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1、第1节数列的概念与简单表示法考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列
2、的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.常用结论1.若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2.在数列an中，若an最大，则若an最小，则【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN*，都有an1
3、Sn1Sn.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.2.(选修二P8T3改编)已知数列an满足a12，an2(n2)，则a5_，猜想an_.答案解析由题意知a22，a32，a42，a52，猜想an.3.已知数列an的前n项和公式Snn22，则an的通项公式an_.答案解析当n2时，anSnSn1n22(n1)222n1，又当n1时，a1S13，故an4.已知ann23n1，则数列an的最小项为_.答案a1a21解析ann23n1，故当n1或n2时，an的最小项为a1a
4、21.考点突破题型剖析考点一由an与Sn的关系求通项公式例1 (1)已知数列an的前n项和Snn22n，则an_.答案2n1解析当n1时，a1S13.当n2时，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.由于a13也满足上式，an2n1.(2)已知数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.答案2n1解析当n1时，a1S12a11，a11.当n2时，Sn2an1，Sn12an11.得SnSn12an2an1，即an2an2an1，即an2an1(n2)，an是首项为a11，公比为q2的等比数列.ana1qn12n1.迁移 在本例(1)中，若Snn22n1，求an
5、.解当n2时，anSnSn12n1，又当n1时，a1S14，不满足上式，故an感悟提升1.已知Sn求an的常用方法是利用an转化为关于an的关系式，再求通项公式.2.Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解.方向2：利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解.训练1 (1)设Sn为数列an的前n项和，若2Sn3an3，则a4等于()A.27 B.81 C.93 D.243答案B解析根据2Sn3an3，可得2Sn13an13，两式相减得2an13an13an，即an13an，当n1时，2S13a13，解得a13，所
6、以数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4a1q33481.(2)设数列an满足a13a2(2n1)an2n，则an_.答案解析当n1时，a1212.a13a2(2n1)an2n，a13a2(2n3)an12n1(n2)，由得(2n1)an2n2n12n1，an(n2).显然n1时不满足上式，an考点二由数列的递推关系求通项公式角度1累加法形如an1anf(n)，求an例2 在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A.2ln n B.2(n1)ln nC.2nln n D.1nln n答案A解析因为an1anln ln(n1)ln n，所以a2a1ln 2ln 1，a3a
7、2ln 3ln 2，a4a3ln 4ln 3，anan1ln nln(n1)(n2)，把以上各式分别相加得ana1ln nln 1，则an2ln n(n2)，且a12也适合该式，因此an2ln n(nN*).角度2累乘法形如f(n)，求an例3 在数列an中，an1an(nN*)，且a14，则数列an的通项公式an_.答案解析由an1an，得，故，(n2)，以上式子累乘，得.因为a14，所以an(n2).因为a14满足上式，所以an.角度3构造法例4 在数列an中，已知a11，an12an1，则通项公式an_.答案2n1解析由an12an1得an112(an1)，即数列an1是首项为a112，
8、公比为2的等比数列，则an122n12n，故an2n1.感悟提升1.形如an1anf(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.2.形如an1anf(n)的递推关系式可化为f(n)的形式，可用累乘法，也可用ana1代入求出通项.3.形如an1panq的递推关系式可以化为(an1x)p(anx)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.训练2 (1)已知在数列an中，a11，则an_.答案n2n1解析ana112n1n，又n1时，a11适合上式，所以ann2n1.(2)已知在数列an中，a10，an1an(2n1)，则an_.答案(n1)2解析因为ana1(
9、a2a1)(a3a2)(anan1)013(2n5)(2n3)(n1)2，所以数列an的通项公式为an(n1)2.考点三数列的性质角度1数列的周期性例5 (2023哈尔滨质检)已知数列an的前n项积为Tn，a12且an11，则T2 024_.答案1解析a21，a311，a412，数列an是周期为3的数列.又a1a2a32(1)1，且2 02436742，T2 024(1)674a2 023a2 024121.角度2数列的单调性例6 已知数列an的通项公式为an，若数列an为递减数列，则实数k的取值范围为()A.(3，) B.(2，)C.(1，) D.(0，)答案D解析因为an1an，由数列an
10、为递减数列，知对任意nN*，an1an0，所以k33n对任意nN*恒成立，所以k(0，).角度3数列的最值例7 (2023合肥质检)若数列an的前n项积bn1n，则an的最大值与最小值之和为()A. B. C.2 D.答案C解析数列an的前n项积bn1n，当n1时，a1；当n2时，bn11(n1)，an1，当n1时也适合上式，an1，当n4时，数列an单调递减，且an1；当n5时，数列an单调递减，且an1，故an的最大值为a53，最小值为a41，an的最大值与最小值之和为2.感悟提升1.解决数列单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或常数
11、列.(2)用作商比较法，根据(an0或an0)与“1”的大小关系进行判断.(3)结合相应函数的图象直观判断.2.求数列的最大项或最小项的常用方法(1)函数法，利用函数的单调性求最值.(2)利用(n2)确定最大项，利用(n2)确定最小项.(3)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.训练3 (1)在数列an中，a11，anan31，则log5a1log5a2log5a2 023等于()A.1 B.0 C.log53 D.4答案B解析因为anan31，所以an3an61，所以an6an，所以an是周期为6的周期数列，所以log5a1log5a2lo
12、g5a2 023log5(a1a2a2 023)log5(a1a2a6)337a1，又因为a1a4a2a5a3a61，所以a1a2a61，所以原式log5(13371)log510.(2)(2023郑州调研)在数列an中，a11，anan1n(nN*，n2)，则的最小值是_.答案1解析由题意可得当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1，当n1时，a11满足上式，则.因为nN*，n12，所以(n1)3，则(n1)12，故21，当且仅当n1时，等号成立.(3)已知数列an的通项公式为ann2n1，若an是递增数列，则实数的取值范围是_.答案(，3)解析由题意得an1an，即(n
13、1)2(n1)1n2n1.化简得2n1，nN*，所以3.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1.数列an的前几项为，3，8，则此数列的通项可能是()A.an B.anC.an D.an答案A解析数列为，其分母为2，分子可表示为15(n1)5n4，因此通项公式可能为an.2.已知数列an的通项公式是an，那么这个数列是()A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列答案A解析an1an0，an1an，选A.3.(2023莆田质检)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.在某种玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)个圆环所需的最少移动次数，若a11，且an
14、1则解下6个环所需的最少移动次数为()A.13 B.15 C.16 D.29答案B解析a11，an1a2a123，a32a215，a4a327，a52a4113，a6a5215.4.(2023济南模拟)已知数列an满足an1，若a1，则a2 024()A.1 B. C.1 D.2答案D解析由a1，an1得a22，a31，a4，a52，可知数列an是以3为周期的数列，因此a2 024a36742a22.5.数列1，的第2 024项为()A. B. C. D.答案B解析观察可知数列的构成规律为1个1，3个，5个，(2n1)个，.注意到135(2n1)n2，而4421 9362 024，4522 0
15、252 024，由此知数列的第2 024项为.6.(2023珠海质检)数列an满足a11，a22且an2an(1)n，nN*，则该数列的前40项之和为()A.170 B.80 C.60 D.230答案C解析由an2an(1)n，nN*，得a2k2a2k1，a2k1a2k11，所以a2k1a2k2a2k1a2ka1a23，所以数列an的前40项之和为20(a1a2)60.7.数列an满足a11，对任意nN*，都有an11ann，则()A. B.2 C. D.答案C解析由an11ann，得an1ann1，则an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)21，则，则22.8.已知数列a
16、n前n项和Sn3n1，则数列an的通项公式an_.答案23n1解析当n2时，anSnSn13n13n1123n1，又当n1时，a1S12，满足上式，故an23n1.9.已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且满足2an1Sn2(nN*)，则数列an的通项公式an_.答案解析因为2an1Sn2，当n2时，2anSn12，由式减式得an1an，又当n1时，2a2S12，得a2a1，所以数列an是以1为首项，公比为的等比数列，an.10.(2023八省八校联考)数列an：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又
17、称为“兔子数列”.在数学上，斐波那契数列可表述为a1a21，anan1an2(n3，nN*).设该数列的前n项和为Sn，记a2 023m，则S2 021_.(用m表示)答案m1解析由anan1an2得anan2an1(nN*)，即S2 021a1a2a2 021a3a2a4a3a2 023a2 022a2 023a2m1.11.求下列数列an的通项公式.(1)a11，an1an3n；(2)a11，an12nan.解(1)由an1an3n得an1an3n，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)13132333n1，当n1时，a11，满足上式，an(nN*).(2)由
18、an12nan，得2n，当n2时，ana11222232n12123(n1)2.当n1时，a11满足上式，an2(nN*).12.已知数列an中，a11，其前n项和为Sn，且满足2Sn(n1)an(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)记bn3na，若数列bn为递增数列，求的取值范围.解(1)2Sn(n1)an，2Sn1(n2)an1，2an1(n2)an1(n1)an，即nan1(n1)an，1，ann(nN*).(2)bn3nn2.bn1bn3n1(n1)2(3nn2)23n(2n1).数列bn为递增数列，23n(2n1)0，即.令cn，即为递增数列，c12，即的取值范围为(，2).
19、【B级能力提升】13.(多选)若数列an满足：对任意正整数n，an1an为递减数列，则称数列an为“差递减数列”.给出下列数列an(nN*)，其中是“差递减数列”的有()A.an3n B.ann21C.an D.anln 答案CD解析对于A，若an3n，则an1an3(n1)3n3，所以an1an不为递减数列，故A错误；对于B，若ann21，则an1an(n1)2n22n1，所以an1an为递增数列，故B错误；对于C，若an，则an1an，所以an1an为递减数列，故C正确；对于D，若anln ，则an1anln ln lnln，由函数yln在(0，)上单调递减，所以an1an为递减数列，故D
20、正确.14.(多选)(2023南京模拟)对于数列an，若存在数列bn满足bnan(nN*)，则称数列bn是an的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是()A.若数列an是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列B.若an3n1，则其“倒差数列”有最大值C.若an3n1，则其“倒差数列”有最小值D.若an1，则其“倒差数列”有最大值答案ACD解析若数列an是单增数列，则bnbn1anan1(anan1)，虽然有anan1，但当10时，bnbn1，因此bn不一定是单增数列，A正确；an3n1，则bn3n1，易知bn是递增数列，无最大值，B错误，C正确，有最小值为b1.若an1，则bn1，
21、函数yx在(0，)上单调递增，当n为偶数时，an1(0，1)，bnan0，当n为奇数时，an11，显然an是单调递减的，因此bnan也是单调递减的，即b1b3b5，bn的奇数项中有最大值为b10，b1是数列bn(nN*)中的最大值，D正确.15.已知数列an，Sn为其前n项和，Sn2an11，a1，则an_.答案解析由Sn2an11，得Sn12an1，n2，得an2an12an，即an1an，n2.又a12a21，所以a2a1，所以数列an从第二项起是公比为的等比数列，所以an16.已知数列an中，an1(nN*，aR且a0).(1)若a9，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围.解(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a9，an1(nN*).结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4a5，a6a7an1(nN*).数列an中的最大项为a62，最小项为a50.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a8.故a的取值范围是(10，8).