第三章 §3.5 利用导数研究恒(能)成立问题.docx

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1、 3.5利用导数研究恒(能)成立问题题型一分离参数求参数范围例1(2022北京模拟)已知函数f(x)(x2)exax2ax(aR)(1)当a0时,求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)当x2时,f(x)0恒成立,求a的取值范围解(1)当a0时,f(x)(x2)ex,f(0)(02)e02,f(x)(x1)ex,kf(0)(01)e01,所以切线方程为y2(x0),即xy20.(2)方法一当x2时,f(x)0恒成立,等价于当x2时,(x2)exax2ax0恒成立即a(x2)ex在2,)上恒成立. 当x2时,0a0,所以aR.当x2时,x2x0,所以a恒成立设g(x),则g(x),

2、因为x2,所以g(x)0,所以g(x)在区间(2,)上单调递增所以g(x)g(2)e2,所以ae2. 综上所述,a的取值范围是(,e2方法二f(x)(x1)(exa),当a0时,因为x2,所以x10,exa0,所以f(x)0,则f(x)在2,)上单调递增,f(x)f(2)0成立当0e2时,在区间(2,ln a)上,f(x)0,所以f(x)在(2,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增,f(x)0不恒成立,不符合题意综上所述,a的取值范围是(,e2教师备选(2022重庆模拟)已知函数f(x)(m1)xmln xm,f(x)为函数f(x)的导函数(1)讨论f(x)的单调性;(2)若xf(

3、x)f(x)0恒成立,求m的取值范围解(1)f(x)x(m1),当m0,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增当0m0,f(x)单调递增;当x(m,1)时,f(x)0,f(x)单调递增当m1,x(0,)时,f(x)0,f(x)单调递增当m1,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(1,m)时,f(x)0,f(x)单调递增(2)由题意知xf(x)f(x)0恒成立,即mln x0恒成立,mln x.当x1时,mln x恒成立,当x1时,m;当0x1时,m.令g(x),则g(x),当0x1时,g(x)0,g(x)单调递减且g(x)1时,令g(x)0,得x,当1x时,g(x)时,g(

4、x)0,g(x)单调递增,g(x)g()e,me.综上知0me.思维升华分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题(2)af(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min;af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.跟踪训练1已知函数f(x)xln x(x0)(1)求函数f(x)的极值;(2)若存在x(0,),使得f(x)成立,求实数m的最小值解(1)由f(x)xln x,得f(x)1ln x,令f(x)0,得x;令f(x)0,得0x0)则g(x)1.由g(x)0,得x1;由g(x)0,得0x0,令(x)e

5、x1axa1,则当x1,)时,(x)min0,(x)ex1a,当a时,(x)0,(x)在1,)上单调递增,(x)min(1)1aa100恒成立,a符合题意当a时,令(x)0,得xln a1.当x(0,ln a1)时,(x)0,(x)在(0,ln a1)上单调递减,在(ln a1,)上单调递增当ln a11,即a1时,(x)在1,)上单调递增,(x)min(1)00恒成立,1,即a1时,(x)在1,ln a1)上单调递减,在(ln a1,)上单调递增,(x)min(ln a1)1不符合题意综上,实数a的取值范围为(,1教师备选(2022衡阳模拟)已知函数f(x)ax2ln x(aR)(1)讨论f

6、(x)的单调性(2)若存在x(1,),f(x)a,求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)2ax,当a0时,f(x)0,则f(x)在(0,)上单调递增,当a0时由f(x)0,得x,由f(x)0,得x,由f(x)a,得a(x21)ln x0,x(1,),ln x0,当a0时,a(x21)ln x1),g(x)0,g(x)在(1,)上单调递增,则g(x)g(1)0,不符合题意,当0a0,得x,由g(x)0,得x,于是有g(x)在上单调递减,在上单调递增,g(x)mingg(1)0,则当0a时,x(1,),g(x)2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若存在x1,),使f(x)

7、0,f(x)2x(a2),又1,当f(x)0时,0x,当f(x)0时,1x,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为.(2)存在x1,)使f(x)f(x)min.由(1)可得,当a2时,f(x)minfaalna,即ln1),(t)(t1),(t)在(1,2)上单调递增,在(2,)上单调递减,(t)max(2)ln 212时,不等式恒成立;(另解:当a2时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,f(x)minff(1)1aa.)当a2时,f(x)在x1,)上单调递增,f(x)minf(1)a1,a2,综合得,实数a的取值范围为.题型三双变量的恒(能)成立问题例3设f(x)xln x,g

8、(x)x3x23.(1)如果存在x1,x20,2,使得g(x1)g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数M;(2)如果对于任意的s,t,都有f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围解(1)存在x1,x20,2,使得g(x1)g(x2)M成立,等价于g(x1)g(x2)maxM成立g(x)3x22xx(3x2),令g(x)0,得x0或x,g,又g(0)3,g(2)1,当x0,2时,g(x)maxg(2)1,g(x)ming,M1,满足条件的最大整数M为4.(2)对任意的s,t有f(s)g(t),则f(x)ming(x)max.由(1)知当x时,g(x)maxg(2)1,当x时,f(x)xln

9、x1恒成立,即axx2ln x恒成立令h(x)xx2ln x,x,h(x)12xln xx,令(x)12xln xx,(x)32ln x0,h(x)在上单调递减,又h(1)0,当x时,h(x)0,当x1,2时,h(x)0,h(x)在上单调递增,在1,2上单调递减,h(x)maxh(1)1,故a1.实数a的取值范围是1,)教师备选已知函数f(x)(xR),a为正实数(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若x1,x20,4,不等式|f(x1)f(x2)|0,所以令f(x)0,得0x3;令f(x)0,得x3.所以f(x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(,0)和(3,)(2)由(1)知f(

10、x)在(0,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,所以f(x)在0,4上的最大值是f(3).又f(0)a0,所以f(0)f(4),所以f(x)在0,4上的最小值为f(0)a.若x1,x20,4,不等式|f(x1)f(x2)|1恒成立,则需f(x)maxf(x)min1在x0,4上恒成立,即f(3)f(0)1,即a1,解得a0,所以0ag(x2)f(x)ming(x)max.(2)x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.(3)x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)max.跟踪训练3设f(x)xex,g(x)x2x.(1)令F(x)f(x)g

11、(x),求F(x)的最小值;(2)若任意x1,x21,),且x1x2,有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立,求实数m的取值范围解(1)因为F(x)f(x)g(x)xexx2x,所以F(x)(x1)(ex1),令F(x)0,解得x1,令F(x)0,解得xx2,有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立,所以mf(x1)g(x1)mf(x2)g(x2)恒成立,令h(x)mf(x)g(x)mxexx2x,x1,),即只需h(x)在1,)上单调递增即可故h(x)(x1)(mex1)0在1,)上恒成立,故m,而e,故me,即实数m的取值范围是e,)课时精练1(2022大同模拟)已知

12、函数f(x)x(mex1)(1)当m1时,求函数f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程;(2)当x0时,f(x)x22x,求实数m的取值范围解(1)当m1时,f(x)x(ex1),则f(1)e1,由f(x)ex1xex可得,f(1)2e1.所以函数f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程为y(e1)(2e1)(x1),即(2e1)xye0.(2)由x(mex1)x22x及x0,得m.令g(x)(x0),则g(x),当x(0,2)时,g(x)0;当x(2,)时,g(x)0),又f(3)40,所以a6,经检验符合条件,所以f(x),令f(x)0,有0x3;令f(x)0,有1x0,有x1;令f

13、(x)0,有0x0时,01,即0a2时,存在f(1)a11,即a2时,存在f(1)a10;1,即a2时,f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增,存在f(1)30时,f(x)1不恒成立综上,a2.3(2022沈阳模拟)已知f(x)是定义在1,1上的奇函数,当x0时,f(x)x2sin x,g(x)是定义在(0,)上的函数,且g(x)ax2(a0)(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于x11,1,x2(0,),使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围解(1)设x0,所以f(x)x2sin x,又f(x)是奇函数,所以f(x)f(x),所以f(x)f(x)x2sin x,又f(0)0,

14、所以f(x)(2)由题意得f(x)ming(x)min.当x0,1时,f(x)2xcos x0,所以f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)minf(0)0;当x1,0)时,f(x)2xcos x0,所以f(x)在1,0)上单调递增,所以f(x)minf(1)1sin 10,x0,所以ax222,当且仅当ax,即x时等式成立所以g(x)min22,所以1sin 122,整理得a,所以实数a的取值范围是.4(2022昆明联考)已知函数f(x)eaxx.(1)若曲线yf(x)在点(0,f(0)处切线的斜率为1,求f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)eaxln xax2对x(0,e恒成立,求a的取值范围解(1)f(x)aeax1,则f(0)a11,即a2.f(x)2e2x1,令f(x)0,得x.当x时,f(x)时,f(x)0.故f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由f(x)eaxln xax2,x(0,e,即ax2xeax(ln x1),有,故仅需即可设函数g(x),则等价于g(eax)g(x)g(x),当x(0,e时,g(x)0,则g(x)在(0,e上单调递增,当x(0,e时,g(eax)g(x)等价于eaxx,即a恒成立设函数h(x),x(0,e,则h(x)0,即h(x)在(0,e上单调递增,h(x)maxh(e),则a即可,a的取值范围为.

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