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1、 第6节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx xk值域1，11，1R最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k
2、，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无常用结论1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ).(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ).3.对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.()(2)正切函数ytan x在定义
3、域内是增函数.()(3)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(4)ysin|x|是偶函数.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)余弦函数ycos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数ytan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k0时，ymaxk1；当k0时，ymaxk1.2.(必修一P214T10改编)函数ycos，x的值域是_.答案解析由x得x，所以ycos.3.(必修一P214T16改编)函数f(x)sin，xR的单调递减区间是_.答案(kZ)解析由2k2x2k，解得kxk，故f(x)的单调递减区间是
4、(kZ).4.函数f(x)2tan的定义域是_.答案解析由2xk，kZ，得xk，kZ.考点突破题型剖析考点一三角函数的定义域和值域例1 (1)函数ylg sin x的定义域为_.答案解析要使函数有意义，则有即解得(kZ)，所以2kx2k，kZ.所以函数的定义域为.(2)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_.答案解析设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.感悟提升1.三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常
5、借助三角函数的图象来求解.2.三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成yAsin的形式求值域.(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.训练1 (1)函数y的定义域为_.答案(kZ)解析要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图所示.在0，2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.(2)当x时，函数y3sin x2cos2x的值域为_.答案解析因为x，所
6、以sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2，所以当sin x时， ymin，当sin x或sin x1时，ymax2.即函数的值域为.考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(多选)(2023南京调研)设f(x)2cos 2x，则()A.f(x)是偶函数B.f(x)的最小正周期是C.f(x)的图象关于直线x对称D.f(x)的图象关于点对称答案AD解析f(x)2cos 2x，f(x)为偶函数，最小正周期T，A正确，B错误；f2cos ，故f(x)的图象不关于直线x对称，C错误；f2cos0，故f(x)的图象关于点对称，D正确.故选AD.(2)函数f(x)
7、3sin1，(0，)，且f(x)为偶函数，则_，f(x)图象的对称中心为_.答案，kZ解析若f(x)3sin1为偶函数，则k，kZ，则k，kZ，又(0，)，.f(x)3sin13cos 2x1，由2xk，kZ得x，kZ，f(x)图象的对称中心为，kZ.感悟提升有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos x的形式.(2)周期的计算方法：利用函数yAsin(x)，yAcos(x)(0)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解.(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函
8、数图象的对称轴、对称中心.训练2 (1)已知函数f(x)cos xcos 2x，则该函数为()A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为 D.偶函数，最大值为答案D解析函数f(x)的定义域为R，且f(x)f(x)，则f(x)为偶函数.f(x)cos xcos 2xcos x(2cos2x1)2cos2xcos x12，又cos x1，1，故f(x)的最大值为，故选D.(2)(多选)关于函数f(x)sin x，下列命题是真命题的为()A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的图象关于直线x对称D.f(x)的最小值为2答案BC解析f(x)si
9、n x的定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，又f(x)sin(x)f(x)，而f(x)f(x)，f(x)为奇函数，不是偶函数，A错误，B正确.fcos x，fcos x，ff，f(x)的图象关于直线x对称，C正确.当x时，f(x)0，故a，因为f(x)cos在a，a上是减函数，所以解得00，排除B，C，只有D满足.6.如果函数y3cos(2x)的图象关于点对称，那么|的最小值为()A. B. C. D.答案A解析由题意得3cos3cos3cos0，k(kZ)，k(kZ)，取k0，得|的最小值为.7.(多选)已知函数f(x)sin|x|sin x|，下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.
10、f(x)在区间单调递增C.f(x)在，有4个零点D.f(x)的最大值为2答案AD解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故A正确；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在上单调递减，故B不正确；f(x)在，上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，上只有3个零点，故C不正确；ysin|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，f(x)可以取到最大值2，故D正确.8.(2023泸州诊断)写出一个具有下列性质的函数f(x)_.定义域为R；函数f(x)是奇函数；f(x)f(x).答案sin 2x(答案不唯一)解析由f(x
11、)f(x)知要求函数的周期为，故要求的函数可以是f(x)sin 2x，答案不唯一.9.若函数f(x)sin(x)cos x的最大值为2，则常数的一个值为_.答案(不唯一)解析因为sin(x)1，cos x1，又函数f(x)sin(x)cos x的最大值为2，所以当且仅当sin(x)1，cos x1时函数f(x)取到最大值，此时x2k，kZ，则sin(x)sin 1，于是2k，kZ时均满足题意，故可选k0时，.10.(2023沈阳一模)函数f(x)2cos xcos 2x的最大值为_.答案解析f(x)2cos xcos 2x2cos2x2cos x1，设tcos x，t1，1，g(t)2t22t
12、12，则当t时，g(t)max，函数f(x)2cos xcos 2x的最大值为.11.已知f(x)sin.(1)求函数y 的最小正周期；(2)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值.解(1)因为f(x)sin，所以fsinsinsin 2xcos 2x，所以y(sin 2xcos 2x)21sin 4x，所以函数y的最小正周期T.(2)当x时，2x，所以1sin，所以f(x)1，所以当x时，函数f(x)的最大值为1，最小值为.12.已知函数f(x)4sin xsin1(0)的最小正周期为.(1)求及f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)图象的对称中心.解(1)f(x)4sin x12sin2
13、x2sin xcos x11cos 2xsin 2x1sin 2xcos 2x2sin.最小正周期为，1，f(x)2sin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)令2xk，kZ，解得x，kZ，f(x)图象的对称中心为，kZ.【B级能力提升】13.(多选)(2023株洲模拟)若直线x是函数f(x)asin xbcos x(ab0)图象的一条对称轴，则下列说法正确的是()A.baB.直线x是函数f(x)图象的一条对称轴C.点是函数f(x)图象的一个对称中心D.函数f(x)在上单调递减答案ABC解析对于A，因为直线x是函数f(x)图象的一条对称轴，即f(0)
14、f，所以asin 0bcos 0asin bcos ，得ba，所以A正确；对于B，由A选项可知f(x)asin xacos x2asin，则f2asin2asin2a，所以直线x是函数f(x)图象的一条对称轴，所以B正确；对于C，因为f2asin2asin 0，所以点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以C正确；对于D，当x时，x，所以当a0时，f(x)在上单调递减，当a0时，f(x)在上单调递增，所以D错误.故选ABC.14.若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.答案解析f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x单调递增；当x，即x时，y
15、sin x单调递减.由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减，知，.15.已知函数f(x)2sin的图象的一个对称中心为，其中为常数，且(1，3).若对任意的实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值是_.答案解析因为函数f(x)2sin的图象的一个对称中心为，所以k，kZ，所以3k1，kZ，由(1，3)，得2.由题意得|x1x2|的最小值为函数的半个周期，即.16.已知函数f(x)2sina1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)在(2)的条件下，求满足f(x)1，且x，的x的取值集合.解(1)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为当x时，f(x)取得最大值，即f2sin a1a34.解得a1.(3)由f(x)2sin21，可得sin，则2x2k，kZ或2x2k，kZ，即xk，kZ或xk，kZ，又x，可解得x，所以x的取值集合为