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1、 二十八椭圆的简单几何性质1.椭圆x2+4y2=1的焦距为()A.32B.3C.23D.25【解析】选B.先将x2+4y2=1化为标准方程x2+y214=1,则a=1,b=12,所以c=a2-b2=32,故焦距2c=3.2.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为()A.x24+y23=1B.x24+y2=1C.y24+x23=1D.x2+y24=1【解析】选A.依题意得a=2,a+c=3,故c=1,b=22-12=3,故所求椭圆的标准方程是x24+y23=1.3.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且过点(45,0)的椭圆的方程是()A.x225+y2
2、20=1B.x220+y225=1C.x220+y245=1D.x280+y285=1【解析】选D.由x24+y29=1可知,所求椭圆的焦点在y轴上,且c2=5,故A,C不正确;再将点(45,0)分别代入B,D检验可知,只有D选项符合题意.4.已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223【解析】选C.不妨设a0,因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以c=2,所以a2=4+4=8,所以a=22,所以椭圆C的离心率e=ca=22.5.(多选题)若椭圆x2+my2=1的离心率为32,则m的值可以为()A.14B.12C.2D.4【解析】
3、选AD.化为标准方程为x2+y21m=1,则有m0且m1.当1m1时,a2=1,b2=1m,依题意有1-1m1=32,解得m=4,满足m1;当1m1,即0m1时,a2=1m,b2=1,依题意有1m-11m=32,解得m=14,满足0mb0),|AB|=8且AB的中点为O,则A的坐标为(-4,0),B的坐标为(4,0),即椭圆中c=4,则a2-b2=16,又由|BC|=6,故C的坐标为(4,6),椭圆经过点C,则有16a2+36b2=1,由解得a2=64,b2=48,故椭圆的标准方程为x264+y248=1.11.已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么
4、|+|的最小值是()A.0B.1C.2D.22【解析】选C.设P(x0,y0),则=(-1-x0,-y0),=(1-x0,-y0),所以+=(-2x0,-2y0),所以|+|=4x02+4y02=22-2y02+y02=2-y02+2.因为点P在椭圆上,所以0y021,所以当y02=1时,|+|取最小值2.12.(多选题)如图所示,假设某卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长
5、轴长,结合图中的轨道I和轨道II,下列式子正确的是()A.a1+c2=a2+c1B.a1+c1=a2+c2C.a2c1a1c2D.a2c10,则a1=a2+t,c1=c2+t,所以c1a1=c2+ta2+tc2a2,所以c1a1c2a2,即a2c1a1c2.13.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为55,且过P(-5,4),则椭圆的方程为_.【解析】因为e=ca=55,所以c2a2=a2-b2a2=15,所以5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.设椭圆的标准方程为x2a2+5y24a2=1(a0),因为椭圆过点P(-5,4),所以25a2+5164a2=1.解得a2=45.所以椭圆方
6、程为x245+y236=1.答案:x245+y236=114.如图,底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长为_cm,离心率为_.【解析】由题图知短轴长为底面直径12 cm,长轴长为12cos30=83(cm),则c2=(43)2-62=12,所以c=23,所以离心率e=ca=12.答案:831215.已知椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求的取值范围.【解析】由x29+y24=1,得F1(-5,0),F2(5,0),设P(x0,y0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).所以=x02-5+y02.又x029+y024=1,所以y02=4-49x02,代入,所以=59x02-1,因为0x029,所以059x025,所以-14,所以-1,4.16.在ABC中,AB=BC,cos B=-718,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_.【解析】设AB=BC=x,由cos B=-718及余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=x2+x2+2x2718=259x2,所以AC=53x.因为椭圆以A,B为焦点,所以焦距为2c=AB=x.又椭圆经过点C,所以AC+BC=53x+x=2a,所以2a=83x,所以e=ca=38.答案:38 - 7 -