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1、2021年浙江省台州市温岭中学高考数学模考试卷(4 月份)一、选 择 题(共io小 题).1.已知集合4=冷=亚 彳 ,B=x-3x0,b0)的 离 心 率 为 则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为()A.x-V2y=0 B.亚x-y=0 C.亚x y=0 D.x 亚y=03.若实数x,y满足约束条件(y l,b l,则“a b 是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设 a,be（0,微），随机变量X 的分布列如表所示（）X02 aP12bA.E(X)增大。（X）增大B.(X)增大。（X）减小C.(X)为定值，。（X）先增大后减小D.(X
2、)为定值，D（X）先减小后增大EEE8.如图，已知正四棱锥尸-ABC。的各棱长均相等，M 是 4 B 上的动点（不包括端点），N是AD的中点，分别记二面角P-MN-C,P-AB-C,P-MD-C 为 a,0,丫，则（）aPyD.p a 0）的左、右焦点分别为尸 1、尸 2,P 是椭圆a2 3上位于第一象限内的一点，且直线F2尸与），轴的正半轴交于A 点，A PQ 的内切圆在边P Q 上的切点为。，若|F iQ|=4,则该椭圆的离心率为（）（y-a）2+x I x I x 110.已知函数/（%）=1 ，若函数y=/（x）-2 恰有两个零点，则ex+1+f（-l）-l,x -l实数”的取值范围为
3、（）A.3-1.2）B.3-1）UE1,2）C.底 DU 1,Q）D.V3-1-g二、填 空 题（每小题3分，满分21分）1 1 .复数z=x+yi（x,yeR）的共朝复数为z，已知z，z=4，z-z=4 i（，为虚数单位），z的虚部为，z=.12.已知（x+2）=ao+aix+a2%2+.+=，ZVI B C的 面 积 等 于.15.马伯庸的小说 长安十二时辰中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫 色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表 512种不同的信息.现要求每
4、一行，每一列至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求），那么一共可以传递 种 不 同 的 信 息.（用数字作答）16.已知x 0,y 0,且x+8 y+3 4 Z J，则二一的最大值为_.x y x+2 y17.在平面中，已知|同|=5,|菽|=2&,正=入 族+2 (1 -入)菽(入6 R)，点P在A B上,若I mI的最小值为4,则 说.玩 的 最 小 值 为.三、解 答 题(共5小题，满分45分)J T18.若函数J (x)=2 s i n(x+)c os x,求函数/(x)的对称中心与单调递增区间.619 .已知矩形A B C。中，A B=2,AD=5.E,尸分别在A O,8 c上.且
5、A E=1,B F=3,沿E厂将四边形A E F B折成四边形A EFB1,使 点B 在平面C D E F上的射影H在直线C E上.(I )求证：A。平 面 F C；(I I)求二面角A -O E-尸的大小.2 0.正项等差数列%和等比数列 d满足0 =1,包2+三=2用 马b l 2 bn 2n(I)求数列&,瓦 的通项公式；b -1(I I )若 数 列 玛=7-(bn-an)(bn+1-an+1)=C i+c 2+求最大整数处,使叫 翳2 1.如图：己知抛物线C：尸=与 尸(12)，。为不在抛物线上的一点，若过点。的直线的/与抛物线C相交于A 8两点，直线P A与抛物线C交 于 另 一
6、点 直 线P B与抛物线C交于另一点N,直线M B与N A交于点R.(1)已知点4的坐标为(9,3),求点M的坐标；(2)是否存在点。，使得对动直线/，点R是定点？若存在，求出所有点Q组成的集合;若不存在，请说明理由.2 2.已知函数/(x)=xlnx,g(x)=x2+ax-1,a GR.(I )若对任意+8),不等式/J)w a g (尤)恒成立，求a的取值范围;(I I )已知函数/(x)f(X)|-a 有 3 个不同的零点 XI,X2,X3(X|X2 Vl+2a-V l-2a-参考答案一、选 择 题（共10小题）.1.己知集合4=处=我 彳 ,B=x|-3 x2,又集合 B=M-3x4)
7、,所 以(CRA)CB=X2 0,b 0）的 离 心 率 为 则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为（）A.x-V2y=0 B 亚x-y=0 C.亚x土y=0 D.x 亚y=02 2 _解：双 曲 线 七-七l（a 0,b 0）的离心率为F，a bz2.,2 卜可得=F，即3争 一=3,可得且土.a a2 a则该双曲线的渐近线方程为：x 士 石y=0.故选：D.x+yC33.若实数x,y满足约束条件,y 0 时，/（x）1,b l,则 b”是“b C a*的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件_x ex（x-i）解：设/（X）=旦-,则，（X
8、）=旦 当 ,X X,Ax（x-1）当 x l 时，f（x）=-2-0,X二 当犬1时，f（X）单调递增，a b：.abaeh.a b故选：C.7.设 m be（0,*）,随机变量X的分布列如表所示（）X 0 2a P aA.E（X）增大。（X）增大B.E（X）增大。（X）减小C.E（X）为定值，D（X）先增大后减小D.E（X）为定值，。（X）先减小后增大b2解：由题意可得4+8+5=1,所以匕=2 -2 2E(X)=x a+2ax+1X b=+_-a=_|，D(X)=(-0)22*a+(春-2a)2 X J+R-l)2 X b=2*-。+)=2(a-；)22+J,Z N N 4ad因 为 我
9、（o,所 以 当 我（o,-1）时，D（%）单调递减，当（/，/）时,D（X）单调递增,故选：D.8.如图，已知正四棱锥P-AB CD的各棱长均相等，M是AB上的动点（不包括端点），N是A。的中点，分别记二面角P-M N-C,P-A B-C,P-MD-C为a,p,y,则（）A.yVa0 B.aYP C.apy D.pa OE,0M0F,tanp 最小,；邛 最小，故选：D.9.如图，焦点在x轴上的椭圆M+=l （0）的左、右焦点分别为H、Fi,P是椭圆a2 3上位于第一象限内的一点，且 直 线 与），轴的正半轴交于A点，APQ的内切圆在边P B上的切点为。，若|B Q=4,则该椭圆的离心率为（
10、）。亨D.平解：如图，的 内 切 圆 在 边 上 的 切 点 为Q.根 据 切 线 长 定 理 可 得|F 1 M=|F 1 QI，|PM=|PQIV|AF i|=m，：.AM+FiM=AN+PN+PF2,=|尸M+IPB I=PQ+m,：.PQ=FiM-PFi,则|PF1|+|PF2|=|QQ|+|PQ|+|PF2|=|F1Q|+|FM-|PF2|+|PF2|=2|F1Q|=8,即 2 aS,a=4,又分=3,.c2=a2-按=1 3,则 c=V13，椭圆的离心率e=二 垣.a 4故选：D.1 0.已知函数/(亢)=(x-a)2+x|x|,ex+1+f(-l)-l,x -lX C-1若函数y
11、=f(x)-2 恰有两个零点，则实数”的取值范围为()A.卬 -1,2)B.愿-U U U,2)c.(V 3-1 u 1.Q)D.的-1,Q)解:由 题 意,函 数/=可转化为2 x2-2a x+a2,x)0f (x)=-2a x+a2,-l 4 x 0ex+a 2+2a-l,x 4-l函数y=f(x)-2 恰有两个零点，即分段函数y=/(x)的图象与直线y=2 有两个交点.当 aVO时，分段函数/(x)在 R上连续且单调递增,此时分段函数y=/(x)的图象与直线y=2 最多只有1 个交点，不满足题意;守+，x -l 当 a=0时，/(x)=0,-lx 0 时，分段函数/(、)在(-8,-1
12、为增函数，在-1,上为减函数，在号，xx)上为增函数.-8,/J)a2+2a-1 且/(x)=2 恰有两个零点，a2+2a-l f(-1):.f(-1)=2,或 ，或,f 管)=2 f (_|_)2+B）2-2 A 9 8 DCOS/A）8,可得 7=3+B）2-2 X 时 X B DX（-浮），整理可得 8 0+3 8。-4=0,解得 B =1（负值舍去），因为在 A BC 中，。为 8 c边上靠近8的三等分点，所以BC=3,因 为 在 A BD 中，c o s B=.AB二,。：AD_=cJ+匕1=,可得 s i n B=2AB-BD 2XV7X1 14r-27-V 21v 1-c o s
13、 B J/所以 SA f i C=4 B*BCes i n B=-XA/7 X 3 21,=_yX.2 2，14 4故答案为：I,3巨.415.马伯庸的小说 长安十二时辰中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫 色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有5 1 2种不同的颜色组合，即代表5 1 2种不同的信息.现要求每一行，每一列至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求），那么一共可以传递34种 不 同 的 信 息.（用数字作答）【解答】解；由题意紫色小方格最多3个，所以可分为4类，一 类 有3紫方格时
14、共有 1C C cj=6个信息，二类有2紫方格时共有C 9 c4 =1 8个信息，2三 类 有1紫方格时共有9个信息，四 类 有0紫方格时共有I个信息，则由加法原理6+1 8+9+1 =3 4.故答案是3 4.1 6.已知x 0,y。,且则一-的最大值为_-x y x+2 y-6-解：令，=2，x y因为x 0,y 0,且x+8 y+32 H *，x y所以 x+8 y=I（x+8 y）（2二）=工（io+2丝 J）1（10+8）=，当且仅当&Jt x y t x y t t x y即x=4 y时取等号，所以 x+8 y+3所以号，解得/2 6或 W -3 （舍），则一冬 1 2 =，即最大值
15、为泊.x+2 y t 6 6y x故答案为：士 .61 7.在平面中，已知|同=5,I 菽 1=2 加,正=入 瓦+2 （1-入）菽（入 e R）,点 P在 AB上,若I A的最小值为4，则p g p c的最小值为_-:常.解：如图，设 标=2 菽，I 诟=4&，则 正=入标+（1-入）屈，&G,。三点共线,当4G取最小值时，A GA.BD,在 RtZ X A B G 和 RtZ X A OG 中，0 G=4,BG=3,在 A B D 中，I 丽 F=|藤 F+|而 卞 _ 2|瓦卜|而 p co sNB A O,；.4 9=2 5+3 2 -2 屈汕co s/B A Q,|1 *I A D
16、I,co s Z B A D=4,二1 同 应 卜 co sN8 A )=2，设 屈=化 彘,则 m=()自,P C=A C-A P=A C-A B P B*P C=(1 -无)A B,A C-A:A B)=(1 -k)A B,A C -k(1 -k)-2=(1 -Jl)|7BI|7CICOSZBAD-2 5k a-k)=2 5 R-2 7k+2,当=|壬时，声 西 的 最 小 值 为-然,故答案为：-黑.1 0 0三、解 答 题（共 5小题，满分4 5 分）1 8.若函数/(x)=2 sin解：/(x)=2(,兀(X+T1）co sx.求函数/（x）的对称中心与单调递增区间.sm x +yc
17、o sx)co sx=co s.+V5 sin x F o sx-l+co s2 x V3 .-sin zx返.22/兀、1=sin(2 x+-)+q令2 A H =k u,(4 W Z),可得对称中心为(-二一，,住Z,6 1 2 2 2令 一+2 k兀42x-+2 k 兀，解 之 得-；+卜,平面 8 FC,./。平面 8 FC.UI)解：如图，过E作E R QC,过E作E S,平面E F C ,分别以E R,E D,E S为x,y,z轴建立空间直角坐标系.:在平面C E尸上的射影H在直线O E上，设B(0,y,：F(2,2,0),B E=V5-B 尸=3.二 W：。解 得 卜:1.4+(
18、y-2)+z=9 I z-2cF u平面 8 FC.z)(y,zGR+).FB7=(-2,-1,2).1 9 1 2 EAZ*F B，=(，g，y).设平面A E的法向量为n=(x0,y0，z0)又有而=(0,4,0).；旷=0俎n-ED=0又.平面COEE的法向量为%=(O,0,1).3*3 3 之 ,令工=1,则 z=l,y=0,得到0,1).4y=0设二面角A-。石-尸的大小为。，显然e为钝角 co s 0=-|c o s n,.e=i35.2 0.正项等差数列%和等比数列仍“满足m=i,2 12+.乏=2 竺2.bl b2 bn 2n(I )求数列 ”,瓦 的通项公式;(I I )若数
19、列 C n =7；-T-7-，Sn=C 1 +c9+求最大整数0,(bn-an)(bn+1-an+1)n 1 2 n使叫 翳解：(/)设正项等差数列“,的公差为d 2 0,等比数列 瓦,的公比为必.al a2 -d-bl b2个=2个bn 2na i o，=1 时，=2 -,b j 2又 41=1,可得加=2.a i心 2 时，!-+blab2+盟 2-喘2*2nH相减可得:bn 2nn=2,3 时,a2 _ l+d A-b2-2 q 2243 l+2d 3b7-2q2 23心0.解得：d=l,q=2,.J.an=+n-1 =n,bn=2n.bn-l()C n =-7-77-r(bn-an)(
20、bn+1-an+1)2 J 1(2n-n)(2n1-n-l)-2“712n+1-(n+l)1 1 1 5 T 22-2+22-2 23-3+2n-n 2n+1-(n+l)=1 1-2n+1-(n+l),令 1-2020_、2n+1-(n+l)2021)化为：2+(n+1)0,x 2.：.f(x)在 2,+8)上单调递增，而 f(9)=210-10=1014,/(10)=2037,.最大整数。=9,使得S 黑 券.0 202121.如图：已知抛物线C：产=与 (12),。为不在抛物线上的一点，若过点。的直线的/与抛物线C相交于A B两点，直线P A与抛物线C交于另一点例，直线P B与抛物线C交于
21、另一点N,直线与2 4交于点R.(1)己知点4的坐标为(9,3),求点M的坐标：(2)是否存在点。使得对动直线/,点R是定点？若存在，求出所有点。组成的集合;若不存在，请说明理由.解：(1)设 A (a2,a),B(b2,b),M(加，m),N(n2,n),因为A,P,M三点共线,所以。m-3=善Q-Q，解得2=5,m -9 9-1所以点M(25,5).(2)直线AM的方程为(a+W y=x+amf将点P代入可得2(。+加)=l+am,解得 m=-a J ,a-2同理可得=生,b-2I (b+m)y=x+b i n再将直线AN和 BM联立，得(,=x+a n解得 X=an-bm ,a-b+n-
22、m2b J 2a J 代 入 得 yn=b-2 a-2,2b-1 2a-la-b+b-2 a-2_ _ _ _ _ _ _ _a (a-2)(2b-1)-b (n-2)(2a T)_ _ _ _ _ _ _ _(a-b)(a-2)(b-2)+(2b-1)(a-2)-(2a-1)(b-2,_2a b-(a+b)+2 _ (2a-l)b-a+2a b-2a-2b+7(a-2)b-2a+7因为直线AB的方程为(。+6)y=x+H?过点Q (s,f),贝 ij(+b)t=s+ab,解得b=,a-t代入上式得，R=2 a -a-t+2=(2 2 1)4 (2二2S)且拒-2为常数,(a-2)X-s-2a
23、+7(t-2)a +(7-s)a+2s-7ta-t口，干而 2 tl 2-2s s-2t j只需要=T二一=匕t-2 7-s 2s-7 1(7k-2s二 2(依R 且 ZW 2),_ 2k-lt=k-2即 =生 三(依R 且 k#2).k-2 k-22 2.已知函数/(x)=xlnxf g(x)=x2+ax-1,aER.(I )若对任意尤 1,+8),不等式f (x)(x)恒成立，求。的取值范围;(I I)已知函数力(X)=1/(冗)|-4 有 3 个不同的零点XI,X2,X3(X1X2V l+2a-V l-2a-解：(I )若对任意比 1,+8),不等式/(x)(x)恒成立，即 2工/心 无
24、 2+以-1在1,+OO)恒成立，即加 x-x+,(冗 2 1),X记 F(尤)=2lnx-x+,(x l),则。(x),如，x故 尸(X)在 1,+8)上单调递减，故/(x)max=F(1 )=0,故。的取值范围是 0，+)；(I I )(/)令 h(x)=0,得|f(x)=a,问题转化为y=/(x)I 的 图 像 和 的 图 像 有 3 个不同的交点,而/(无)=xlwc,f (x)=/MX+1,令f (x)0,解得：x ,e故/(x)在(0,工)递 减，在e而无-*0 时，f (x)-*0,f ()e令，(x)0),则 P (x)=2(/nx+1)-2 x=2 (.Inx-x+1),P(x)=2(-1)x x令 P(x)0,解得：0 x l,令 P (x),故P (x)在(0,1)递增，在 1,+8)递减，p(x)WP(1)=0,故 尸(x)在 1,+8)递减，P(x)W P (1)=0,故 0 W x/xW X2故 心-%2Vl+2a-Vl_2 a 原结论成立.