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1、 2.10函数模型的应用考试要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用知识梳理1三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，
2、c为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axb(a，b，为常数，a0，0)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利()(3)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)和ylogax(a1)的增长速度()(4)在选择实际问题的
3、函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型()教材改编题1在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x答案D解析根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意2设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用
4、的时间x的函数图象为()答案D3当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过_个“半衰期”答案10解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为n，由n0)Bymaxn(m0,0a0，a1)Dymlogaxn(m0，a0，a1)答案B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m0,0a1.教师备选已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点
5、运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是()答案D解析依题意知，当0x4时，f(x)2x；当4x8时，f(x)8；当8x12时，f(x)242x，观察四个选项知D项符合要求思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案跟踪训练1(1)(2022内江模拟)对于下列表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是()x123y35.9
6、912.01A.y32x1 Bylog2xCy3x Dyx2答案A解析根据题意，这3组数据可近似为(1,3)，(2,6)，(3,12)；得到增长速度越来越快，排除B，C，对于选项D，三组数据都不满足，对于选项A，三组数据代入后近似满足，则模拟效果最好的函数是y32x1.(2)(2022武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩
7、展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()答案A解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在yx上方结合选项只有A选项能够较好的达到目的题型二已知函数模型的实际问题例2(2022 百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台每生产x台，需另投入成本G(
8、x)万元，且G(x)由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润销售收入成本)；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？解(1)由题意可得，当0x40时，W(x)200x(2x280x)3002x2120x300；当40x100时，W(x)200x3001 800，所以W(x)(2)若0x40，W(x)2(x30)21 500，所以当x30时，W(x)max1 500万元若40x100，W(x)1 80021 8001201 8001 680，当且仅当x时，即x60时，W(
9、x)max1 680万元所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元教师备选(2022重庆南开中学模拟)某企业自主开发出一款新产品A，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50 000元，该企业每年最多可生产4万件A产品通过市场分析知，在2022年该企业每生产x(千件)A产品，需另投入生产成本R(x)(千元)，且R(x)(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值(总成本研发成本生产成本)；(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p66元，求其年生产值x(千件)的取值区间？解(1)由题知生产x千件的总成
10、本为(R(x)50)千元，故生产一件的平均成本为元，所以p(x)当x(0,10时，p(x)x60单调递减，故最小值为p(10)70，当x(10,40时，p(x)1 800265.5，故最小值为p(20)65.5，所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元(2)由(1)知，要使p(x)66只需考虑x(10,40，即7066，整理得x245x4500，解得15x30，所以当x15,30时，生产一件A产品的平均成本不超过66元思维升华求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该函数模型，借助函数的性质、
11、导数等求解实际问题，并进行检验跟踪训练2(1)“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30t100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高
12、考中可能取得的总分约为(lg 611.79)()A440分 B460分C480分 D500分答案B解析由题意得，f(60)P，k0.465，f(100)62，该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460(分)(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.利用你选取的函数，求：西红柿种植成本最低时的上市天数是_；最低种植成本是_元/
13、100 kg.答案12080解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t60和t180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Qat2btc，即Qa(t120)2m描述，将表中数据代入可得解得所以Q0.01(t120)280，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.题型三构造函数模型的实际问题例3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理
14、类似(如图所示)现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.60.511，ln 0.90.105)()A4 B5 C6 D7答案C解析设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn1000.90n1.由1000.90n160，得0.90n10.6，则(n1)ln 0.904.87，则n5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.(2)(2022滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子
15、的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式_答案k(只要写出的函数满足在区间160,190上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可答案不唯一)解析由题意知函数k(x)在160,190上单调递增，设k(x)axb(a0)，x160,190，由解得所以k(x)x，所以k教师备选国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多
16、1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解设该旅行团的人数为x，飞机票的价格为y元旅行社可获得的利润为w元(1)当0x30时，y900，当30x75时，y90010(x30)10x1 200，综上有y(2)当0x30时，w900x15 000，当x30时，wmax9003015 00012 000(元)；当302)元，则发行量为万册，则该杂志销售收入为x万元，所以x22.4，化简得x26x8.960，解得2.8x3.2.(2)(2022南京模拟)拉面
17、是很多人喜好的食物师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克第一次拉的长度是1米，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根1米长的细丝面条的质量是_答案3克解析拉面师傅拉7次面条共有2712664根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为618108(克)；剩下64根面条的总质量为300108192(克)，则每根1米长的细丝面条的质量为3(克)课时精练1(2020全国)某校一个课外学习小
18、组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i1,2，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()Ayabx Byabx2Cyabex Dyabln x答案D解析由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近2(2022福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.1511.21.52.0五分记录y4.04.14.255.15.25.3现有如下函数模型：y5lg
19、x，y5lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.32，50.220.7，100.10.8)()A0.3 B0.5 C0.7 D0.8答案B解析由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y5lg x，令y5lg x4.7，解得x100.30.5.3某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的
20、训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了()A0.33米 B0.42米C0.39米 D0.43米答案B解析该女生训练前立定跳远距离为1.840.031.72(米)，训练后立定跳远距离为1.840.12.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.141.720.42(米)4中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 下，某种绿茶用85 的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ，且yk0.908 5x25(x0，kR)当茶水温度降至55 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 20.693 1，ln 31.
21、098 6，ln 0.908 50.096 0) ()A6 min B7 minC8 min D9 min答案B解析由题意可知，当x0时，y85，则85k25，解得k60，所以y600.908 5x25.当y55时，55600.908 5x25，即0.908 5x0.5，则xlog0.908 50.57，所以茶水泡制时间大约为7 min.5(多选)(2022厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，
22、则()Aa3B注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时答案AD解析由函数图象可知y当t1时，y4，即1a4，解得a3，y故A正确，药物刚好起效的时间，当4t0.125，即t，药物刚好失效的时间t30.125，解得t6，故药物有效时长为65(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液含药量为40.5(微克)，故C错误6(多选)某导演的纪录片垃圾围城真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生
23、的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：年份x2016201720182019包装垃圾y(万吨)46913.5有下列函数模型：yabx2 016；yasinb；yalg(xb)(a0，b1)(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)，则以下说法正确的是()A选择模型，函数模型解析式y4x2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系B选择模型，函数模型解析式y4sin2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系C若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始
24、，该城市的包装垃圾将超过40万吨D若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨答案AD解析若选y4x2 016，计算可得对应数据近似为4,6,9,13.5，若选y4sin2 016，计算可得对应数据近似值都大于2 012，显然A正确，B错误；按照选择函数模型y4x2 016，令y40，即4x2 01640，x2 01610，x2 016， x2 0165.678 6，x2 021.678 6，即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确7(2022蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为yalo
25、g2(x1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到_只答案300解析由题意知100alog2(11)a100，当x7时，可得y100log2(71)300.8(2022临沂模拟)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1 ，空气温度为0 ，则t分钟后物体的温度(单位： )满足：0(10)ekt.若常数k0.05，空气温度为30 ，某物体的温度从90 下降到50 ，大约需要的时间为_分钟(参考数据：ln 31.1)答案22解析由题知030，190，50，5030(9030)e0.05t，e0.05t，0.05tln，0.05tln 3，t20ln 322
26、.9某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(xN*)所需的各种费用总计为(2x26x)万元(1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)；(2)该车若干年后有两种处理方案：当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出问：哪一种方案较为合算？并说明理由解(1)客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(xN*)所需的各种费用总计为(2x26x)万元，若该车x年开始盈利，则30x2x26x50，即x212x250，a1)与yk(p0，k0)可供选择(1)试判断哪个函数模
27、型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解(1)由题设可知，两个函数ykax(k0，a1)，yk(p0，k0)在(0，)上均为增函数，随着x的增大，函数ykax(k0，a1)的值增加得越来越快，而函数yk(p0，k0)的值增加得越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型ykax(k0，a1)满足要求由题意可得解得k，a，故该函数模型的解析式为yx(xN)(2)当x0时，y0，故元旦放入凤眼莲的面积为 m2，由x10，即x10，故x，由于5.7，故x6.因此，凤眼莲覆
28、盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份11(2022衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yeaxb(a，b为常数)，若该果蔬在6 的保鲜时间为216小时，在24 的保鲜时间为8小时，那么在12 时，该果蔬的保鲜时间为()A72小时 B36小时C24小时 D16小时答案A解析当x6时，e6ab216；当x24时，e24ab8，则27，整理可得e6a，于是eb2163648，当x12时
29、，ye12ab(e6a)2eb64872.12(2022南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为1012，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即Llg.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强
30、，则n的值约为()A10 B100 C200 D1 000答案B解析设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则14010lg，12010lg，两式相减即得2010lg，即lg2，从而100，所以n的值约为100.13如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0a12)，4 m，不考虑树的粗细，现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为S(m2)，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花园内，则函数uf(a)的图象大致是()答案C解析设ADx米，则CD(16x)米，要将树围在矩形内，则ax12.Sx(16x)(x8)26
31、4，xa,12，当0a8时，当x8时，Smax64，当81时，甲走在最前面B当x1时，乙走在最前面C当0x1时，丁走在最后面D如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲答案CD解析甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型当x2时，f1(2)3，f2(2)4，所以A不正确；当x5时，f1(5)31，f2(5)25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x1时，
32、甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0x1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确16某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为yf(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x25,1 600时，f(x)是增函数；f(x)90恒成立；f(x)恒成立(1)现有两个奖励函数模型：()f(x)x10；()f(x)26.试分析这两
33、个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数f(x)a10(a2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围解(1)对于函数模型：()f(x)x10，验证条件：当x30时，f(x)12，而6，即f(x)不成立，故不符合公司要求；对于函数模型：()f(x)26，当x25,1 600时，条件f(x)是增函数满足；f(x)max2624067490，满足条件；对于条件：记g(x)26(25x1 600)，则g(x)(5)21，5,40，当5时，g(x)max(55)2110，f(x)恒成立，即条件也成立故函数模型： ()f(x)26符合公司要求(2)a2，函数f(x)a10符合条件；由函数f(x)a10符合条件，得a10a401090，解得a；由函数f(x)a10符合条件，得a10对x25,1 600恒成立，即a对x25,1 600恒成立2，当且仅当，即x50时等号成立，a2，综上所述，实数a的取值范围是.