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1、试卷第 1页，共 2页广东省广州大学附属中学广东省广州大学附属中学 20242024 届高三届高三（强基计划班强基计划班）上学上学期期9 9 月入学考试数学试题月入学考试数学试题一、填空题一、填空题1设 m为实数，集合|32Axx，|21Bxmxm，满足BA，则 m的取值范围是2设 a为实数，函数223,2()3,2xxf xaxx在R上单调递增，则 a的取值范围是3定义在 R 上的函数 fx为奇函数，11f，又 2g xf x也是奇函数，则2021f4 定义在R上的函数 f x满足对任意的实数 x都有 6f xf x，当3,1x 时，22fxx，当1,3x 时，f xx，则 1232015f
2、fff5已知常数0a，函数 22xxfxax的图象经过点65P p，15Q q，若236p qpq，则a6 设0a，平行于x轴的直线:l ya分别与函数2xy 和12xy的图像交于点A，B，若函数2xy 的图像上存在点C，满足ABC为等边三角形，则a 7设a为实数，直线1y 与函数 2f xxxa的图象有四个不同的交点，则a的取值范围是8设cos1sin13xx，则1sincosxx9设为实数，满足3sincos0，则21cossin210函数 22cos3sin2f xxx的最大值为11设t为实数，满足t、1t、2t 构成一个钝角ABC的三边长，则t的取值范围为12在ABC中，2cos22B
3、acc，则ABC的形状为三角形试卷第 2页，共 2页13设 为实数，设向量1,2a，4,2b，cab，若 a和c夹角等于b和c夹角，则14设数列 na和 nb都为等差数列，记它们的前 n项和分别为nS和nT，满足2121nnanbn，则nnST15 已知P是椭圆221259xy上的点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PFPFPF 12，则12FPF的面积为16如图，在正六边形ABCDEF中，则以F,C为焦点，且经过点,A E D B的双曲线的离心率e 17设点1F、2F分别为双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，过点1F作直线交双曲线 C的两条渐近线于点A、B
4、，满足1F AAB，120FB F B ，则双曲线的离心率e 18设动点P在抛物线214yx上，点P在 x轴上的射影为点M，点A的坐标是2,0，则PAPM的最小值是19已知函数 fx在R上满足 22288f xfxxx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程是.20 设a、b为实数，函数 322f xxaxbxa在1x 处取得极值10，则1f.答案第 1页，共 9页参考答案：参考答案：132m【分析】根据给定条件，按集合B是空集和不是空集分类，利用包含关系列出不等式求解作答.【详解】当B 时，21mm，解得1m，此时满足BA，则1m；当B 时，由BA，得3212mm ，解得312m，
5、所以m的取值范围是32m.故答案为：32m 201a【分析】利用给定的分段函数是增函数列出不等式组，再解不等式组作答.【详解】由函数223,2()3,2xxf xaxx在R上单调递增，得20232 23aa，解得01a，所以 a的取值范围是01a.故答案为：01a31【分析】根据 fx为奇函数，2g xf x也是奇函数，结合奇函数的定义化简变形可得 fx的周期为 4，然后利用周期可求得结果.【详解】因为 fx为奇函数，所以 fxfx，因为 2g xf x为奇函数，所以22fxf x ，所以2222fxfx，即 4fxf x ，所以4fxfx，所以 4f xf x，所以 fx的周期为 4，因为
6、11f，所以 2021505 4 111fff，故答案为：14336【分析】直接利用函数的周期性，求出函数在一个周期内的和，然后求解即可.答案第 2页，共 9页【详解】函数()f x的定义域为 R，由(6)()f xf x，得函数()f x的周期为 6，由当1,3x 时，f xx，得(1)1,(2)2,(5)(1)1,(6)(0)0ffffff，由当3,1x 时，2(2)f xx，得(3)(3)1,(4)(2)0ffff，因此(1)(2)(3)(4)(5)(6)1ffffff，(1)(2)(3)(2015)336(1)(2)(3)(4)(5)(6)(6)336fffffffffff.故答案为：
7、33656【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值【详解】函数 f（x）=22xxax的图象经过点 P（p，65），Q（q，15）则：226112255pqpqapaq，整理得：22222222p qpqp qp qpqaqapaqapa pq=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于 a0，故：a=6故答案为 6【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用6632【分析】根据给定条件，利用指数、对数互化关系求出,A B的坐标，及AB的中点D的坐标，进而表示出点C的坐标即可求解作答.【详解】直线:l ya，由2x
8、a，得2logxa，即点2log,Aa a，由12xa，得2log1xa，即点2log1,Baa，于是1AB，如图，取AB的中点D，连接CD，由正ABC，得CDAB，32CD，答案第 3页，共 9页AI显然点C不可能在直线l上方，因此点213(log,)22Caa，而点C在函数2xy 的图象上，则21log2322aa，即322aa，解得3 2236342222a，所以632a.故答案为：6327514a【分析】直线1y 与曲线2yxxa有四个交点等价于方程21xxa有四个不同的解，即直线ya与函数21yxx 的图象有四个交点，借助图形求解即得.【详解】直线1y 与曲线2yxxa有四个交点等价
9、于方程21xxa，即21axx 有四个不同的解，等价于直线ya与函数21yxx 的图象有四个交点，在同一坐标系中，画出它们的图象，如图，观察图象可知，当且仅当514a时，直线ya与函数21yxx 图象有四个交点，所以 a 的取值范围是514a.故答案为：514a答案第 4页，共 9页813【分析】根据同角三角函数的平方关系化简可得出所求代数式的值.【详解】因为cos1sin13xx，显然sin1x，则221sin1 sin1sin1 sincoscoscos1 sincos1 sincos1 sinxxxxxxxxxxxxcoscos11 sinsin13xxxx.故答案为：13.9103/1
10、33【分析】根据给定条件，求出tan，再利用齐次式法求解作答.【详解】依题意，1tan3，所以22222211()1cossin1tan1031cossin2cos2sincos12tan312()3 .故答案为：103103【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数，再利用余弦函数的性质求出最大值作答.【详解】依题意，()1cos23sin212cos(2)3f xxxx ，所以当22,Z3xkk，即,Z6xkk时，max()3f x.故答案为：3111,3【分析】根据余弦定理以及三角形三边关系可得出关于t的不等式组，由此可解得实数t的取值范围.【详解】设ABC的内角C为
11、最大角，则22212cos021tttCt t，再由三角形三边关系可得120tttt ，解得1t，答案第 5页，共 9页所以，22301ttt，解得13t.故答案为：1,3.12直角【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式、余弦定理化简作答.【详解】在ABC中，由2cos22Bacc，得1cos1aBc，即cosacB，由余弦定理得2222acbacac，整理得222abc，所以ABC是直角三角形.故答案为：直角132【分析】利用向量运算的坐标表示求出c，再利用向量夹角的余弦相等列式计算作答.【详解】由向量1,2a，4,2b，得(1,2)(4,2)(4,22)c，由 a和c夹角等于b和c夹角
12、，得cos,cos,a cb c ，则|a cb ca cb c ，因此5882052 5，解得2.故答案为：2142nn【分析】根据给定的关系等式，结合等差数列通项的特征，设出数列 na和 nb的通项，求出首项，再利用等差数列前 n 项和公式求解作答.【详解】数列 na和 nb都为等差数列，且2121nnanbn，则令(21),(21)nnaknbkn，0k，k为常数，因此等差数列 na的首项1ak，等差数列 nb的首项13bk，所以1111(21)23(21)22nnnnnnaanSaakknnbbTbbkknnn.故答案为：2nn答案第 6页，共 9页153 3/323【分析】由向量的夹
13、角公式可得1260FPF，利用余弦定理、椭圆定义可得1212 PFPF，再由三角形面积公式可得答案.【详解】因为53ab，2594c，所以1210PFPF，若1212121cos,2 PF PFPF PFPFPF，因为120,180PF PF ，则可得1260FPF，由余弦定理可得22212121212cos60,2 PFPFFFPF PFPFPF2121212264122 PFPFPFPFPFPF，所以1212 PFPF，则121213sin60123 31222 FPFPFPF.故答案为：3 3.1631/13【分析】根据给定图形，结合双曲线定义、离心率定义计算作答.【详解】令正六边形AB
14、CDEF的半径为r，连接,FC DF，如图，答案第 7页，共 9页于是|DCr，|2FCr，而90CDF，则|3DFr，依题意，双曲线实轴长2|(3 1)aDFDCr，焦距2|2cFCr，所以该双曲线的离心率2231231cea.故答案为：31172【分析】设点B位于第一象限，分析可得出1223AOFAOBBOFBOF，求出2BOF的值，可求得ba的值，进而可求得该双曲线离心率的值.【详解】设点B位于第一象限，如下图所示：因为1F AAB，则A为线段1FB的中点，又因为O为12FF的中点，则2/OA F B，因为120FB F B ，则12FBF B，所以，1OABF，所以，1OBOF，则1A
15、OFAOB，又因为12AOFBOF，所以，1223AOFAOBBOFBOF，可得23BOF，易知直线OB的方程为byxa，则tan33ba，因此，该双曲线的离心率为22212cabbeaaa.故答案为：2.1851/15【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再利用抛物线定义建立关系，并求出最小值作答.【详解】抛物线24xy的焦点(0,1)F，准线方程为1y ，答案第 8页，共 9页延长 PM 交准线于 N，连 PF，显然PN垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：|1|1|1PAPMPAPNPAPFAF ，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，而|5AF，所以|PAPM的最小值为51.故
16、答案为：511921yx【分析】将x换为2x可得 22244fxfxxx，再代入 22288f xfxxx化简可得 2f xx，再根据导数的几何意义求解即可【详解】由 22288f xfxxx，有 22228 28fxf xxx，即 22244fxfxxx，将2fx代入 22288f xfxxx,有 2222 2448843f xf xxxxxf xx，故 2f xx，2fxx，所以 yf x在(1,(1)f处的切线斜率为 12f，故曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程是121yx，即21yx故答案为：21yx2030【分析】根据题意可得出 10110ff，可求出a、b的值，再结合极
17、值点的定义进行验证，可得出函数 fx的解析式，代值计算可得1f 的值.【详解】因为 322f xxaxbxa，则 232fxxaxb，因为函数 322f xxaxbxa在1x 处取得极值10，答案第 9页，共 9页所以，213201110fabfaba，解得33ab 或411ab，当3a ，3b 时，则 22363310fxxxx，且 fx不恒为零，此时，函数 fx在,上单调递增，函数 fx无极值，不合乎题意；当4a，11b 时，则 3241116f xxxx，、238111 311fxxxxx，由 0fx可得1x 或113x ，列表如下：x113，11311,1311,fx00 fx增极大值减极小值增所以，函数 fx在1x 处取得极小值，且极小值为 11 4 11 1610f，合乎题意，所以，11 4 11 1630f .故答案为：30.