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1、2023年陕西省汉中市统招专升本高数自考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题(20题)1.已知函数之=/(,，y)的全微分dz = 2/d.?T sinydy,则4=()oxd y (i .2)A. - 1B.OC. 1D. 2已知曲面z = A 的坐标是A.（l 一12）2./一 V上点p处的切平面平行于平面2? + 2了 +之一1 = 0,则点P（ ）D. (1, 一 1.2)下列级数绝对收敛的是A. 2；(一1)”3V?O0B.X(T)”募1=乙d. 1)1, -，1/2n2 1已知 /Q )可导./(0) =。,则 /(0)=()A. lim /37B. lim一八。)
2、八1./(2r) /(0)n 1- f(O) /(i )C. lim L). hm ：i7a”5.D 为圆域+ v3 ，3 Z? ki解/ = 5则/(i)= 丁 ,故应选A.9 .A1,10 .A【精析】ttf10 -A (.)/ i n-ITTTTF-y =7TT7FLR =-1)应选A.11 .A答案A【精析】 /匚、 1级数上是9=2的级数,收敛故由比较审敛法可知 （十 1）1V犷级数已 （；1）收敛乂“（； 1）= .: 1 故S = 1+ 1 = 1 1 1故 limS” = lim（ 1 1） = Ln n十 1十 1 一 ”一 十 112.D精析lim/+ 一八1 一 = li
3、m /(1+)T + lim /)=.t-*02、x-*0JCjt-*O-Z*2/(1) = 1,故 /( 1 ) =J答案B【精析】由题意可知arcsinfdr = C（ C为活数）,13.B则d arcsin/d/ =芈=。d.rJ 磋dx14.B答案B【精析】奇函数在对称区间上的积分为零.选项A.CJ）中三个被积函数均为奇 函数故积分结果均为0.选项B中J sinQ -F y ）Lr = | cosjcLz-= situ =2sinl9使V (%0)= v2(o 且 Vl0 ) = 乂(h)，y* = Ino 即j 1解得4 =代回方程组得=J.2皿=L19 .D1。20 .D答案D2
4、5 一 一 3【精析】 由题可知AX= 3 1,则(A ： B - /)=1 3 ： 1 -210 ； 11fl =(I : X)，X =.0 1 : 0 - 10 - 1721./(、/)答案”(/)【精析】4( - -产)出=-vT-f - r )d(P - r ) 4 (1 4rj n=-y /( T2 ) 2lJ=uf / ( J-2 ) 22.01.50ri1.3【精析】P(X & 1.5) = | /(jr)dx = Od.r + | icLr +(2 x)djJ - 8 8J 0J )=0.5 + 0.375=0. 875.v = / 1【精析】 由y = 力+ 1,3, e R
5、可得,y = .r + 1 -.r = y 一 1 故反函数为了 = 1 工6 R.3=1- 3cosw, w G 0，n答案y = 1 3cosn G 0,兀【精析】y= arccos 1,值域为0-,则 1 ,J= cosy,x = 1 3cosy,交换 x.y的Jo位置可得反函数为y = 1 3cos之，工G 0,汇Tf2 r V2y-/dy / (a,y)ch + dvf(x,)ir【精析】 由+得区域D,如图.D由W=y2y-)2+ M = 1及I=0围成属于丫-型区域,需分两块小和R，故/(ay) clr.26.xer答案H彳9【精析】 令彳 + 1 = /，则彳=，+ cLr =
6、 J / (z)d/ = (/ 1 )ez + C, 等式两边对t求导得/(r) = ze，即/(/) = /el27.【精析】= T -= y S = S 击工 G(-3.3).C C 1 _ _.-n=0 ”=0 328.r 13 qT-【精析】 令2I 1 = /.级数化为Z.这是不缺项的标准幕级数.收敛半径 R =lim = limT“十白 十| = ，FT-a8 Cl1r4-18 fl| 4J/ 一OCOC当，=土;时.级数化为 Tri或 与三?都是收敛的.-=o t4“=。n十 4OO故轼级数的收敛域为一；二， 十4L -9R- 1所以原级数、滔尸的收敛域为代，:.29.答案-1【
7、精析】 方程两边对I求导得coskv y+ 8v+ vz = 0 ,解得v=-；cos v -r .re故所求曲线=v()在点(0,0)处的切线斜率为=-1.(uai)30.xT【精析】AB = E，则 | A I I B 1 = 1 E |,即 4 | 3 | = 1.故 | B | = 431.N【精析】 当 时，/ - sini -* oo.r + sin.r-*oo,(R lim ,上 叩.1, = lim C(r + simr) -但 1 + cos.r的极限不存在，不能用洛必达法则,但该极限存在正确的做法为1 sinj, . 1 -r J S1D21.JT,lim ；_： = ii
8、m: = L-8 1 + sini I + siru32.N【精析】 因为N= 1 ,所以x= Iny,函数/(H)=e与/ Q ) = Irur互为反函数,图像关于y =对称.33.Y【精析】 当 1 f 2 时 1 2 f 0 Jim +Q= 4 则lim(or + 6 - 4) = 2+力一4 l2 T - Z1-2=0 即 =4 2a ,所以lim山十4 = lim纣+ 尸 =lim=。= =4 ,所以。=一 4. x-*2 X LJ- -2X LrT X L34.N答案x【精析】lim / (x) = lim 3c = 3 Jim f (.r) = lim (arctanei + )
9、= c a ,/(0)= 3,r -ot -J,r -J ,r a /由 /(r)在1=。处连续可得= lim/( j) = f(0),因此 a = 3 e.【精析】由数列收敛的性质可得.wz JL36.N答案X而(/(x0 )z = 0,因此 )【精析】/1）= lim /3-八工,） .a.r （/（4）.【精析】V = arctan（/ 1）的值域是（一今,名），没有最大值.38.Y答案U【精析】1 ff1M1.乙(.)E =-(TT7F =?TT7F.7=（-1）(n 1)!(1 +“/39.Y答案7【精析】 因为/Q）在-1.门上连续.在（一1.1）内可导.且八一1）= /（ 1）=
10、 1,所以 /J）在- 1.门上满足罗尔中值定理.40.N【精析】 因为 lim （亡匕2+）= Iim（l+a） + 21 = 2,所以 a + 1 =0,即 =一 L Nflft-*3，【精析】 设高为人则底面半径r = /20J-hV=n产力=-（400 -/）/i.Vz= 一评】2 .令 = 0 得力=20/20j/3 0 - 1 a 3 - 2h0 - 1321。-10 - 11【精析】线性方程组的增广矩阵为01b一 11 1 1 10 1 0- 1-0 12210 1220 0 a0+ 10 0 a 100 00 a 100 00 d一1+ 1o(a1 。(u1 ,由于方程组有无穷
11、多解，故/n1) + 1 = 0 = - 1，即 =,/；=- 1时方程组有无穷多解.由此可得同解方程组为17 令心=心q=&，则原方程组通解为、Q + 213 + 2- = 1 46.【证明】 因为人才）在0c上满足拉格朗日中值定理的条件.故存在3 6 （Ou） 使/(.) =/()-/ + Uf(T) - f(- x) 乙乙而/(“)一/(一”)是奇函数=/(”)+ /(一力是偶函数,故 J/(x)d.r =0.所以.= 2,+ f(-工)dl=J f(x) + /( x)_d.rf (jr)djf(j-)dr + I /(/)d.r.而1/(j-)dxP /-0(- DdZJ 4J .f
12、( f)山= o jr)dr, o故 y(jr)dx = f /(x) /( r)Jdjr, J aJ C:COSX 1= F F_CO3_ + COS(- 3T 1 + 0rg = Jq 1 -e-N 1 + e，,cosjrdar = sinx=e_ T48.【精析】/(r) = (./) = 2r,则切线斜率k = 2.r= 4,故切线方程为, 4 =r-24 (、r 2),即 v = 4、r 4.联立二：；nV =+ 4H所以s一父2 + 4才(4 4)cLr = 2 ( x1+ 4)dz- = W11.级数X / 的前项部分和s“满足limS. = （i）一A. 1B. gI). 0
13、12.已知 /(.r)可导,且liM +)一/ 一)=1,则 /(I)=()x*0、TA. 2B. 1C.OD. y13.导数g f arcsin/d/ = ax J aA, arcsineB.OC. arcsin6 - arcsint/D.1/ jc114.下列等式不成立的是ln( + I? x) cLr = 0(3, -3-, )cLr = 0I).*Lsin(T + -y )c!t = 0Jarctanjd.r = 015.已知 /(、r)d、r = 1 + C,则 “(1./)&=A. (1 jc1 )3 + CB. - -1-( 1 jr )J乙C. -y(l -+ CD. 一4(I
14、 - M 尸 + C16.曲线)，=M与J = r围成的平面图形绕 ) 轴旋转一周生成的立体体积为c-y17.B. arctan + arctanj = CD. arcsiny + arcsin.r = C微分方程，=、一的通解为 5/1-3A. arctany - arctanj = CC. arcsiny a resin j = C18.若函数/（X）=在=o处连续,则常数应满足B. a bC. ab19.已知曲线V = or2与y =In J相切则a =A. e2C2eD.；Ze人则x20.3)- =1 11、B.I).1、1 -2二、填空题（10题）设/ 21.=arctan.N ,贝
15、I W tfjcz t )d/d.rJ o已知连续型随机变量X的概率密度为（）二 1 之？ 1 */ (1)=2 4 , 1 V / W 2 ,22.0. 其他.则 P(X w L5)=函数了 =，7不丁的反函数为 23.24函数,= arcm，F的反函数是交换二次积分/= 乙。1 dro ,fl4-J1，/Q”)dy的次序后，则/ =已知 /(1 + 1) di =26.)+C,贝IJ仆)27 .函数告在(一？”)内展开成才的寨级数是2”，(2a1尸的收敛域为8哥级数28 .29.=0所确定的曲线、y = y(.r)在点所0)的切线斜率为设A,3为三阶方阵.| A |= 4,AB = E则|
16、 B | =K-/ 三、判断题(10题)r x- siru i- 1 cos.r 1lim ；： = lim -； = L31工+ sina1 + cos.zA 不 B 日函数/(x) = e”与/Cr) = In/的图形是关于原点对称的. 32.若lim 十： 1 = 4 ,则 = 4=一九1.1 iA.否 B.是3e，z 0A.否B.是linu” = a当且仅当 limaz = limi2Hl = a.& .8H-8834. A.否 B.是导数值，Q、0)=(/(0)A.否B.是函数y = arctan( 1)的最大值是亨.35. 一 A.否 B.是设 y=,则 了=(I)1 *匚弋.()
17、(1 + .r)A.否B.是在区间一1.1上.函数/(工)=J 满足罗尔中值定理.()乙厂一1A.否B.是40.n2 + 2/1+ ) = 2 ,则 a1.A.否B.是四、计算题（5题）求不定积分21cLr.41. 、要做一个圆锥形的漏斗其母线长20 cm,要使其体积为最大，问其高应为多少?计算皿心力.其中D是由丁 =,n = 0,），=1围成的平面区域. & y44.计算定积分J； cos V7dx门+ 12 +四+箝=0.工$ + 2、门 + 24 = 1.已知线性方程组J：当为何值时方程组有无穷多个解.一+（。- 3 ）、门2、r=小，35 + 2xt+、门 + ax a = 1,并求出
18、其通解.五、证明题（2题）设函数/（l）在0,1上连续9在（0.1）内二阶可导9过点A（o9八0）与坎1 J（D） 的直线与曲线y = /Cr）相交于点CG /（，）.其中0V（ VI，证明:在（0,1）内至少存在一点 使得/（）=0.47.设/（8在，上连续（”0,为常数）,证明：/（I）心=1）+/（-r）&r，并计算:co&r j . J-于 1 + e六、应用题（5题）求/（a） = f在点（2,4）处的切线与y =一12 +4.r所围图形面积.求由曲线y = / -2、r + 9与该曲线过原点的两条切线所围成图形的面积.某家银行准备新设某种定期存款业务.假设存款量与利率成正比,经预测
19、与存款量相 同的贷款投资的收益率为16%.假定客户所有存款全部贷;I；.那么存款利率定为多少时.银行 能获得最大利润？统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 升）关于行驶速度 /（km/h）的函数解析式可以表示为：），=T1-r + 8（0x 120）.已知甲、乙两地1ZqOOO oO相距10（） km.当多汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？某商店按批发价3元购进一批商品.若零售价定为每件5元.估计可售出100件.若每 件售价降低。2元则可多售出20件,请问该店应批发进多少件商品且每件售价为多少时才 可获得最大利润，最大利润是多少？参考答案答案B【精析
20、】由全微分定义知勺=2M整=siny.故普 =0.所以普I = 0.cfxy I（1.2）2.C【精析】 令F（之,丁，之）=之一4 +、/ +/.匕=2T,丫 = 2y.Fz= 1.设点P的坐标 为（。.%9%）9则在P处的切平面的法向量可取为n= （21,29.1）.由平行关系可得冬=堂=；,从而=% = 1，代人曲面方程得之。=2,故选C. 乙二JL3.B答案J B【精析】 由”级数的性质得巨冻发散，故A条件收敛.如 晶与二守#0,lim= 4W0,故C、D发散，故选B.J24.A答案1 A【精析】 /（o）= lim 0 + a /=lim /3y.故应选A. ai 一“上一n5.B【精析!-dxdy = dj| -rdr1 1 + 14 + o Jo 1 + 广3 I 1=2!吃水1+产）=n ln（l + r2） 0=7tInlO.6 .A答案A【精析】区域D的面积为1 X 1 X =.又在区域D上的0（1+ ” * ）7 b【精析】/X（ ） /幺（）.故应选B.