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1、飞飞b斗斗圄2023-2024学年度上学期高三年级一调专试数学本试卷分第I卷（选择题）和第E卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合xl-32x-l3,xZ=A.(1,2B.1,2C.0,1,2 D.2,1,0,1,2 2.已知fm2B.In fo1 1 D一一b c.“bb”；5.如阁，在平行四边形ABCD中，M为BC中点，AC与MD相交于点P，若AP=xAB+yAD，则x+y=A.1c.tB.1D.26.己知为第三象限角，sin(2 0
2、19一）一壶，则 sin 2cos2 1=3 4./5+13 r=-./5 13 B.-J2C.?D.V】4.9 7.己知f(x)=x2十lx+ll，不等式f(x）二三（m+2)xl恒成立，则实数m的取值范围是A.32Jz,OJB.3 2Jz,3+2Jz C.-2Jz-1,2Jz-1D.-4,2J2-18已知在等差数列a，中，向号，设函数f(x)（时亏一2)sinx+cos 2x+2，记ff(a，），则数列y，的前 9项和为A.0C.16D.18B.10高三调数学第1页（共4页）偏刚叫叫中V天同富考二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
3、选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知复数Z,Z1，句，言是 z 的共辄复数，则下列说法正确的是A.z z=I z I 2 s.若lzl=l，则z土1c.I Z I Z 2 I=I Z I I I Z 2 I D.若lz-ll=l，贝ljlz十11的最小值为110.已知G是LABC的重心，AB=2,AC=4，CAB=l20。，P是LABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是祖，一，一善，”，A.GA+GB+cc=O B.AC在AB方向上的投影向量等于ABC.GAGB=f 为值最的P 一户u P B PAD11.已知函数f(x)=2sin(wx叩）CwO，叫别的图象的一条对称轴
4、为直线工二号，I(f）巧，且f(x）在区间（？，？）上单调递减，贝lj下列说法正确的是A点（一言，怕只x）的一个对称中心C.f(x）在区叫一言，o）上单调递增12.若 Lbl，且ab=e2，则A.2e十be2+1B.Oln a In blC.2Jz-1:s二In a十logb2D.a lnb的最大值为e第E卷（非选择题共90分）B._14一一5 D.J(-i)一1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知平面向量（2，的，b=(3,1)，若).b与b垂直，则实数）.，14.已知工巾，zR,xz+yz十z2=2，则x+2y+2z的最大值为一一一一一15.已知关于工的方程x221
5、x I十a=O有4个不同的实数解，则实数的取值范围是16.已知正项数列问，的前项和l妇”若叫l队log2寺，数列b 的前11项和为丁”，则下列结论正确的是一一一一一乱，1；s是等差数列；S，e.r,;I；满足T，二三3的n的最小正整数为10.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分）已知等差数列，）的前n项和为S，且满足13向15,57=49.(1）求，的通项公式；(2）若数列bl/满足仇，.3”，求bl/的前11项和T.高三一调数学第2页（共4页）一卷一一同一一由ifE 18.C 12分）(1）如图，在LABC中，AD为BC边上的高正2币，B
6、AC=f,AB=3,AC=2,求AE CE的值；3(2）如图，半径为1，圆心角为的圆弧AB上有一点C，若D,E分别为线段OA,OB2 的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE DE的取值范围A B cD 19.02分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边 与单位圆的交点为A，圆C：工2十y2=3与工轴正半轴的交点是Po.若圆C上一动点从Po开始，以rad/s的角速度逆时针做圆周运动，t秒后到达点P.设f(t)=IAP 12.（呻？且t川），求函数f(t）的单调递增区间；若J(t)=2号伊子，求J(t).y P0 x 2 0.(12分）某城市受空气污染影响严重，现欲在该城市中心P的两侧建造A,
7、B两个空气净化站（如图，A,P,B三点共线），A,B两站对该城市的净化度分别为，1-a，其中（0,1).已知对该城市总净化效果为A,B两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，3 与中心P歪lj净化站 之间的距离成反比现已知AB=l，且当AP一时，A站对该城市的净化4 效果为号，B站对该城市的净化效果为1a.画画虱高三一调数学第3页（共4页）A P B(1）设AP=x,x（0,1），求A,B两站对该城市的总净化效果y;（闭论A,B两站建在何处，若要求A,B两站对该城市的总净化效果至少达到3，求的取值范围21.(12分）如图，已知在平面四边形ABCD中，AB_I_AD,BC J_
8、 CD.在LABC中，内角A,B,C的对边分别知，b刊，且在bcos(f-c）二J3ccos k25叫二J3瓦.oc;tan A+tan C+/3=/3 tan A tan C这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并回答下列问题(1）求B;(3（若BD=2，求D.ACD周长的取值范围，偏刚叫叫中VB。c22.02分）G什1+a,+2已知数列，满足1=0，且二一2数列b满足b二b，的前I a,a,+1+a，十I a,+1 项和为S,.(1）判断数列bl/是否为等差数列，并求a，的通项公式；(2）设数列去的前71项和为T，证明：T,f.高三一调数学第4页（共4页）数学参考答案及解析份川恻闲聊重
9、吾雪景皮帽而圄2023-2024学年度上学期高三年级一调考试数学一、选择题1.c 解析】由32x一l运3，可得一l工运2，又zZ，所以集合xi32x l：三3,xEZ=0,1.2).2.A 解析】m(3+i)(2 i)=3m 2+(m+u i，因为fm0,m+l叫以复数m(3+i)(2 i）在复平面内对应的点。m2,m+l)位于第一象限一善，一祖，f AB AC飞一3.C【解析】因为l一，；十一，；J.C=O，所以内飞I AB I I AC I I 角A的角平分线与BC垂直，所以AB=AC，因为一”一，AB AC J3 cos A一；：.一；：丁，所以A丁，则LiABCI AB I I ACI
10、 l O 是底边和腰不相等的等腰三角形4.A【解析】由e-2，可得e-l，bo,ab,故e 2是“b的一个充分条件，故A正确；由ln-f;-o，可得-f;-1，不妨取。2,b一1，推不出b，故B错误；b，不妨取2,b=-j，满足L1 1 a工ti一1，推不H-ab，故仁错误；一；，o 1 1 不妨取2,b=l，满足一丁一，推不出b，故Da o 错误5.B【解析】因为在平行四边形ABCD中，M为BC中n+l m+l Cm+Dx+2，对称轴为直线 工2一，当2一-1，即m3时，g（川在区间1，）上单调递增，所以g(x)m;n=g(l)=m+4，所以只要m+4Om十1即可，解得m二三4，所以4m3.
11、当2一fm+l Cm+D2 Ll:lP m 3时，g(x)nnn=g(Z=4一(111+1)2(111+1)2(111+1)2 一2一一十2=一4一一2，所以只要一；一一十LL 2二三0即可，解得一1-2./2m2./2-1，所以3m2J言1.所以当x二三1时，4m二2./21.当工1时，f(x)=x2工1，所以tx lCm+2)x 1，解得工王三m+3，所以只要m+3二三l 即可，解得m注4.字上，4m2./2-1.8.D 解析】因为f(x)=(4cos2号2)sin x+cos 2x+2=2cos xsin x+cos 2x+2=sin 2工cos 2工十2=fl SI巾x+f)+2，由2
12、x+f=krrCkEZ），得x=王（k Z）.当k=l日寸，.r生，故函数fC.r）的图2 8 象关于点（号，2）对称，由等差中项的性质可得l十向2+as=a31向十a6=2句，所以数列y,的前9项和为JC，）f（2J(a9)=44+AD AP:f(a5)=l8.点，AC与MD相交于点P，所=2，所以iCM PC i二、选择题一2一2一一一一一.i 9.ACD【解析】设z=a+bi(a,bR），则z.z=cbi).AP=-AC一（AB+AD）.又AP=xAB+yAD,3 3 所以x=y=f,x+y=+.6.A附】因为sin(2 01911:a)=子，所以m子又因为为第三象限角，所以？，所以si
13、n 2a+cos2 1=2sin cos cos21=2（与）（一）（一)2+l哼旦7.D 解析】当x+l0，即x二三一1时，J(x)=x2+（bi)=a2+b2=I z尸，故A正确；令z=i，满足lz l=Iii=l，故B错误；设z1=a+bi（，bER),z2=c+di(c,cl ER），贝lj Z1Z2=(a十 bi)Cc 十 di)=ac bd十(ad+be)i，所以lz1z2I=./(ac-bd)2十（ad十bc)2=./(ac)2十（xi)2+(ad)2十ctx)2=R石z.J;i号严lz,I lz2 I，故C正确；设 zbi（，bR），贝llz-11=I一1+bi I=./ea-
14、n2十b2=l，即（a-1)2+b2=1，表示以（1,0）为圆心，1 为半径的圆，lz十1 I=./Ca+D2十b2表示囚上的点到点（1,0）的距离，故lz+ll的最小值为1，故D正确工1，所以f(x）Cm+2）工一l，即x2十x+lCm+i 10.ACD【解析】对于A，当点G为LiABC的重心时，2)x 1，即x2(m+nx+2二三0，令g(x)=x2!如图所示，设BC中 点为0，连接co并延长至点D,1 高三一调使得GO=OD，连接BD,CD,A B c D 易得四边形 B四万为平行四边形，根据重心性质可得一”一部叠，一莓一部祖 兽，AG=2GO，贝OGA+GB+GC=GA+GD=GA+_
15、.善”2GO=O，所以A正确；对于B，问为AC在AB方向_.,I 1、上的投影为I ACI c创山。4（一言）2，所以”，AC在AB方向上的投影向盐为BA，所以B错误；对一1 于C,I词为G是MBC的重心，所以GB=-t(BA否一CBA十BA十忘-1.(2AB-AC),AG 亏AB+AC），所以GBAG=士2AB-AC)AB芫）=t（注2石无一定2)士阳4（一）16=-1-，所以GB.ZA士，所以C正确；对于D.a图，取BC的巾点为D，连接AD,PD,PA，取AD巾点M,_.,.：”，乓”1一连接PM，则PA+PD=2PM,AD言（AB+AC),一.,，.1 AD2言AB2十2AB AC+AC
16、2)=t（4-8+”一”一”16)=3，则AP(BP十CP)=PA CPB+PC)=2瓦而2士（瓦苟)2一（瓦一而斗-+-1.，。2PM2一言DA2=2PM2一言显然当P,M重合时，一一”一”一一，。PM2=0,AP BP+CP）取得最小值一言，所以D正确衡中同卷T 2 以言2+2krr(kZ)，且石二三言4=12 I飞，可得T注，所以ow，因为（王）13,12 6 5 4 I 所以s叫主十）主且主和些在同个单调递飞4t I 24 3 l.,.减区间，所以工亏2krr（眨Z)，两55 式相减可得，所以w=2，所以十2k12 6（走叨，因为o，所以伊？，所以2sin(2x王）对于A，由！.！2王
17、 krr(k飞6I 12 6 Z），可得走1，所以点l!.!_,O）：是f（川的一个对飞12I 称中心，故选项A正确；对于B,w=2，故选项B不正确l；对于C，令王2阳2x王王2krr(k E6 2 Z），得？十krr工号krr(k臼），所以f(x）在区间一王，01上单调递增，在区间（一王lL 3 J飞123I单调递k，故i切I C不正确；对于0,/(-f)=n(互主）=2s叫？）1，故选项D3 6 正确12.ABO（解析】对于A，因为G十b。十立在1e时单调递减，在eae2时单调递增，所以2ebe2+1，选项A正确；对于 B，因为ab 巴2，所以t In o十In b 2In a+ln b=
18、2，所以oIna In bl一）1，当且仅当b=e时，等号成立，选项B正确；对于In b 2 In a C,ln log,b=ln 十，：一Ina？一Ina+ma m 1，设t=lna，所以伊（t)=t子一1在Ot.ff.时单调递减，在jzt0,有两个正根，即才工l十x2=1-o，解得OaO,当手0时，且x0,才X1十工2=主o，解得oL由可知，I a lx1.:i2=lO,实数。的取值范围是a IOal.16.【解析】刘为2a,S,=1叫，当n=l时，2日1S1=l叫，解得S1=l，当二三2时，S,S,-1，所以2（丘，二S，一1)S,=l+C丘，二S,-1)2，整理得S;,S:.-1=l，
19、所以数列S；，是首项为Sf=1，公差为l的等差 数列，故 正确.S;,=l+(n-1）l=，又正项数列J的前 项和为乱，所以S,=J;,当n=l时，S】l，当阿三：2时，a,=S，一轧斗，目Ja,=J;,;=-f，又当n=l时，满足勾J,;J卢T，所以a=,/;J严I斗1rn.；，；丁Ta,+1=J,；丰I-J;=1，网为;+I+J：丰I+rnrn rn =I,所以J;+T+v 1，即a,+1乱，故不正确；令J(x)=rn=r e x lCx二三O),f(x)=e1，当z二三0时，e1二三0恒成立，所以J（川在区间O,）上单调递增，所以f（工）二三f(O)=O,l!I)ex X 1二三O(x二
20、三0），所以c工1在zEo，）上恒成立，令 x=rnlCn二孔，nN），所以e./;-1二：，；，又 S,=!n，故S，6月 l，故正确；对于，因为 丘，Ji了，所以s 12./._j_9 S,+2疗霄，所以仇，l啦专l唱亏二21 n+Z 1,.log2 l-;-)log2丁；=2 llog2(11+2）一log2n，所以T,=bi十b2十b2十b,l十b,=+log23 log2 l+log24 log22+log25 log23+参考答案及解析lo段（1)log2(n 1)+lo段（2)lo段n=tc 1十啦。1十1)十l啦。1+2)士1十l唱（n+DCn+Z），因为 T，二月，自11_!
21、_ -1+log2（l)(n+2 2）二月，化简整理得，i2十311126二三0，当11=9时，92+39-126=-180，所以满足T，二习的町的最小正整数为 10，故 正确四、解答题17.解：(1）因为G1向5=15,51=49,(3a,+6d=l5,所以l.所以a=l,d=2,l7a1+2ld=49,所以“”l+Cn1)2=211 1.(2）由题意可知b,=(211-1)3(2分）(4分）所以T，l3+332+533 (2n 1）3”，3T”l32+333十53十（2n1)3忖 l，(6分）一得，2T,=13十232十233十23十十23”(211一Llf俨飞。！232一23”，I-:f
22、(Zn 1)了1-1 3=(2n+2）3”1 6,故T，（1)3”1十3.18.解：(1）因为A=2D,一祷。一一1一，所以AE亏AD.ED亏AD,(8分）(10分）所以A CE=AE (CD十DE)=AE CD十一，一千”一：如今一，AE DE=AE DE一亏IADl2,又L.BAC=f,AB=3,AC=2,故由余弦定理可得(2分）BC2=AB2+AC2 2AB ACcosL.BAC=7,则BC斤，3.;1 叉S户.，.一23sin一千二，山2 3 2 3,写所以言5AD古之，？1所以AD尹(5分）一一.2一2921 所以AE CE一一IAD12 一一一一6 7.9 77(6分）(2）以0为
23、原点，OA为z轴，OB反方向为y轴，建立 3 高三一调平面直角坐标系，如图所示，则o（。）,E(O,-t),设C(cos tl,sin川o)f,则在（c叫DE（，一妇，山叫？）旧布对于）=4 212.故！（-t)=4 212.衡中同卷(12分）一一.，.1 1.1 J2.I 20.解：(l）设A站对P城市的净化效果为y，比例系数所以CE DE=+sm ti+cos e=sm(ti十4 2 2 2飞？）士，因为0Io1主J,WJ王0十王空，L2 I 4 4 4 所以剖巾？）-1,l一，J21 J2 l 所以CE DE巳一言言4Jy A x B 19.解：由已知条件和三角函数的定义，可知A(cos
24、伊，sin抖，P(/3 cos rrt,/3 sin时，(8分）oo分）(12分）所以J(t)=IAP l2=Ccos.f3 cor叫半（smpf3sint)2=4-2/3 cos(rrt一）（呻伊？，则f(t)=42再叫tf),(2分）令2krrt-f2走rr+rr,k巳Z,解得2k卡t,:;_2k+1-，眨Z,Y.t EC川，所以函数阳的单调递增区间为，？(6分）若I（）=4 2/3c叫fp)=2,可得叫因为？号，所以ff一o,如m(f-50)=-Jl-cos2(f-p)一手，所以！（%）=4-2J3 c叫于p)=4-2J3叫f+f-p)(8分）4 为企l，则子、，3 _.2 三1x=4叫
25、，y，2a b，。目n二一，所以k,=3 3 4 设B站对P城市的净化效果为Y2，比例系数为企2则Y2=k2 己，由工f,y2=l-a,得I-a气上子，所以k2子，14 所W-A、两站对该城市的总净化效果y=y1+yz=丘二三，x（0,1).2x 40-x)叫题意得应？对r/xEC川恒成立，所以只要当xECO,l)时，Ym;n?,(5分）(6分）又去汁（争己）x+Cl-x)l.2(1 x).(1 ahl 一ln十一一一一I4L-x 1-x卢1I I0-x)(l-a)x 二三：la十1+2A/O 一）4、V工lx,=+ca+1+2 ffaTI=币，2(1 x)(1 a)x 当且仅当一一一一一：；
26、一一，x l一x叶1+J亨时等号成立，则Ym;,=+(a+l+2布F币，令（1+2万）斗，即6互了二主53，（0,1)。1 25 则8la2 102zs运0，解得豆3 27(8分）综上，无论A,B两站建在何处，若要求A,B两站对数学P城市的总净化效果至少达到f“的取值范围为-1,25.3 27 21.解：Cl）选择：be叫；一C)=J3ccos B,即bsinC=J3ccos B,由正弦定理得sinBsin C=./3sin Ccos B,在6ABC 中，Cco，的，02分）参考答案及解析所以C6ACD=AD+CD+AC=2sin灿（号）布2sin（？）因为正（o,f），所以？（？与），所以叫
27、？）（子，1.00分）所以6ACD的周长的取值范围为（2布，2+./3.(12分）所以sinC子吨，所以sinB=./3 cos B,又Bco，时，且sinB手O,cosB手0,.2 22.Cl）解：因为 =2,所以tanB布，所以B=f.祷，选择：25&WC=./3 BA BC即2acsin B=J3cacos B,即sinB=./3cos B.在6ABC 中，BECO，），且，吕inB学O,cos B学O,(4分）所以tanB巧，所以B王(4分）3 选择：tanA+tan C+J言./3tan A tan C,即tanA+tan C=./3(tan A tan C 1)n A+tan C
28、r、)!fr以tanB=-tan(A+C）一3.、1二tanA tan C u 在6ABC 中，因为Bco，刑，所以B号(4分）(2）因为AB_l_AD，C_l_CD,所以A,B,C,D 四点共圆，BD 为直径，因为BD=2,所以6ACD的外接圆直径为2,由知LABC=f，所以LADC 子，AC 在6ACD中，由正弦定理得=BD,sinL.三ADC所以AC=BDsinLADC=2sin￥布，(6分）设LABD，（o,f).在Rr6ABD中，AD=BDsin2sina,在Rt6配时，CD=BDsin(-f斗剖n（号牛 5 a,a,+1，13 1 所以，“，a+1 a 1 于I2时2I l，一a,
29、+,则一?一一一二一a,+1 十1a,+l a,a,+1 忡1+1G，11 1缸，言。”2a忖l所以b什1-b,=2,(3分）叉a,=O，所以b,！一l 1 a.1+1 故数列亿，是飞首项为1，公差为2的等差数列，所t;J.lz.二1+2(111)=211 1,1 1 2-211 a 一一一一一一一一一一一一一一一b,晶21品21。11(2）证明：由 Cl）可得 S，川，所以立；.当n=l时，去1f.当2毗占一土l土土）n 112-l 2飞111所以T，土十土-1十i51 52 53 S,(6分）(8分）1士（1-f）（f）（f）十（占fi）十（击）f 1 1 1 7 l(l=l（1一一一？一J一l飞2 n十l/4 2飞川l、7).02分）II 4