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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）数学（文）一选择题1.已知全集1,2,3,4,5U，集合1,2M，3,4N，则)(UCMN（)A.5B.1,2C.3,4D.1,2,3,42.设43izi，则z（）A.34i B.34iC.34iD.34i3.已知命题:,sin1pxRx；命题|:,1xqxR e，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pq C.pqD.()pq答案：A解析：根据正弦函数的值域sin 1,1x，sin1x，故xR，p为真命题，而函数|xye为偶函数，且0 x 时，1xye，故xR，|1xye恒成立.则q也为真命题，所以pq为真，选 A.4.函数()
2、sincos33xxf x 的最小正周期和最大值分别是（）A.3和2B.3和2C.6和2D.6和2答案：C解析：()2sin()34xf xmax()2f x，2613T.故选 C.5.若,x y满足约束条件2,3,4,yxyxy则3zxy的最小值为（）A.18B.10C.6D.4答案：C解析：根据约束条件可得图像如下，3zxy的最小值，即3yxz，y轴截距最小值.根据图像可知3yxz 过点(1,3)B时满足题意，即min336z.6.225coscos1212（）A.12B.33C.22D.32答案：D解析：2222223()sincos25coscoscoscoscos1212121212
3、1262选 D.7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16答案：B解析：在区间1(0,)2随机取1个数，可知总长度12d，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d，根据几何概型公式123132dpd，选 B.8.下列函数中最小值为4的是（）A.224yxxB.4|sin|sin|yxxC.222xxyD.4nlnlyxx答案：C解析：对于 A，22224213(1)33yxxxxx.不符合，对于 B，4|sin|sin|yxx，令|sin|0,1tx，4ytt，根据对勾函数min145y 不符合，对于 C，242222xxxxy，令20
4、 xt，442224ytttt，当且仅当2t 时取等，符合，对于 D，4nlnlyxx，令lntxR，4ytt.根据对勾函数(,44,)y ，不符合.9.设函数1(1)xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x B.1()1f x C.1()1f x D.1()1f x 答案：B解析：12()111xf xxx ，()f x向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g xx为奇函数.所以选 B.10.在正方体1111ABCDABC D中，P为11B D的中点，则直线PB与1AD所成的角为A.2B.3C.4D.6答案：D解析：做出图形，11/ADBC，所以1PBC为异面直线所成
5、角，设棱长为1.12BC，122B P，122PC，62BP.2221111312322cos226222BCBPC PPBCBP BC，即16PBC，故选 D.11.设B是椭圆C:2215xy的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为A.52B.6C.5D.2答案：A解析：方法一：由22:15xCy，(0,1)B则C的参数方程：5cossinxy.22|(sin1)(5cos)PB24sin2sin6212554(sin)442.max5|2PB，故选 A.方法二：设00(,)P xy，则220001(1,1)5xyy，(0,1)B.因此22200|(1)PBxy将式代入式化简得：2201252
6、5|4()444PBy，当且仅当014y 时|PB的最大值为52，故选 A.12.设0a，若xa为函数2()()()f xa xaxb的极大值点，则A.abB.abC.2abaD.2aba答案：D解析：2()2()()()()(32)fxa xa xba xaa xaxba当0a 时，原函数先增再减后增.原函数在()0fx的较小零点时取得极大值.即23aba，即ab，2aab.当0a 时，原函数先减再增后减.原函数在()0fx的较大零点时取得极大值.即23aba，ab，2aab，故选 D.二、填空题13.已知向量(2,5)a，(,4)b，若/ab，则.答案：85解析：由已知/ab可得82 45
7、5.14.双曲线22145xy的右焦点到直线280 xy的距离为.答案：5解析：22145xy的右焦点为(3,0)，到直线280 xy的距离22|3 8|512d.15.记ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c，面 积 为3，60B,223acac，则b.答案：2 2解析：由面积公式1sin32SacB，且60B，解得4ac，又由余弦定理2222cosbacacB，223acac，且0b 解得2 2b.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：或解析：由高度可知，侧视
8、图只能为或.侧视图为，如图（1），平面PAC 平面ABC，2PAPC，5BA BC，2AC，俯视图为.俯视图为，如图（2），PA平面ABC，1PA，5ACAB，2BC，俯视图为.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s.（1）求x，
9、y，21s，22s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210ssyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：9.8 10.3 1010.29.99.8 1010.1 10.29.71010 x；10.1 10.410.1 1010.1 10.3 10.610.5 10.410.510.310y.211(0.040.090.040.01 0.040.01 0.040.09)10s 10.360.03610221(0.040.01 0.040.090.040.090.040.01 0.04)10s
10、 10.40.0410.（2）10.3 100.3yx22120.0360.04221010ss2 0.0076.则0.30.092 0.0760.0304，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM.（1）证明：平面PAM 平面PBD（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积.答案：见解析解析：19.设na是首项为1的等比数列，数列 nb满足3nnnab.已知1a，23a，39a，成等差数列.（1）求na和 nb的通项公式；（2）记nS，和nT分别为na和 nb的前n项和
11、.证明：2nnST.答案：见解析解析：设na的公比为q，则1nnaq，因为1a，23a，39a成等差数列，所以2192 3qq，解得13q，故11()3nna，11313(1)12313nnnS.又3nnnb，则1231123133333nnnnnT，两边同乘13，则234111231333333nnnnnT，两式相减，得23412111113333333nnnnT，即1111(1)1133(1)332333121nnnnnnnT，整理得31323(1)432 342 3nnnnnnT，323314322()(1)042 3232 3nnnnnnnTS，故2nnST.20.已知抛物线C：22(
12、0)ypx p的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程，（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF ，求直线OQ斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为p，则2p.抛物线c的方程：24yx.（2）设点200(,)4yPy，(,)QQQ xy，(1,0)F.9PQQF .2022000009499(,)9(1,)4104910QQQQQQQQQQyyxxxyxyyxyyyxyy 则0200011193992444QOQQyykyyxy.直线OQ斜率的最大值为13.21.已知函数32()1f xxxax.（1）讨论()f x的单调性；（2）求曲线()yf x过坐标原
13、点的切线与曲线()yf x的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1）2()32fxxxa（i）当4 120a，即13a 时，()0fx恒成立，即()f x在()f x在xR上单调递增.（ii）当4 120，即13a 时，()0fx解得，111 33ax，211 33ax.()f x在11 3(,)3a，11 3(,)3a单调递增，在11 311 3(,)33aa单调递减，综上所述：当13a 时，()f x在R上单调递增；当13a 时，()f x在11 311 3(,)33aa单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)t ttat，切线斜率2()32kf ttta.又321ttatkt，可得
14、322132ttatttat.化简得2(1)(21)0ttt，即1t.切点为(1,1)a，斜率1ka，切线方程为(1)yax，将(1)yax，321yxxax联立可得321(1)xxaxax，化简得2(1)(1)0 xx，解得11x，21x .过原点的切线与()yf x公共点坐标为(1,1)a，(1,1)a .22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为)(2,1C，半径为1.（1）写出C的一个参数方程;（2）过点)(4,1F作C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）C的参数方程为2cos1sinxy（为参数）（2）C的方程为22
15、(2)(1)1xy当直线斜率不存在时，直线方程为4x，此时圆心到直线距离为2r，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)yk x，化简为410kxyk，此时圆心(2,1)C到直线的距离为2|2141|11kkdrk，化简得22|1kk，两边平方有2241kk，所以33k 代入直线方程并化简得3340 xy或3340 xy化为极坐标方程为5cos3 sin43sin()436或cos3 sin43sin()436.23.已知函数()|3|f xxax.（1）当1a 时，求不等式()6f x 的解集；（2）若()f xa，求a的取值范围.答案：见解析解析：当1a 时，()6|1|3|6f xxx，当3x 时，不等式136xx，解得4x ；当31x 时，不等式136xx，解得x；当1x 时，不等式136xx，解得2x.综上，原不等式的解集为(,42,).（2）若()f xa，即min()f xa，因为()|3|()(3)|3|f xxaxxaxa（当且仅当()(3)0 xa x时，等号成立），所以min()|3|f xa，所以|3|aa，即3aa或3aa，解得3(,)2a.