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1、4.5 函数的应用（二）【夯实基础】知识点1 函数的零点与方程的解1.设函数有5个零点，且对一切实数x均满足，则( )A.8B.10C.16D.202.方程的实数根所在的区间为( ).A.B.C.D.3.表示不超过x的最大整数，例如，.已知是方程的根，则( )A.2B.3C.4D.5知识点2 用二分法求方程的近似解4.某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，则该同学在第二次应计算的函数值为( )A.B.C.D.5.已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分( )A.8次B.9次C.10次D.11次知识点3 函数
2、模型的应用6.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为(，)，该函数也可以简化为(，)的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要( )A.4年B.3年C.5年D.2年7.由于某地
3、人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年20%的比例降低.若要求患病率低于当前患病率的，则至少需要经过_时间.(参考数据：，)( )A.4年B.5年C.6年D.7年8.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边(单位：cm)和厚度x(单位:)满足.根据以上信息，当某张纸对折完4次时，的最小值为_.现有一张长边为30 cm，厚度为0.01 cm的矩形纸，该矩形纸最多能对折_次.(参考数值：)【提升能力】9.随着智能手机的普及，抖音、快手、火山视频等短视频APP迅速窜红.针对这种现状，某文化传媒有限公司决定逐年加大短视频
4、制作的资金投入，若该公司2019年投入短视频制作的资金为5000万元人民币，在此基础上，若以后每年的资金投入均比上一年增长8%，则该公司投入短视频制作的资金开始超过6900万元人民币的年份是( ).(参考数据:，)A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年10.已知定义域为R的偶函数满足，当时，则方程在区间上所有解的和为( ).A.8B.7C.6D.511.（多选）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值可以为( )A.0B.C.3D.412.（多选）已知定义域为R的偶函数有4个零点，并且当时，则下列说法中正确的是( )A.实数a的取值范围是B.当时，C.D.的取值范围是13.已
5、知函数，则函数的零点为_.14.某种干细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种干细胞由1个培养成1024个需经过_小时.【综合素养】15.已知定义在R上的函数满足，且当时，当时，则函数在上有_个零点.16.“半斤不脸红，一斤不心跳，二斤倒不了！”酒驾者都有超乎寻常的“自信”，显然他们已经忘记了酒精会使人神经麻痹、迟钝的真理.世界卫生组织的事故调查显示，在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起，而造成死亡的事故中50%以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶红酒后酒精在人体血液中的变化规律的“
6、散点图”如图所示，且该图表示的函数模型为.（1）求a的值；（2）当酒精含量大于20 mg/100mL是酒后驾车，则喝完一瓶红酒最少要经过多长时间才可以安全驾车？（时间以整小时计算）答案以及解析1.答案：B解析：对于任意，函数满足，函数的图像关于点对称，函数的零点关于直线对称，函数的5个零点中有2对关于直线对称，中间的零点是2，.故选B.2.答案：A解析：设，则，因为，所以是方程的实数根所在的一个区间.又在R上单调递增，故方程有唯一的实数根.故选A.3.答案：C解析：令，当时，当时，即，又单调递增，其图象是连续不断的，所以的零点所在区间为，所以，故选C.4.答案：C解析：,在区间（1,1.5）内
7、函数存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值为.故选C.5.答案：D解析：本题考查二分法求方程近似值的过程.设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长为，依题意得，所以.6.答案：A解析：由题可得则解得，所以，由函数解析式可知，在上单调递增，且，故该果树的高度超过8m，至少需要4年.故选A.7.答案：B解析：假设至少需要经过的时间为x(单位：年)，由题意得，两边同时取以为底的对数得，.因为，所以，即.故选B.8.答案：64，7解析：由，得，郎，即的最小值为64.由题意知，故该矩形纸最多能对折7次.9.答案：B解析：当年份为n时，短视频制作的资金为(万元)，由，两边同时取
8、对数并整理得，解得，从而得，所以资金投入开始超过6900万元的年份是2024年.故选B.10.答案：A解析：因为满足，所以，所以的图象关于直线对称，令，则的图象关于直线对称，作出函数与在上的图象，如图所示.由图知与的图象在区间上共有8个交点，且两两关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为，故选A.11.答案：CD解析：当时，恒成立，即在区间上无零点，所以当时，有三个正根，解得或.当时，单调递增，且，则方程有一个根，则方程要有两个根，即有两个正数解，则，解得，故C、D项正确.12.答案：BC解析：对于A选项，因为为偶函数且有4个零点，所以当时有2个零点，故，故A错误；对于B选项，当时，故，故B
9、正确；对于C选项，由函数是偶函数，可知，且，故，故C正确；对于D选项，由，可知，函数在上单调递增，故，故D错误.故选BC.13.答案：-8和2解析：令，得.当时，令，得；当时，易知在区间上单调递增，又，所以.故函数的零点为-8和2.14.答案：5解析：干细胞分裂一次时有2个细胞，分裂2次时变为个细胞，分裂n次时变为个细胞，所以分裂10次，每小时分裂2次，所以需要5小时.15.答案：7解析：由知是奇函数，又当时，所以在上是周期为1的周期函数.令得，结合当时，作出函数和的大致图象，如图所示，数形结合可知函数和的图象在上有7个交点，即函数在上有7个零点.16.（1）答案：解析：当时，解得.（2）答案：最少经过6小时才可以驾车解析：由题意得，即，从而，解得，所以最少经过6小时才可以驾车.9学科网（北京）股份有限公司