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1、考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差1.(2021浙江高考T15)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=,E()=.【命题意图】本题主要考查事件及概率.考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法.【解析】因为取出的两个球都是红球的概率为16,所以C42C4+m+n2=16,则(m+n+4)(m+n+3)=72,解得m+n=5.又因为一红一黄的概率为13,所以C41Cm1C4+m+n2=13,解得m=3,则n=5-3=2,所以m-n=1.所以袋中有4个红球,3个黄球,2
2、个绿球.则P(=0)=C52C92=518,P(=1)=C41C51C92=59,P(=2)=C42C92=16,由此作出的分布列:012P5185916所以E()=59+216=89.【答案】1892.(2021全国乙卷文科T17)同(2021全国乙卷理科T17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品
3、的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s12和s22.(1)求x,y,s12,s22;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y-x2s12+s2210,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).【命题意图】本题要求考生根据新旧两台设备各生产10件产品得到的某项指标数据,判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高,即研究y-x2s12+s2210是否成立.本题考查了考生对于平均数、方差等知识的理解和应用.【解析】(1)由表中的数据可得:x=110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8
4、+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0,y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,s12=110(9.7-10.0)2+2(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.036,s22=110(10.0-10.3)2+3(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2(10.4-10.3)2+2(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.04.(2)由(1)中数据得y-x=
5、0.3,2s12+s2210=20.0076,显然y-x2 s12+s2210,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.3.(2021北京新高考T18)(12分)为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测.若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.()(i)若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;(ii)已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为111,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);()若采
6、用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).【命题意图】本题考查统计概率的实际应用离散型随机变量的分布列、数学期望、作出判断或决策等等,意在考查考生的数学建模、数学运算、逻辑推理素养.【解析】()(i)共测两轮,第一轮100人分10组,故测了10次,第二轮对两名患者所在组每个人都检测一次,共10次,所以总检测次数为20.(ii)由(i)知,两名感染患者在同一组时,共需测20(次),若两名患者不在一组,需要测10+10+10=30(次),所以X所有可能取值为20,30,P(X=20)=111,P(X=30)=1-111=1011,所以X的分布列
7、为X2030P1111011所以E(X)=20111+301011=32011.()E(X)E(X),所以应先答B类问题.【反思总结】解离散型随机变量的期望和方差应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征,若属于二项分布,可用二项分布的期望与方差公式计算,则更为简单.(3)在实际问题中,若两个随机变量1,2,有E1=E2或E1与E2较为接近时,就需要用D1与D2来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案,若各方案的期望相同,则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.