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1、2021年浙江省“超级全能生”高考数学联考试卷（3 月份）一、选 择 题（共io小题）.1.已知集合=川/4,Q=X-1X 3 ,则 PC Q=（）A.x|2 x 3 B.x-2 x 3 C.x|-1J C 0，则z=x+2 y的取值范围是（）x+y-l 40A.-3,2 B.-3,1 C.2,+8）D.-3,+）4.己 知a,都大于零且不等于1,则是“（-1）（6-1）0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.己知函数/（X）=卜1-1/用,其图象大致为（）c.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.373 B.273 C.D.
2、7.在直角坐标系中，已知0 为坐标原点，A(-1,0),8(1,0).点 P 满足总A&PB=3且|P4|+|P3|=4,则|O P|=()A 7后 R V85 r值13 5 13 28.已知离散型随机变量牛，电的分布列为：a 1 3 5P a 工 b0 12 4 5P b X X a4 4则下列说法一定正确的是()A.E(日)E(0)B.E($)D (0)D.D (&)翻转至AA D,若点2 在平面A O C内的射影H恰好落在线段A C上，则二面角B -O C-A的正切的最大值为()A.浮 B.1 C.&D.73010.设数列 X,满足x e=x“2-2 x”，吒N*,且对于任意心#0,都存
3、在正整数使得用相,则实数?的最大值为()A.I一 或 B.14 C.2 D.32 2二、填空题：共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11.函数f(x)=c o s2x+s i n x c o s x,则/(x)的 最 小 正 周 期 为,对 称 轴 方 程 为.12 .二 项 展 开 式(l-2 x)5=40-1+叱2 -K 3+皿4 ,35,贝 IJ 3 =,al a2 a3 a4 a5 _-1 3 .已知圆内接四边形A BC。的边长8 c=2 A B=2,C D=D A =j,则AC=,四边形A B C D的面积为.1 4 .已知直线/：y=kx+b(A 0)与圆N+)
4、,2=I相切，且 被 圆(x-4)2+产=4截得的弦长为 2我，则 k-,b-.1 5 .已知实数x,y满 足/+产-孙=3,则5=9产-4 xy的 最 大 值 为.1 6.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有 种不同的答题顺序.1 7 .已 知 非 零 向 量 Z,E的 夹 角 为 3，若 存 在 两 不 相 等 的 正 实 数 箱，入 2,使得0(a -入 b)(入 2 a-b)=0，则 入 i a 2 的 取 值 范 围 为.三、
5、解答题：共 5小题，共 7 4 分.1 8 .已知锐角 A BC 中，a s i r h 4+J s i n C=c s i n C+b s i n&(I )求 A；(H )求 s i n B+c o s C 的取值范围.1 9 .如图，在三棱锥P-A B C 中，P A=2,P B=A C=,尸为线段B C的中点.已知 A C L L A 8,且二面角P-A2-C的平面角大小为60。.(I )求证：ACL P F-(I I )求直线P F与平面P A C所成角的正弦值.2 0 .已知%,儿 分别是等差数列和等比数列，a=b=,2=。2 0,且切去及，“e N*.(I )若 S,b3,4 3
6、成等差数列，求 加,办 的通项公式；(I I)当 2 时，证明：an 0)的交点，直线4 P,A 2 P 分别与抛物线C 2 交于M,N两 点(M,N不同于P).(I )求证：直线MN垂直x 轴；(H)设坐标原点为。，分别记0 P M,0 M N 的面积为S i,52,当/0 P 4 为钝角时，2 2.已知。0,函数f (%)=3.xz+a(I )讨论函数/(x)的单调性；(I I )已知函数/(X)存在极值点X”X 2,求证：1/(X 1)-/(X 2)|42 a参考答案一、选 择 题（共10小题）.1.己知集合尸=X|NV4,Q=X-l x 3 ,则 P C Q=（）A.x|2x3 B.x
7、|-2x3 C.x-lx2 D.A:|-lx3解:：P=x-2x2,Q=x-x3,.*.PnQ=x|-lx2.故选：c.2.欧拉公式融=cos0+isin。（e为自然底数，i为虚数单位）是瑞士数学家欧拉最早发现的,是数学界最著名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限 是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解:由题意得:e2,=cos2+isin2,而 cos20,故 点（cos2,sin2）在第二象限,故选：B.y-2x-l403.若实数x,y满足约束条件0，则z=x+2y的取值范围是（）x+y-140A.-3,2 B.-3,1 C.2,+8）D.
8、-3,+0）解：由约束条件作出可行域如图，V2v-x-l=0海/,y-2x-l=0由图可得，B(0,1),联立 2 y-x+l=0,解得人(一 i,一 i),(y-2 x-l=0作出直线x+2 y=0,由图可知，平移直线x+2y=0至 A 时，z=x+2y有最小值为-3,至 B 时，z 有最大值为2.；.z=x+2y的取值范围是-3,2J.故选：A.4.己 知“，6 都大于零且不等于1,则“log心 1”是“(a-1)(“1)0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解:a,。都大于零且不等于1,bga匕 l=logaa,若 0 4 匕 0,所 以(
9、a-1)(6-1)0,若“1 时，则 所 以(a-1)(b-l)0,所以可以推出“(a-1)(b-1)0 ，满足充分性；因 为(0,所以 a l,61 或 0 a l,O 0,不能推出log“6 l,不满足必要性；所 以“log法 1”是“(a-1)(6-1)0”的充分不必要条件.故选：A.5.已知函数/(x)=卜卜1 国,其 图 象 大 致 为()c.D.解：函数/(x)的定义域为(-8,0)U(0,+8),函数/(-x)=_x|一%-X|=-Ix I -1 lnx=-f (x),-x X所以函数f(x)为奇函数，故排除BD,因为/(l)=0,/(y)=-加 1=/20,故排除c,故选：A.
10、6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()c挈D.羊解：由三视图知几何体是一个三棱柱，且在一个角上截去一个三棱锥C-ABD,侧棱与底面垂直，底面是以2 为边长的等边三角形，高为3,且。是中点，则 8 0=1,几何体的体积 v=y X 2X 73 xS-X y x 1 X 7 3 X 3乙 0 L t=M 冬学7.在直角坐标系中，己知。为坐标原点，A(-1,0),B(1,且俨4|+|P B|=4,则|O P|=()A.7 A13r56L -13.点 P 满足 kpA kpB=3D.原2解：设点 P (x,y),A(-1,0),B(1,0),kP A=y,kP B=y,x+l X-l所以
11、 kP A kpB=-9-=3,x+l x-12x2-2 1=1,xWO,3又|P A|+|P 阴=4,所以点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，所以 2=4,a=2,c=1,按=2-。2=3,2 2桶圆方程为3二 十 匚=1,4 3由解得 ，2 9贝皿p尸斤彳=昌|=塔故选：B.8.已知离散型随机变量日，区的分布列为:a i 3 5P a X b2p1245b77a则下列说法一定正确的是（）A.E(日)E(0)B.E(&)D(3)D.D p i)-5)2(-4 4 2b)=-20(b*2+等(1,鲁,：.D(日)Xn=Xn 3 或 X 0,:存在正整数 使得而以”，解:因为/（x）=c o s因+
12、si nxc o sx=所以函数的最小正周期7=令 2 元+故需m W3,此时?的最大值为3,若数列 X,J 是递减数列，则 Xn+1=Xn2-2Xn Xn 0 XnsinO=a（1 X 2+GX有）X亨=2 1,故答案为：夜，宇.1 4.己知直线/：y=kx+h（4 0）与圆/+），2=i相切，且 被 圆（x-4）?+y2=4截得的弦长为 2百，则 k=_*解：由直线/：y=kx+b（k 0）与圆/+y 2=i相切，又直线/：y=kx+b（左 0）被 圆（x-4）?+y2=4截得的弦长为2 ,.,答”产+（百）2=4,Vk2+1联立可得，卜二巨（女。），b=-2k=秘 巨.3 3故答案为：返
13、，一 2 幽.3 31 5.已知实数x,y 满足/+）2-芍;=3,则 5=工 2俨-4xy的 最 大 值 为 5【解答】解N+y2-孙=3,，/+y2=冲+3,又N+）a=bF+|y|2.2My|=2xy.,.盯+32|必 若 肛 NO时，xy+322xy,.孙W3,xyVO 时，孙+3 2-2xy,.xy-1-1W孙 W3设/=孙，则 S=f2-4f=（z-2）2-4,zel-1,3,二当/=-1 时，S,MX=9-4=5,:.S 的最大值为5.故答案5.16.某次灯谜大会共设置6 个不同的谜题，分别藏在如图所示的6 只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下
14、面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6 个谜题，则一名参与者一共有6 0 种不同的答题顺序.解：由题意可知，只需要同一列顺序为从下到上即可，一共6 只灯笼，第一步，从 6 个选3 个，第二步，从 3 个选2 个，最后回答剩下的哪一个，故有 C63c32Gl=60 种，故答案为：60.17.已知非零向量彳，4 的 夹 角 为 口，若 存 在 两 不 相 等 的 正 实 数 入 1,入 2,使得6（a-入 内）（入2a-b）=0）则入1入 2的取值范围为（0,刍 5 3,+8）.解：由（a-入 b）（入 2 a-b）=0,可得入2 -（1+入 入2）a-b+入 b=0即 入 2a+入 1/=
15、（1+入 入2）a b，2 2-:入 2 a+入 i b 2 J 入 人 会 I a|,|b|,（1+入 i 入 2）a|b|cos丁 2y 入 i 4 2 I a I *|b|,即 通(1+入i 入2)./1 X公设d 入入 2=t,/0,可 得 愿 干-肌+百)。，解得0 O即。人1 入2 !或 人 次 2)3；故答案为：(0,yU 3,+8).三、解答题：共 5 小题，共 74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1 8.已知锐角ABC 中，asirL4+3bsinC=csinC+/?sinB.(I)求 A；(II)求 sinB+cosC的取值范围.解：(I)V6rsirL4
16、+y3&sinC=csinC+Z?sinB.:.a2+y/2hc=c2+b2.即b2+c2-。2=小为小得 cosA=b2+c 2-a 2=j =返,2bc 2b c 2TT贝IJA=3ttK 7T(II)sinB+cosC=sinB+cos(n-B)=sinB-cos(-卜B)6 6=5/sin(B-),6 三角形是锐角三角形,K 二 0 V 3 -,2八 冗0 VCV-,2A6B+c*.得-B兀2,.兀 n 兀.-B-,3 2e 兀 TT 兀则-,6 6 3冗 TT 7T则 sin-sin(B-)sin-,6 6 3即工sin(B-)返，则 返 伤in(B-)、EF、P E、P D,因为
17、PA2MA82+PC2,所以 A2_LPB,所以NPB。为二面角P-A 8-C 的平面角，于是NP8D=60,又 P B=B D=1,所以P8O 为正三角形，所以 即因为 EFCA 8,所以 BOLEF,又因为P EClEF=E,EFu平面尸EF,PEu平面PE凡所以8 0,平面P DE,又因为PFu平面P Q E,所以BO_LPF,又因为ACB,所以ACLPF.(2)解；建立如图所示的空间直角坐标系，PE=PAsin60=1 返=返，2 2因为 AB_LBC,A B 1 P B,所以 4B_L平面 PB。，因为ABu平面A BCD,所以平面A2C_L平面PCD,又因为P E L S,平面A8
18、CDA平面PCZ)=C),所 以 PEL平面4 8 8,所以各点坐标如下：4(0,0,0)网0,百0),。(1,0,0),P号百等内乙 /W 4而吗后?，百=(-3技争而=(0,除孽,乙 乙 乙 乙 乙 U设平面P A C 法向量为：=(x,y,z),AP*111=4-x+V3yHy-z=o厂 ，令 y=l，7=(0,l,-2),CP-m=-yx-H/3Vt-z=0一 返所以直线P F与平面P A C所 成 角 的 正 弦 值 为 金 1-=二 二 一=逗iFPH Im l 导脏 102 0.己知 ,d 分别是等差数列和等比数列，0=从=1,2=岳 0,且n eN*.(I )若。2,。3,。3
19、 成等差数列,求 ，瓦 的通项公式;(I I )当 2 时，证明：an 0 且 q Wl,a=h=19 ai=bi,即 l+d=%又 4 2,b3,0 3 成等差数列河得 2/?3=。2+。3,即 2 q 2=2+3 d,解得d=-,夕=!，2 2贝 IJ 斯=1 -(n-1)=2 2；瓦=(/)r ；(I I )证明：由 m=b i=l,a2=b2.即 l+d=q,dW 0,q 0 且 qW l,则 2 时，仇=qi=(l+J)|=1+。1 /+。2 /+.+厂|1+(-1)=,n-1 n-1所以当n 2时，a,t 0)的交点，直线A|P,A2P分别与抛物线C2交于M,N 两 点(M,N 不
20、同于P).(I)求证：直 线 垂 直 x 轴；(II)设坐标原点为0,分别记0PM,0M N的面积为Si,S 2,当N 0 P 4 为钝角时，S.求廿的最大值.S2解：(I)证明：根据题意可得4(-2,0),4(2,0),设 P(xojo),M(xi,yi),Mx2,y2),XQ+2则直线AP为x=y-2,y。.x y-2联立4y。,y2=2px2p(x0+2)，消去 X 得 y2-=-y+4P=0,y。所以 yiyo=4p,4P所以y y02P y。x0-2直线A2P的方程为X=_y+2,VO-同理可得联立直线A2P与抛物线的方程，得)2刈=-4p,4p 8P所以”=-:/2=-2,yo y
21、0所以X|X2,所以直线MN垂直于x 轴.(H)设尸(我,冲)是抛物线于椭圆的交点,所以V2X。42yQ+y/=i=2px04-2所以 S SAOPSA O A.M-SA O A.P=(9A|J-I|-3。4|)，()|=产 丫。22 y01 3 2 P.S?=SOMN=|x 1 1 1 2 yl|=|2，2 yS 4 2V 2 2 2所以甘一 i%一%州 2|=鼻-(zo _ j2+zo _ j=i-i o _+2 ii,2 32P2 2 4P 4P 8 4因为N O/V h 为钝角，所以而庆 2 P。，即 加-2 xo+yo2 O,2 2 9将泗2=I -2 一代入 X 02-2 羽+1
22、-久0,解得5 XO 0,函数/(x)=-.x+a(I )讨论函数/(x)的单调性；(I I )已知函数/(X)存在极值点X I,X 2,求证：，()-f(X 2)|,ex(a+x2-2x)_ ex(x-l)2+a-l-f 3=(a+J)2 Z)2 因为a 0,函数的定义域为R,若 a2 l,f(x)0恒成立，故/(x)在 R上单调递增,若 0。1,则当 V I-N 1-a时，当 xl+1-多 时，f（x）0,此时/（x）单调递增，当 1 -、1-aVxV l+Y 1-a时,f（1）0 此时/（x）单调递减，故2 1 时，/（x）在 R 上单调递增，若 0。1,/（外 在（-8,1-五%），（1+百 彳，+8）上单调递增，在（1 -百 彳，1+A 工）上单调递减；（/）由函数/（x）存在极值点为，xi,结 合（/）得,尤 1 =1 -V l-a,及=1+由1-,-a+X 2 x -x22+a=2 x2，x.x7:f（Xl）=，f（X2）=，2 x 2 x 2设m=N _ 则 1 -。=m2,因为*2 x+l,贝 1 J /1 a（1+4 l-a）+e V I（5/1-a，1）=3（1+加）-评（1 -相）（1+m）（1-m）=nfi=-a,.一 小）;.：-e t 二ee-g（l 但）飞 0后（1），2X/2 2a=自 5 台（l+V 1-a）W 1-a V l_ a_ 1）