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1、高中 2022 级数学试题 第 1 页（共 4 页）20232024 学年度上期高中 2022 级九月调研考试数 学考试时间 120 分钟，满分 150 分2023.9.27注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一
2、、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在空间直角坐标系Oxyz中，点2,3,5关于Ozx平面的对称点的坐标为（）A2,3,5B2,3,5C5,3,2D5,3,22下列说法正确的是（）A各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C多面体至少有 5 个面D六棱柱有 6 条侧棱，6 个侧面，侧面均为平行四边形3设直线,l m，平面,，则下列条件能推出/的是（）A,lm，且/,/lmB,lm，且/lmC,lm，且/lmD/,/lm，且/lm4已知3,2，若直线:l ykx过点cos,c
3、os，则l的倾斜角为（）A4B34CD5利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 100 件产品，其中一等品有 20 件，合格品有 70 件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件 A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果错误的是（）A P B 710B0P AB C7100P BCD910P AB6已知点P是直线1l：50mxnymn和2l：2250,0nxmymnm nmnR的交点，点Q是圆C：2211xy上的动点，则PQ的最大值是（）A52 2B62 2C52 3D62 3#QQABZQAEogCgAgBAAQhCEwVACkIQkAACAIoGw
4、AAMIAAAwBNABAA=#四川省成都市2023-2024学年高二上学期九月校级联考调研考试数学试卷高中 2022 级数学试题 第 2 页（共 4 页）7已知10 xy，则22222222xyxyxy的最小值为（）A5B2 2C10D2 58直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有 10 个直径为 4 的小球，全部放进棱长为 a 的正四面体盒子中，则 a 的最小值为（）A64 6B84 6C44 6D54 6二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得 5
5、分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。9若直线l：20axya在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为（）A1B1C2D210我国古代数学名著九章算术第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”PABCD，PA 平面ABCD，PAABAD，EF、分别为棱PBPD、的中点，则下列选项正确的是（）A/EF平面ABCDBEF平面PACC平面PBD 平面AEFD平面AEF 平面PBC11已知向量,a b c 满足3,1,7,2ababcca.设,Rmtb t，则（）Amc的最小值为2Bmc的最小值为2 32Cmc的最大值为2 32Dmc无最大值12
6、三棱锥PABC的各顶点均在半径为 2 的球 O 表面上，2 2AP，2ABACBC，则（）A有且仅有 2 个点 P 满足APBCB有且仅有 2 个点 P 满足AP与BC所成角为60C2PB的最大值为84 3D22PBPC的最大值为168 3三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知直线:230l kxyk与曲线24yx有两个交点，则k的取值范围为.14一组数据12,nx xx的平均值为 3，方差为 1，记12332,32,32,32nxxxx的平均值为 a，方差为 b，则ab.15三棱锥PABC中，,PA PB PC两两垂直，6PAPBPC，点 M 为平面ABC内的动点
7、，且满足3PM，记直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为.16函数3sin()2cosxf xx的值域为.#QQABZQAEogCgAgBAAQhCEwVACkIQkAACAIoGwAAMIAAAwBNABAA=#高中 2022 级数学试题 第 3 页（共 4 页）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17圆C的圆心为2,0C，且过点33,22A.(1)求圆C的标准方程；(2)直线:10l kxy与圆C交,M N两点，且2MN，求k.18某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该
8、村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取 100 户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表：收入（千元）6,88,1010,1212,1414,1616,18频数151035201010(1)估计本村的贫困户的年收入的众数、第 75 百分位数；(2)用分层抽样的方法从这 100 户贫困户抽取 20 户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在6,8和8,10的贫困户中随机选取 2 户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在8,10千元的概率；19已知圆22:8O
9、xy，直线:80l xy(1)若圆 O 的弦 AB 恰好被点2,1P平分，求弦 AB 所在直线的方程；(2)点 Q 是直线 l 上的动点，过 Q 作圆 O 的两条切线，切点分别为 C，D，求直线 CD 经过的定点；(3)过点2,2M作两条相异的直线，分别与圆 O 相交于 E，F 两点，当直线 ME 与直线 MF 的斜率互为倒数时，求证：线段 EF 的中点 G 在直线yx上#QQABZQAEogCgAgBAAQhCEwVACkIQkAACAIoGwAAMIAAAwBNABAA=#高中 2022 级数学试题 第 4 页（共 4 页）20如图，在四棱锥PABCD中，,/,APABCD ADBC面90
10、BAD，12APABBCAD，点 E是线段PD中点.(1)求证：/CE平面PAB；(2)若14PFPD ，求二面角FACD的余弦值21圆22:1O xy，(0,1),(2,1)AP，过P直线l交圆O于,B C两点，且B在,P C之间.(1)记三角形 ABP 与三角形 ABC 的面积分别为1S与2S，求1221SSSS的取值范围;(2)若直线AB，AC分别交x轴于,M N两点，4MN，求直线l的方程.22我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形ABCD中，60BAD，将ABD沿BD翻折，使点 A 到点 P 处.E，F，G 分别为BD，PD，BC的中点，且FG是P
11、D与BC的公垂线.(1)证明：三棱锥PBCD为正四面体；(2)若点 M，N 分别在PE，BC上，且MN为PE与BC的公垂线.求PMME的值；记四面体BEMN的内切球半径为 r，证明：1112rEMBN.#QQABZQAEogCgAgBAAQhCEwVACkIQkAACAIoGwAAMIAAAwBNABAA=#学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 20232024 学年度上期高中 2022 级九月调研考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 2 3 4 5 6 7 8 B
12、 D B A C B D B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。9 10 11 12 AC ABD BD AC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。135312 4，1420 1530,3 162223,2+333 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）解：（1）设圆的半径为r，则223320122r=+=，故圆的标准方程为：()2221xy+=；（2）设圆心()2,0C到
13、直线:10l kxy+=的距离为d，则2211kdk+=+，由垂径定理得：2222MNdr+=，即222212121kk+=+，解得：1k=或17.18（12 分）解：（1）众数为10 12112+=；由于前三组的频率之和为0.150.100.350.60+=，前四组的频率之和为0.050.300.350.100.80+=学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 第 75 百分位数在第 4 组中，设第 75 百分位数为t，则有：120.750.6020.2t=，解得：13.5t=，即第 75 百分位数为 13.5；（2）由频数表及分层抽样可知在收入)6,8范围内抽取的户数为1
14、5203100=，在收入)8,10范围内抽取的户数10202100=，记年收入在)6,8的 3 名贫困户分别为 A，B，C，年收入在)8,10的 2 名贫困户分别为a，b，则从中随机抽取 2 户的所有可能结果为：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共 10 种，其中抽到至少有一名在)8,10的贫困户的可能结果：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab有7 种，故年收入在)8,10的贫困户至少有 1 人被抽到的概率：710P=.19（12 分）解：（1）12OPk=，2ABk=，():122AB yx=，即：弦 AB所在直线的方程为250 xy+=（2）直线 l与圆 O 相
15、离，令(),8Q t t，线段 OQ中点8,22t tK，O，C，Q，D 四点位于圆()22:80K xytxty+=上，CD 是圆 O与圆 K的相交弦，故():880CD txty+=即()880t xyy+=，由0 xy+=且880y+=得直线 CD经过定点1,1（3）点 M在圆 O上，ME，MF 是斜率互为倒数的两条互异直线，设():22ME yk x=+，代入228xy+=，整理得()()222214444840kxkkxkk+=，2248421Ekkxk=+，222421Ekkxk=+，222421Ekkyk+=+，2222242242111Fkkkkxkk=+，222421Fkky
16、k+=+，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 2421EFGxxkxk+=+，2421EFGyykyk+=+，故线段 EF的中点 G 在直线yx=上 20（12 分）解：（1）取PA的中点Q，连接,EQ BQ，因为E是线段PD中点，所以/EQAD，12EQAD=，因为/ADBC，12BCAD=，所以/EQBC，EQBC=，所以四边形EQBC为平行四边形，所以/CEBQ，因为CE 平面PAB，BQ 平面PAB，所以/CE平面PAB；（2）因为AP平面,ABCD AD AB 平面ABCD，所以,APAB APAD，因为90BAD=，所以ABAD，所以,AB AD AP两两垂
17、直，故以A为原点，,AB AD AP所在的直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，因为12APABBCAD=，14PFPD=，不妨设1AP=，则1 3(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1),0,2 4ACDPF，所以1 30,(1,1,0)2 4AFAC=，设平面FAC的法向量为(,)mx y z=，则130240m AFyzm ACxy=+=+=，令2z=，则3,3yx=，故()3,3,2m=，因为AP平面ACD，所以平面ACD的一个法向量为(0,0,1)AP=，所以222cos,11994AP mAP mAP m=+，结合图形可知二面角FACD的平面角为锐
18、角，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 所以二面角FACD的余弦值为2211.21（12 分）解：（1）若A到直线l距离为0d，则1211|,|22Sd PB Sd BC=，故12|SPBtSBC=，根据圆的对称性，讨论直线l从一条切线位置旋转为一条过圆心O直线的过程中，|PB从2逐渐变小为51，对应|BC从 0 逐渐变大为2，所以51,)2t+，故12211122SSttSStt+=+=，仅当1t=时等号成立，结合对勾函数1ytt=+在51,1)2上递减，在(1,)+上递增，则值域2,)y+，所以1221SSSS+的取值范围为2,)+.（2）直线l的斜率一定存在且不为
19、 0，设:(1)2l xk y=，如下图示，令1122(,),(,)C x yB xy且12xx，211yy，易知22:(1)1xAB xyy=，11:(1)1xAC xyy=，所以221Mxxy=，111Nxxy=，结合图知：1212411xyyMxN=，所以12211212222()11(1)(1)4kykkykyyyyyy=，故211212()12yyy yyy=+，联立:(1)2l xk y=，圆22:1O xy+=，消去x整理得：222(1)2(2)430kyk kykk+=，则22224(2)4(1)(43)0kkkkk=+，即430k+，故34k ，且1222(2)1k kyyk
20、+=+，2122431kky yk+=+，则22112122243()41kyyyyy yk=+=+，综上，4341k=，可得19434k=，故19:4110lxy+=.学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 22（12 分）解：（1）连接,PG DG，因为菱形ABCD中，60BAD=，所以BCD和PBD为等边三角形，因为G是BC中点，所以DGBC，因为FG是PD与BC的公垂线，所以FGBC，因为DGFGG=，且,DG FG 平面PDG，所以BC平面PDG，因为PG 平面PDG，所以BCPG，由三线合一得PBPC=，又PDPBBDCDBC=，所以三棱锥PBCD为正四面体，（
21、2）不妨设2PB=，则2PC=，3PEEC=，由余弦定理得2223341cos232 33PEECPCPECPE EC+=，设,PMPE BNBC=，所以()()()11MNMPPBBNEPEBEPECEBEBECEP=+=+=+，因为0,0,cos1EB ECEB EPEC EPECEPPEC=，所以()()11MN EPEBECEPEP=+()()11EB EPEC EPEP EP=+()310=+=，故33+=，其中1cos1201 212EB BCEBBC=，3cos303232EC BCECBC=，()2 2cos12032cos150231EP BCCPCEBCCP BCCE BC=+=，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6()()11MN BCEBECEPBC=+()()11EB BCEC BCEP BC=+()()131420=+=+=即3342+=+=，解得1011311=，故10PMME=；取CD中点Q，令MEQ=，则E到平面MBN的距离为sindME=，11sin66E MBNVME BN MNME BN MN=，()MNEMNBBMEBNESSSSSMN MEMN BNMNMEBN=+=+，所以()1163ME BN MNMNMEBN r+，即1112rMEBN+.