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1、 六空间直角坐标系【基础必会练】1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A.y轴上B.Oxy平面上C.Oxz平面上D.第一象限内【解析】选C.点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Oxz平面上.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则向量在基底i,j,k下的坐标是()A.(1,1,1)B.(13,12,15)C.(3,2,5)D.(3,2,-5)【解析】选C.=+=+=3i+2j+5k,所以向量在基底i,j,k下的坐标是(3,2,5).3.设点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点为P1,则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是()A.(1,1,-1)B.(-1
2、,-1,-1)C.(-1,-1,1)D.(1,-1,1)【解析】选B.由条件知,P1(1,1,-1),P1关于z轴的对称点为(-1,-1,-1).4.设z为任一实数,则点(2,2,z)表示的图形是()A.z轴B.与Oxy平面平行的一直线C.与Oxy平面垂直的一直线D.Oxy平面【解析】选C.点(2,2,z)在过点(2,2,0)且垂直于平面Oxy的直线上.5.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则()A.的坐标为(1,0,0)B.的坐标为(1,0,0)C.的坐标为(1,0,1)D.的坐标为(1,1,1)【解析】选AC.由题图可知,A(0
3、,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),所以=(1,0,0),=(-1,0,0),=+=(1,0,1), =(-1,1,-1).6.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是()A.点B1的坐标为(4,5,3)B.点C1关于点B的对称点为(5,8,-3)C.点A关于直线BD1的对称点为(0,5,3)D.点C关于平面ABB1A1的对称点为(8,5,0)【解析】选ACD.由题意知,点B1的坐标为(4,5,
4、3),故A中说法正确;B的坐标为(4,5,0),C1的坐标为(0,5,3),故点C1关于点B的对称点为(8,5,-3),故B中说法错误;由题意知AD1=BC1=5,且ABAD1,即四边形ABC1D1为正方形,所以点A关于直线BD1的对称点为C1(0,5,3),故C中说法正确;点C(0,5,0)关于平面ABB1A1的对称点为(8,5,0),故D中说法正确.7.点P(-3,2,-1)关于平面Oxz的对称点是_,关于z轴的对称点是_,关于M(1,2,1)的对称点是_.【解析】点P(-3,2,-1)关于平面xOz的对称点是(-3,-2,-1),关于z轴的对称点是(3,-2,-1).设点P(-3,2,-
5、1)关于M(1,2,1)的对称点为(x,y,z).则x-32=1,y+22=2,z-12=1,解得x=5,y=2,z=3.故点P(-3,2,-1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3).答案:(-3,-2,-1)(3,-2,-1) (5,2,3)8.如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点D在Oyz平面内,若BDC=90,DCB=30,则点D的坐标为_.【解析】如图,过点D作DEBC,垂足为E.在RtBDC中,BDC=90,DCB=30,BC=2,得BD=1,CD=3,所以DE=CDsin 30=32,OE=OB-BE=OB-BDcos 60=1-12=12,所以点D
6、的坐标为(0,-12,32).答案: (0,-12,32)9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,如图所示建立空间直角坐标系.写出各顶点及E,F的坐标.【解析】由题图知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).因为E,F分别为棱BB1,DC的中点,所以E(2,2,1),F(0,1,0).10.已知三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.【解析】如图所示,取AC的中点O和A1C
7、1的中点O1,可得BOAC,OO1AC,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为1,所以OA=OC=O1C1=O1A1=12,OB=32.因为A,B,C均在坐标轴上,所以A(0,-12,0),B(32,0,0),C(0,12,0).因为点A1与C1在yOz平面内,所以A1(0,-12,1),C1(0,12,1).因为点B1在xOy平面内的射影为B,且BB1=1,所以B1(32,0,1),即各点的坐标为A(0,-12,0),B(32,0,0),C(0,12,0),A1(0,-12,1),B1(32,0,1),C1(0,12,1).【能力进阶练】1
8、1.如图,正方体ABCD-ABCD的棱长为2,则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为()A.(1,-2,1)B.(1,2,1)C.(-1,-2,1)D.(-1,-2,-1)【解析】选D.因为D(2,-2,0),C(0,-2,2),所以线段DC的中点M的坐标为(1,-2,1),点M关于y轴的对称点坐标为(-1,-2,-1).12.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,B1E=14A1B1,则等于()A. (0,14,-1)B. (-14,0,1)C. (0,-14,1)D.(14,0,-1)【解析】选C.,为单位正交基底,=+=-14+,所以=(0,-14,1).1
9、3.如图所示,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=1,OB=2,OC=3,E,F分别为AC,BC的中点,建立以,方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,则EF中点P的坐标为_.【解析】令x,y,z轴正方向上的单位向量分别为i,j,k,因为=+=12(+)+12=12(+)+14(-)=14+14+12=14i+142j+123k=14i+12j+32k=(14,12,32).所以点P坐标为(14,12,32).答案:(14,12,32)14.如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,G是BCD的中心,建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为_,的坐标为_.【解析】令x
10、,y,z轴正方向上的单位向量分别为i,j,k,由题意可知,BG=23BE=2332=33,所以AG=AB2-BG2=63,所以=-63k=(0,0,-63),=-=-33j-63k=(0,-33,-63).答案: (0,0,-63) (0,-33,-63)15.如图,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设=a,=b,=c.(1)用向量a,b,c表示;(2)在如图的空间直角坐标系中,求a,b,c的坐标.【解析】(1)因为=+,=,=12,=-,=+,所以=+12(-)=+12-12(+)=-12+12+12=-12a+12b+
11、12c.(2)因为A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(12,12,1),所以a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(12,12,1).【创新拓展练】16.已知a,b,c是空间的一个基底,a+b,a-b,c是空间的另外一个基底,若一个向量p 在基底a,b,c 下的坐标为(1,2,3),则向量p 在基底a+b,a-b,c 下的坐标为_.【解析】设向量p 在基底a+b,a-b,c 下的坐标为(x,y,z) ,则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc ,所以x+y=1,x-y=2,z=3, 解得x=32,y=-12,z=3, 故p 在基底a+b,a-b,c 下的坐标为(32,-12,3).答案:(32,-12,3) - 8 -