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1、第五课时求值、证明、探索性问题题型一求值问题 例1 (2022新高考卷)已知点A(2，1)在双曲线C：1(a1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；(2)若tan PAQ2，求PAQ的面积解(1)将点A的坐标代入双曲线方程得1，化简得a44a240，得a22，故双曲线C的方程为y21.由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与双曲线C的方程，消去y整理得(2k21)x24kmx2m220，故x1x2，x1x2.kAPkAQ0，化简得2kx1x2(m12k)(x1x2)4(m1)0，故(m12k)4
2、(m1)0，整理得(k1)(m2k1)0，又直线l不过点A，即m2k10，故k1.(2)不妨设直线PA的倾斜角为，由题意知PAQ2，所以tan PAQtan 22，解得tan 或tan (舍去)由得x1，所以|AP|x12|，同理得x2，所以|AQ|x22|.因为tan PAQ2，所以sin PAQ，故SPAQ|AP|AQ|sin PAQ.感悟提升求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解训练1 (2022北京卷)已知椭圆E：1(ab0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴
3、交于点M，N.当|MN|2时，求k的值解(1)依题意可知解得故椭圆E的方程为y21.(2)由题可知直线BC的方程为y1k(x2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)联立直线BC和椭圆E的方程，得消去y整理得(4k21)x2(16k28k)x16k216k0，则由(16k28k)24(4k21)(16k216k)0，得k0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)因为|MN|3，所以r222，所以r，圆C的方程为(x2)2.(2)证明把x0代入方程(x2)2，解得y1或y4，即点M(0，1)，N(0，4)当ABx轴时，可知ANMBNM0.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1.联立方程消去
4、y得(12k2)x24kx60.16k224(12k2)0恒成立，设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2，x1x2.所以kANkBN0.所以ANMBNM.综合知ANMBNM.题型三探索性问题例3 (2023南阳模拟)已知O为坐标原点，椭圆：1(ab0)的右顶点为A，离心率为.动直线l：y(x1)与相交于B，C两点，点B关于x轴的对称点为B，点B到的两焦点的距离之和为4.(1)求的标准方程；(2)若直线BC与x轴交于点M，OAC，AMC的面积分别为S1，S2，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解(1)由对称性得点B在椭圆上，根据点B到的两焦点的距离
5、之和为4及椭圆的定义，得2a4，解得a2.因为的离心率为，所以，所以c.所以b2a2c2431，所以的标准方程为y21.(2)是定值，且该定值为1.理由如下：由消去x并整理得，(m24)y22my30.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则B(x1，y1)，且y1y2，y1y2.易得直线BC的方程为，令y0，得xy1x1my111114.所以当m变化时，直线BC与x轴交于定点M(4，0)所以1，即是定值，且定值为1.感悟提升此类问题一般分为探究条件、探究结论两种若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨
6、论，往往涉及对参数的讨论训练3 (2023广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(2，0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知点F(1，0)，直线l：x4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数，使得MFDNFD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)设M(x，y)，则kAMkBM且x2，所以点M的轨迹曲线C的方程为1且x2.(2)设N(4，n)，则直线AM为y(x2)，联立整理得(n227)x24n2x4n21080，由题设知xAxM，则xM，故yM.当xM1时，有1，解得n3，由对称性，不妨设n3，则y
7、M，此时MFD90，|DF|DN|3，则NFD45，有MFD2NFD.当xM1时，tanMFD，tanNFD，所以tan2NFDtanMFD，即MFD2NFD，所以存在 2，使得MFD2NFD.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1(2023大连模拟)已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率e，P为椭圆E上任意一点，且满足的最小值为1.(1)求椭圆E的标准方程；(2)经过右焦点F2的直线l与椭圆E交于A，B两点，若F1AB的三边长|F1A|，|AB|，|BF1|成等差数列，求F1AB的面积解(1)设点P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，则1，即yb2，(cx0，y0)
8、，(cx0，y0)，所以(x0c)(x0c)yxyc2xb2c2，所以当x00时，取得最小值1，即b2c21，即解得所以椭圆E的标准方程为1.(2)由题意可知2|AB|AF1|BF1|4a|AB|，所以|AB|4.当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x2，将x2代入1，得y，得|AB|，不符合题意当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x2)，由得(59k2)x236k2x36k2450.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，即|AB|4，整理得4，得k2，所以k，点F1到直线AB的距离为，所以F1AB的面积为42.2(2023南京六校联考)已知抛物
9、线C：y24x，点M(a，0)(a0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点(1)若a2，直线l的斜率为2，求AB的长；(2)在x轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足？若存在，指出点N的位置并证明；若不存在，请说明理由解(1)直线l的方程为y2x4，由得或所以可取A(4，4)，B(1，2)，故|AB|3.(2)存在x轴上的点N(a，0)满足题意，证明如下：设直线l的方程为xmya，由得y24my4a0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24a.kANkBN0，所以kANkBN0，可知AN，BN的倾斜角互补，所以ANMBNM.所以NM为ABN的角平分线
10、，由正弦定理，两式相除得.所以存在x轴上的点N(a，0)满足题意3(2021新高考卷)已知椭圆C的方程为1(ab0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2y2b2(x0)相切证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|.(1)解由题意，得椭圆半焦距c且e，所以a.又b2a2c21，所以椭圆方程为y21.(2)证明由(1)得曲线为x2y21(x0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x1，显然不合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN的方程为yk(x)
11、，即kxyk0.由直线MN与曲线x2y21(x0)相切可得1，解得k1，联立消去y并整理得4x26x30，所以x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|，所以必要性成立；充分性：设直线MN：ykxb(kb0)相切可得1，所以b2k21，联立消去y并整理得(13k2)x26kbx3b230，其(6kb)24(13k2)(3b23)24k20，所以x1x2，x1x2，所以|MN|，化简得3(k21)20，所以k1，所以或所以直线MN的方程为yx或yx，所以直线MN过点F(，0)，即M，N，F三点共线，充分性成立综上，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|.【B级能力提升】4(2023T8联考)已知
12、双曲线：1(a0，b0)过点P(，)，且的渐近线方程为yx.(1)求的方程；(2)如图，过原点O作互相垂直的直线l1，l2分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧请从两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分求四边形ACBD面积的取值范围；设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由解(1)由题意，ba，将点P(，)代入双曲线方程，得1，联立解得故的方程为x21.(2)选：易知直线l1，l2的斜率均存在且不为0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y
13、4)，直线l1的斜率为k，直线l2的斜率为.则l1的方程为ykx，l2的方程为yx.联立消去y并整理得(3k2)x230.因为直线l1与双曲线交于A，B两点，故3k20且112(3k2)0，k23，可取x1，x2，则|AB|x1x2|2.联立整理得(3k21)x23k20.因为直线l2与双曲线交于C，D两点，故3k210且212k2(3k21)0，所以k2，可取x3，x4，则|CD|x3x4|2.根据对称性可知四边形ACBD为菱形，其面积S|AB|CD|26666.k23，k22，(3，4，3(0，1，66，)四边形ACBD面积的取值范围为6，)选：假设满足题意的直线AD存在易知直线AD斜率存在，设直线AD的方程为ytxm，A(x1，y1)，D(x2，y2)联立整理得(3t2)x22tmxm230，(3t2)0且4t2m24(m23)(3t2)0，解得t23且t2m23.则x1x2，x1x2，|AD|.联立得即M.同理可得N，|MN|，又M，N是线段AD的三等分点，故|AD|3|MN|，可得t28m230，又，x1x2y1y2x1x2(tx1m)(tx2m)(1t2)x1x2tm(x1x2)m2(1t2)tmm20.得3t22m230.由得t2，无解，故不存在满足条件的直线AD.