,证明：(1)a+b+2 c,3(2)若/?=2 c,则LL.3.a c2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)数学(文科)参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的
33、答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.D 1 0.C 1 1.B 1 2.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.313.#-0.7541 4 .(x-l)2+(y +l)2=51 5 .2(满足16 0)；(2)G，C1的 交 点 坐 标 为(1,2)，03，G的交点坐标为(-1-2).选修4-5：
34、不等式选讲23.(1)证明：由柯西不等式有/+匕2+(2(12+12+2)2(4+人+22,所以a+b+2c43,当且仅当。=匕=2。=1时，取等号，所以a+b+2c43；（2）证明：因为 b =2c,a 0,Z?0,c 0,由（1）得 a+2c =a+4 c 3 ,即0 -,。+4 c 3由权方和不等式知1 ,2（1 +2）2 =9 23,a c a 4c。+4 c a +4c1 9 1当且仅当一二 一,即a =l,c =不时取等号，a 4c 2L A所以a c2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数学(理科)(适用地区呐蒙古、吉林、黑龙江、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、山西、安
35、徽、江西、河南)注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上。2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对应题目的答案标号涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共1 2小 题，每 小 题5分，共6 0分.在 每 小 题 给 出 的 四 个
36、 选项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.设全集U=1,2,3,4,5 ,集合M满足电 加=1,3 ,贝！I()A.2 G M B.C.D.5定M2.已知z=l 2 i,且z+应+方=0,其中a,b为实数，则()A.a=,b =2 B.a=,b=2 C.a=,b=23.已知向量a,满足|a|=l,IW=6,|a 2M=3,则a-b=(D.a=-l,b =-2)A.-2 B.-1 C.1 D.24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 4 :4=1+_,a伪=1+匚，4 =
37、1 +-L j，依此类推，其中&eN*(Z=l,2,).则6 Z|4-/H-：-%a心()A.Z?,b5 B.b3 bs C.bh b2 D.b4Vb75.设F为抛物线C：V=4无的焦点，点A在C上，点5(3,0),若|A R|=|3尸贝=()A.2 B.2V2 C.3 D.3&6.执行下边的程序框图，输出的=()A.3 B.4 C.5 D.67.在正方体ABCDABCQI中，E,F分别为A B,B C的中点，则()A.平面g平面B.平 面 与 平 面4 8。C.平面4所 平面A|AC D.平面片 所 平面4 G。8.已知等比数列 4 的前3项和为1 6 8,4一%=4 2,则a =（）A.1
38、4 B.12 C.6 D.39 .已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其 高 为（）1 1 V3 72A.-B.-C.-D.-3 2 3 21 0.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P1,P2，P 3,且2 32 月0 记该棋手连胜两盘的概率为P,则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11.双曲线C的两个焦点为石，鸟，以C的实轴为直径的圆记为D,过 耳 作
39、。的切线与C3交于M,N两点，且c o s N 6 N g=1,则C的离心率为（）A旦-23B.一2V13C.-2D.叵212.已知函数/(x),g(x)的定义域均为 R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)/(x -4)=7.若22y=g（x）的图像关于直线尤=2对称，g（2）=4,则 工/伏）=（）k=A.-21B.22c.-23D.-24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3 .从甲、乙 等 5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为1 4 .过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.1 5
40、.记函数f(X)=8 S C)(,“兀)的最小正周期为匚若/(T)邛 X 弋为f(x)的零点，则co的最小值为.1 6 .己知 =尤 和 x =w 分别是函数/(%)=2 4一e x?(。0且a h 1 )的极小值点和极大值点.若不 马，则 a的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 6 0 分.1 7 .(1 2 分)记 Z X A B C 的内角 A,8,C 的对边分别为 a,4 c,已知 s i n C s i n(A-B)=s i n B s i
41、n(C -A).(1)证 明:2a 2=b1+c1；25(2)若a =5,c o s A =,求 Z V I B C 的周长.3 11 8 .(2 分)如图，四面体 ABCD 中，A D CD,A D =C D,Z A D B =Z B D C,E 为 AC 的中点.(1)证明：平面平面AC。；(2)设 4 5 =3。=2,/4。8 =6 0,点尸在3。上，当 A R T 的面积最小时，求 CF与平面A8O所成的角的正弦值.1 9 .(1 2 分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 1 0 棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位：n
42、?)和材积量(单位：n?),得到如下数据：10 10 10并计算得Z#=0.0 3 8,Zy；=16 15 8,=024 7 4 .i=l i=l i=l样本号，12345678910总和根部横截面积百0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量x0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.0 1）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部
43、横截面积总和为1 86m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.E U i-x X Z-y）附：相关系数r=e 猿,J 1.896 1.3 77.忙（七-幻 艺 日-歹）2V Z=1 1=2 0.（1 2 分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点.（1）求E的方程；（2）设过点尸（1,一2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段A B交于点 T,点 H 满 足 而=京.证明：直 线 过 定 点.2 1.（1 2 分）已知函数/（x）=ln（l +x）+a x e-，（1）当a =l时，求曲线y =/（x
44、）在点（0,/（0）处的切线方程；（2）若/（%）在区间（1,0）,（0,+，。）各恰有一个零点，求a的取值范围.（-）选考题，共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修4-4：坐标系与参数方程（1 0分）在直角坐标系X 0 V中，曲线C的参数方程为*=*c o s 2 f,c为参数）.以坐标原点为极y=2 s inr点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为p s in e+1 +m=0.（1）写出/的直角坐标方程;(2)若/与C有公共点，求m的取值范围.2 3.选修4-5：不等式选讲(1 0分)3 3 3已 知
45、b,c都是正数，且。鼻+鼻+西=1,证明:(1)abc -；9b(2)1-1-23炉+4一 2必，*、且无1%+尤 2y=4()JK 十 今联立y=y2,可得 T(孕+3,y),H(3 y+6-石,%).卜=铲 一 2 2可求得此时H N:y-y2=-好-U-x2),3y+6 玉一x2将(0,-2)，代入整理得 2(%+/)-6(y+%)+%+X-3y 必-12=0,将(*)代入，得 24A+12左 2 +9 6+48k-24k-4 8-48k+24k2-36k2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,-2).21.(1)/(X)的定义域为(-1,+8)Y当 a=1 时,/(x)=
46、ln(l+%)+,/(0)=0,所以切点为(0,0)e11 _ x/=-(0)=2,所以切线斜率为21 +x e所以曲线y=/(X)在点(0,/(0)处的切线方程为y=2X(2)/(x)=l n(l +x)+e/(%)=-+=,+。(1-巧1 +x e (1+x)e设 g(x)=e*+a(l-x2)若 a 0,当 x e (-1,0),g(x)=e +(l-x2)0,即 f x)0所以/(x)在(-1,0)上单调递增,/(x)0所以g(x)在(0,+刃)上单调递增所以g(x)g(0)=1 +a.0，即f x)0所以/(%)在(0,+刃)上单调递墙/(x)/(0)=0故/(x)在(0,+8)上没
47、有零点，不合题意3 若a 0,所以 g(x)在(0,+8)上单调递增g(0)=l +0所以存在m e (0,1),使得g(=0,即f m)=0当xe (0,，),/(x)0,/(x)单调递增所以当 x G(0,m),f(x)+o o,/(X)+00所以/(x)在(八+00)上有唯一零点又(0,m)没有零点，即/在(0,+8)上有唯一零点当 x w(-l,0),g(x)=e*+a(l-x 2)设 h(x)=g (x)-e*la xh(x)=er-0所以g(x)在(-1,0)单调递增,1 ,g(_ l)=_ +2a 0e所以存在n e (-1,0),使得g()=0当 x w(-1,r i),g (
48、x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1 +a 0e所以存在f e(-l,)，使得g =0,即r(t)=0当x e (-1,)f(x)单调递增，当x G(r,0),/(x)单调递减有 X f-1,/(x)f-o o而/(o)=0,所以当 x e0),f(x)0所以f(x)在(-1,0上有唯一零点,(，,0)上无零点即/(x)在(一1,0)上有唯一零点所 以 符 合 题 意所以若fM在区间(-1,0),(0,+c o)各恰有一个零点，求a的取值范围为(-o o,-l)(-)选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2
49、2.(1)因/：夕si n(6 +w)+机=0,所以3夕-0由6 +-/7.05 6 +/=0，,八又因为夕si n，=y,p-c o s(9 =x,所以化简为万？+事%+m=o ,整理得/的直角坐标方程：J i r+y+2m =0(2)联立/与C的方程，即将X=J 5C O S2E，y=2si n z代入V 3x+y+2/n =0 中，可得3c o s2，+2si n f+2机=0,所以 3(l-2si n 2 r)+2si n，+2 m=0,化简为-6 si n?，+2si n，+3+2m =0，要使/与C有公共点，则2m =6 si n，-2si n-3有解，令si n r =Q,则对称
50、轴为。=!，开口向上,6所以/3)s =/(T)=6 +：1 9所以一一 2 m 561 9m的取值范围为 m 0,3 3 3b (),c0,则 哀 0，愣 0，痴 0,1-二、(厂 b 3zi i 1即(q/?c)2-,所以a bc 0,b 0,c所以 Z?+c N 2y/bc，a +c 23所以出，b+c 2ybc 2a bcc 2,当且仅当即a =c =Q时取等号 0,a c，a +h 2ya b,33b-b b2 c ,c c2a +c 2y/a c 2a bc a +h 2a b 2ya bc3 3 3 3 3 3 +/?+(?+田+c，_ /+后+鹏 _ 1b+c a+c a+b