2021年中考必刷真题《第十专题：几何综合证明》.pdf

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1、20 21 年中考必刷真题 第十专题：几何综合证明1.（20 20.盘锦）如图，四边形A B C D 是正方形，点 F是射线AD上的动点，连 接 C F,以 C F为对角线作正方形C GF E （C,G,F,E 按逆时针排列），连接B E,D G.当点F 在线段A D 上时。求证：B E=D G;求证：C D-F D=/2 B E;设 正方形A B C D 的面积为S i，正方形C GF E 的面积为S 2，以C,G,D,F 为顶点的四边形的2.（20 20.阜新）如图，正方形A B C D 和正方形C E F G（其 中 B D 2C E）,BG 的延长线与直线D E交于点H。（1）如图1,

2、当点G 在 C D 上时，求证：B G=D E,B GD E;（2）将正方形C E F G绕点C旋转一周。如 图 2,当点E 在直线C D 右侧时，求证：B H-D H=V 2 C H;当 N D E C=4 5 时，若 A B=3C E=1 ,请 直 接 写 出 线 段 DH 的 长。3.（20 20.营口）如图 1.在四边形 A B C D 中，A B=A D,Z B A D=1 20,Z B=Z A D C=90,点 E、F 分别是边B C、C D 上的点，且/E A F=6 0,试探究图中线段B E、E F、F D 之间的数量关系。小王同学探究此问题的方法是：延长F D 到点G,使 G

3、D=B E,连结A G,先证明4 A B E 里A D G,再证明 A E F g a A GF,可得出结论，他 的 结 论 应 是.探索延伸：如图2,若四边形A B C D 中,A B=A D,N B+N D=1 80,点 E、F分别是B C、D C 上的点,且N E A F=N B A D,上述结论是否仍然成立，并说明理由。2如图 3.在四边形 A B C D 中，A D Z B C（B O A D）,Z B=90,A B=B C=6,E 是边 A B 上一点，当/D C E=4 5,B E=2 时，贝 D E 的长为一.14.(20 20.铁岭)在等腰4 A D C 和等腰4 B E C

4、 中，Z A D C=Z B E C=90,B C /6 ,在a B E C 绕点C逆时针旋转的过程中，当N A C B=6 0 时，请直接写出线段0 D 的长。5.(20 20.锦州)已知A A O B 和A M O N 都是等腰直角三角形(O A ,-AN 58.(20 20.大连)如图l.A B C 中，点 D,E,F 分别在边A B,B C,A C 上，B E=C E,点 G 在线段 C D 上，C G=C A,GF=D E,Z A F G=Z C D E.(1)填空：与N C A G 相 等 的 角 是;(2)用等式表示线段A D 与 B D 的数量关系，并证明；AC(3)若N B

5、A C=90,N A B C=2N A C D,求 的值。AB3ADk E C B E C国 图29.(20 20.鞍山)在矩形A B C D 中，点 E 是射线B C 上一动点，连接A E,过 点 B作 B F _LA E 于点 G,交直线C D 于点F。(1)当矩形A B C D 是正方形时，以点F 为直角顶点在正方形A B C D 的外部作等腰直角三角形形 C F H,连 接 E H。如 图 1,若点E 在线段B C 上,则线段A E 与 E H之 间 的 数 量 关 系 是,位 置 关 系 是;如 图 2,若点E 在线段B C 的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不

6、成立，请说明理由；(2)如图3,若 点 E在线段B C 上，以 B E 和 B F 为邻边作平行四边形B E HF,M 是 B H 中点，连接GM,A B=3,B C=2,求 G M的最小值。图1图2图31 0.(20 20.山西)如图，点 E为正方形A B C D 内一点,Z A E B=90,将 RtZ S A B E 绕点B按顺时针方向旋转90,得到C B E (点A的对应点为点C)。延长A E 交 C E 于点F,连接D E.(1)试判断四边形B E F E 的形状，并说明理由；(2)如图，若 D A=D E,请猜想线段C F 与 F E 的数量关系并加以证明；(3)如图，若 AB=1

7、 5,C F=3,请直接写出DE 的长。1 1.在A A B C 中，AB=AC,/B AC=a，点 p为线段C A 延长线上一动点，连 接 P B,将线段P B4绕点P 逆时针旋转，旋转角为a,得到线段P D,连接DB,DC。(1)如图，当 a =6 0 时，求证：P A=DC;求N D C P 的度数(2)如图，当 a =1 2 0 时，请直接写出P A和 DC 的数量关系为(3)当 a =1 2 0 时，若 AB=6,B P=J5 1,请直接写出点D 到 C P 的距离为1 2.(2 0 2 0.苏州)问题1：如图，在四边形AB C D中，N B=N C=9 0,P是 B C 上一点,P

8、 A=P D,Z AP D=9 0.求证：AB+C D=B C.问题2：如图，在四边形AB C D中，/B=N C=4 5,P 是 B C 上一点，P A=P D,/AP D=9 0.求D1 3.(2 0 2 0.北京)在A A B C 中,Z C=9 0,AO B C,D 是 A B 的中点,E为直线AC 上一动点，连接D E,过点D 作 DF J_DE,交直线B C A于点F,连接E F.(1)如 图 1,当 E是线段AC 的中点时，设 AE=a,B F=b,求 E F 的 长(用 含 a、b的式子表示)(2)当点E在线段C A 的延长线上时，依题意补全图2,用等式表示线段AE,E F ,

9、B F 之间的数量关系，并证明。5AA1 4.(2 0 2 0.营口)如图，在矩形AB C D中，AD=k AB,点 E是线段C B 延长线上的一个动点，连接 A E,过点A 作 AF L AE 交射线DC 于点F。(1)如 图 1,若 k=l,则 AF 与 AE 之间的数量关系是(2)如图2,若 k W l,试判断AF 与 AE 之间的数量关系，写出结论并证明；(用含k的式子表示)(3)若 AD=2 AB=4,连接B D交 AF 于点G,连接E G,当 C F=1 时，求 E G 的长1 5.(2 0 2 0.抚顺)如图，射线AB 和射线C B 相交于点B,Z AB C=a (0 a/2 D

10、G.C D-C H=V2 DGVDG=B E.C D-F D=V2 B E;V 1 3(3)由二 二 一 可设 S 2=1 3 k,S l=2 5 kM 2 5则 C D=5，FG=y/13k由勾股定理可得F C=J须8在 RlzlXCDF 中，CD=5，FC;而：.m=FC2-D C2=4k过G作GHAM,垂足为H,设IlG=x,?ZHDG-ZFCG=450.ZHDG=ZIIGD/.DH=HG=x.,.FH=FD+DG=4+XFH2+GH2=FG2解得：x=2 或x=-3点（舍 去）.S3=SAFGC+SADGF=+-IH7 2/k=2 2 215攵._ 3 -SI 25k 10如图当点F在

11、AD延长线上时,I Q I 1S3=SAFGC+SADEC-+-liV 5=9k2 2S.9k _ 9S25k252.（2020.阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其 中BD2CE）,B G的延长线与直线DE交于点Ho（1）如图T,当点G在CD上时，求证：BG=DE,BGDE;（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周。如 图2,当点E在直线C D右侧时，求证：BH-DH=A/2 CH;当N DEC=45时，若AB=3，CE=1,请 直 接 写 出 线 段D I1的 长。9ADADH解析：（1）,四边形AB C D,四边形C E F G都是正方形/.B C=C D,C G=C E,/B C

12、 G=N DC E=9 0.,.B C G ADC EB G=DE/Z DE C=Z B G C,/Z G B C+Z B G C=9 0 Z G B C+Z DE C=9 0 Z B H E=9 0 B G DE;(2)过 点C作CK1D C交BH于点KV A B C G A D C E：.Z C B K=Z C DH/Z H C K-Z DC B=9 0 Z K C B=Z H C DVB C=DC.,.K C B AIIC DB K=DH,C K=C H.,.H K=V2 C H,.,B 1 1-B K=IIK,B K=DI1.B H-DH=V2 C H;DD1）当N DE C=4 5

13、时，点G与H重合，点D,H,E在同一条直线上运用勾股定理可得C M=正 而DC=32/.DM-VDC2-CM2734-V222)过点C作C M _L DE,垂足为M10容易求得 CM=M C=也，DM=D C -C M1 2=、I 9-=1.NEAB+NFAD二 一 NBAD2 NEAF=NEAB+NFAD ZGAF=ZGAD+DAF NGAF=NEAB+DAF，ZEAF=ZGAFVAF=AF/.EAFAGAF2 4 2，34+5/2DH=DM+HM=-23.(2020.营口)如图 1.在四边形 ABCD 中，AB=AD,NBAD=120,N B=N A D C=90,点 E、F 分别是边BC

14、、CD上的点，且/E A F=6 0,试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系。(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使GD=BE,连结A G,先证明A B E AADG,再证明AA EF丝A G F,可得出结论，他 的 结 论 应 是.探索延伸:(2)如图2,若四边形ABCD中，AB=AD,NB+ND=180,点E、F分别是BC、DC 的点，且N E A F=1/B A D,上述结论是否仍然成立，并说明理由。2(3)如图 3,在四边形 ABCD 中,ADBC(BCAD),NB=90,AB=BC=6,E 是边 AB 上一点,当3DCE=45,BE=2 时，贝lj DE 的长为.

15、解析：(1)DF+BE=EF(2)延长FD到点G,使GD二B E,连结AG,VZB+ZAD F=180,ZGDA+ZADF=180ZB-ZG D AVAB=ADA A A D G A A B EAAG=AE,ZGAD=ZEAB1/Z E A F=-Z B A D2B图311，GF=EF；GF=GD+DF=BE+DF，DF+BE=EF(3)过点C 作 CM AB交 AD延长线于点M,则四边形ABCM 是正方形1。VCB=CM,Z DCE-Z BCM,Z M CB+Z A=18 02.DM+BE=DE设 DE 为 x,则 DM=x-2,VAB=BC=6，AD=8-x,AE=6-2=4AD2+AE2

16、=DE2.(8-X)2+42解得，x=5即 DE=54.(2020.铁岭)在等腰A ADC 和等腰4BEC 中，Z ADC=Z BEC=9 0,BC/2.EM=V2,MC=/6VCD=AD=2/6ADM=CD-C M=V6由勾股定理求得，DE二2 j5.,OD=OE=OM,OD1OE 0D=2见另一图，解法相同，可得0D=2近135.(2020.锦州)已知A A O B 和A M O N 都是等腰直角三角形(O A-Afi=3,BF=3/32BP=V31,BF=373；.EP=2.P A=1.PA 一 G-DC 3;.DC=G.hP G.DF-2 当A P A B是锐角三角形时，与解法相同可得

17、P A=5由d=Y3得DC=5相，可求得D F=DC 3 27.(2020.朝阳)如图,在 RtZkABC 中,ZBAC=90,AB=AC,M 是 AC 边上的一点,连接 BM,作A P B M于点P,过点C作AC的垂线交A P的延长线于点E。(1)如图1,求证：AM=CEGE(2)如图2,以AM、B M为邻边作 A M B G,连接GE交BC于点N,连接A N,求的值;AN(3)如图3,若M是AC的中点，以AB,BM为邻边作 A G M B,连接GE交BC于 点N,连接A N,经探究发现N一C三=；1；,请直接写出G、E一 的值。BC 8 AN解析：(1)VAPXBM/.ZAPB=900.Z

18、ABP+ZBAP=900VZBAC=90ZEAC+ZBAP=900二 ZABP=ZEACVECAC/.ZACE=ZBAC=9016VAB=AC/.ABMAACEAAM=CE(2)过点 E 作 EH AC 交 BC 于 H,则 ZHEC=90VAC/7BG，HGBG ZNHE=ZNBG,ZNElkZNGBVZBAC=90,AB=AC.ZACB=45z,/ZACE=90,NECH=NEHC=45AEC=AM=EH=BG/.GNBAENIIAGN=NEVAABMAACEE,ZAMB=ZAEC,AM=CE 四边形AMBG是平行四边形 AG二BM,ZAGB=ZAMB,BG=AMABG=CE/ZAGB=Z

19、AEC,AG=AE,A AAGBAAEC；NBAG二NCAE:ZBAE+ZEAC=90 NBAE+NBAG=90 过 点N作NH1AC垂足为H设 NC=k，则 BC=8k由勾股定理可得A B=4&k.M是A C中点.,.AM=2V2 k 由勾股定理得BM=2在 AGMB 中，AG=BM=2 V lO k,AGBM ZGAE=ZAPB=90VAE=BMAAG=AE 由勾股定理得G E E遥k,/ZHCN=450,ZNIIC-9O0,NC=k17.X1I-IIC-2k二 AH=AC-HC=4 V2 k-k=k2 2：.A H2+H N2=5 k.GE 4 非 AN 58.(2020.大 连)如 图

20、l.ZABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC ,B E=CE,点G在线段 CD 上，CG=CA,GF=DE,ZAFG=ZCDE.(1)填空：与NCAG相 等 的 角 是;(2)用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；A C(3)若NBAC=90,ZABC=2ZACD,求一的值。AB解析：(1)VCG=CA:.NAGC二NGAC(2)在D C上截取GN二AF,连接AN,EN./ZAGC=ZGAC,AG=GA.,.AGNAGAFAAG=FG,ZANG=ZGFAVGF=DE/ZAFG=ZCDE.AAN=DE,ZCDE=ZANGA AN#DE 四边形ANED是平行四边形AEN/7AB,EN

21、=ADVBE=CE,AI)二EN二,8。2(4)延长D A到N,使AN=A D,连接NC,/ZBAC=90,.,.CD=CNAZACN=ZACD/图1眇18Z CN B=9 0-Z ACN=9 0-Z ACD,VZ ABC=2Z ACDZ ACN=18 0-Z ABC-Z CN B=18 0-2Z ACD-(9 00-Z ACD)=9 0-Z ACDA Z ACN=Z CN BBC=BN：M)=-B D2BC=BN=4AD,AB=3 ADA C=VBC2-AB2=SAD.AC V7 AB 9.(2020.鞍山)在矩形A BCD中，点 E 是射线B C 上一动点，连接A E,过 点 B 作 BF

22、 J_ AE于点 G,交直线C D 于点F。(1)当矩形ABCD是正方形时，以点F 为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形形 CF H,连 接 EH。如 图 1,若点E在线段BC上，则线段AE与 EH之 间 的 数 量 关 系 是，位 置 关 系 是;如 图 2,若 点 E 在线段B C 的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2)如图3,若 点 E 在线段BC上，以 BE 和 BF 为邻边作平行四边形BEHF,M 是 B H 中点，连接GM,AB=3,BC=2,求 G M的最小值。解析：（1）过 点 H 作 HM _ LBC,交 B C 延长线

23、于点M,则四边形MHFC为正方形。r-.矩形ABCD是正方形 二警9 昆忐,Z BGE=9 0B C M：.Z EBG+Z AEB=9 0X VZ BAG+Z AEB=9 0,.Z EBG=Z BAGVAB=BC,Z ABE=Z BCF=9 019.ABE ABCFBE=CF,BF=AEVF C=F H,；.BE=F HVZ Z HF C=Z F CB=9 0(；.F HBE.四边形BEHF 是平行四边形/.BF=EH,BF/7EHZ I1EG=Z BGE=9 O,AE=EHAAEIEH中的结论成立图2证明方法同（1）先证AABE-Z BCF,然后再证明四边形BEI1F 是平行四边形（或者证明

24、EHM g/X AEB）问题就得到解决。（2）由前两问我们知道四边形BCIIF 是平行四边形，又知道M点为 BH的中点，所以连接EF 必过点M,可得F M=M E.因为/F GE=9 00所以 G M=LEF。设 EB=X,则 CE=2-X。由ABES/X BCE 得2AB _ BEBCFC即士3=x解得,2 FC2xF C=3由 律 2=C 2+E C 2 得,4x+4当=时，EF 有最小值-13 131GM 的最小值为1310.（2020.山西）如图，点 E 为正方形ABCD内一点，Z AEB=9 0,将 R t a A B E 绕点B按顺时针方向旋转9 0,得到A C B E（点 A的对

25、应点为点C）。延长A E 交 C E 于点F,连接D E.（1）试判断四边形B E F E 的形状，并说明理由；（2）如图，若 D A=D E,请猜想线段C F 与 F E 的数量关系并加以证明；（3）如图，若 A B=1 5,C F=3,请直接写出D E 的长。20解析：(1)四边形B E F E 是正方形理由旋转性质知，ZC E B=ZA E B=9 0o,ZE B E=9 0,由题意得N F E B=9 0,所以四边形B E F E 是矩形，又 B E=B E 所以，四边形B E F E 是正方形。(2)C F=F E 过点D作 D H L E A,垂足为H,由 D A=D E,知 A

26、H=；A E,由同角的余角相等可得ZI1 D A=ZE A B M ,ZD IIA=ZA E B=9 O,且 A D=A B 可得D H A 丝 a A E B,所以A H=B F=F E,又因为C E=A E,故1F E=A H=C E,即 C F=F E(3)(参考图)可设正方形的边长为X,在 R t/X C E B 中，C E=3+x,B E=x,C B=1 5勾股定理可求x=9。这样就得出C E=A E=1 2,H E=1 2-9=3,D H=1 2在 R t A D H E中运用勾股定理，得 D E=3 j 方1 1.在A A B C 中，A B=A C,ZB A C=a，点 p 为

27、线段C A 延长线上一动点，连 接 P B,将线段P B绕点P逆时针旋转，旋转角为a,得到线段P D,连接D B,D C。(1)如图，当 a =60 时，求证：P A=D C;求/D C P 的度数(2)如图，当 a =1 2 0 时，请直接写出P A 和 D C 的数量关系为_(3)当 a =1 2 0 时，若 A B=6,B P=J J 1,请直接写出点D到 C P 的距离为解析：(1)由题意知,B C=B A,ZP B A=ZD B C,B D=B P,所以 P B A g/X D B C,得出：P A=D CZB C D=ZB A P=1 2 0,ZA C B=60,所以/D C P=

28、60.BC BA(2)由两边成比例且夹角相等可得P D B s/X A C B,所 以=一且/D B C=/P B A,所以PA PBP B A A D B C,则有一=DC BD1,即 DC=GP A21（3）过点B,D 分别作P C 的垂线，垂足为E,H由 P B A s D B C 得N D C B=/P A B=60,而 N A C B=3 0 所以ZD C P=3 0.设 D H=x,则 H C=V 3 x 因为 A B=6,ZB A E=60,解 R t ZA E B 得 A E=3B E=3 6,乂 1 =用，解直角三角形得P E=2所以 P C=1 1,在 R t 2 P D

29、H 中,W P H2+D H2=P D2_ j 3所以 X2+(1 1-V 3 x)-=(V 3 1 ),解得 x=工-或 x=-12.（2 0 2 0.苏州）问题1：如图,在四边形A B C D 中,ZB=ZC=9 0,P是 B C 上一点，P A=P D,ZA P D=9 0.求证：A B+C D=B C.问题2：如图，在四边形A B C D 中，N B=N C=4 5,P是 B C 上一点，P A=P D,N A P D=9 0.求AB+CDBC的值。解析：由同角的余角相等得/A P B=N P D C,又/B=/C=9 0,P A=P D,所以 A P B g a P D C；.A B

30、=P C,D C=B P,.,.A B+C D=B C.22D过点A、D分别作B C 的垂线，垂足为E,F.由上一问知A E+D F=E F o又由题中条件V2 41可求得 A E=B E=AB,l)F=F C=DC2 2V2 痣八 V2 四八-AB+DC=B C-(AB+DC)2-2 2 2B C=V 2 (A B+C D)AB+CD 也BC T1 3.（2 0 2 0.北京）在A A B C 中，ZC=9 0,A C B C,D是 A B 的中点，E为直线A C 上一动点，连接D E,过点D作 D F L D E,交直线B C A 于点F,连接E F.（1）如 图 1,当 E是线段A C

31、的中点时，设 A E=a,B F=b,求 E F 的 长（用含a、b的式子表示）（2）当点E在线段C A 的延长线上时，依题意补全图2,用等式表示线段A E,E F ,B F 之间的数量关系，并证明。1解析：（1）由中位线定理知D E=/B C=B F=b,E C=A E=a。又知有三个角是直角的四边形是矩形，这样就可得E F=J a 2+b 2 .23(2)补全图形如图，过点B 作B H E C,交E D 延长线于H,则容易证得A E D g ZB H D,.A E u B H,E D=D H,又 F D _L E H,/.E F=F H在宜角三角形 H F B 中，有 B F-+B IIM

32、 IF-,/.B F2+A E2=E F 1 4.(2 0 2 0.营口)如图，在矩形A B C D 中，A D=k A B,点 E是线段C B 延长线上的一个动点，连接 A E,过点A作 A F L A E 交射线D C 于点F。(1)如 图 1,若 k=l,则 A F 与 A E 之间的数量关系是(2)如图2,若 k W l,试判断A F 与 A E 之间的数量关系，写出结论并证明；(用含k的式子表示)(3)若 A D=2 A B=4,连接B D 交 A F 于点G,连接E G,当 C F=1 时，求 E G 的长解析：(1)由 A A S 可证 A A B E 丝ZX A D F,；.A

33、 F=A EAE AB 1(2)由两角对应相等，可得A B E s a A D F,.=工AF AD K即 A F=k A EGF DF 1 2 2 r-(3)如图当点F 在边D C 上时，由A D G E s ZB G A,可 得/=7,求出A G：;AF=彳J l 7.GA BA 2 3 3AE AB 1 V17再由A A B E s a A D F,得大m=,求得A E=f/Y J r /L z /L5V17再运用勾股定理，可得E G=一6当点F在 D C 延长线时，解法同上，可求得EG=f1 5.(2 0 2 0.抚 顺)如 图,射 线 A B 和射线C B 相交于点B,N A B C

34、=a (0 a 1 8 0),且 A B=C B,24点 D是射线C B 上的动点(点D不与点C和点B重合)，作射线A D,并在射线A D 上取一点E,使/A E C=a .连接 C E,B E.(1)如图，当点D在线段C B 上，a=9 0”时，请直接写出N A E B 的度数；(2)如图，当点D在线段C B 上，a =1 2 0 时，请写出线段A E,B E ,C E 之间的数量关系,并说明理由；1CE(3)当 a =1 2 0 ,t a n N D A B 7 时，请直接写出工三的值。3BE解析：（1）过点B作 B F L B E,交 A D 于点F,由题意知容易得出N A B F=N

35、C B E,ZB A F=ZB C E,又 A B=B C,.B A F A B C E,.-.B F=B E ,/.ZA E B=4 5（2）以点B为顶点，B E 为一边作/F B E=1 2 0,交 A D 于点F。与（1）同理，可证a B A F 丝ZX B C E,.B F=B E ,A F=C E,A ZB E F=ZB F E=3 0；.A E=A F+E F乂解广升加司 V3BE.A l.（I -V3BE25过点 B 作 B H _L A E,垂足为 H。设 B H=x,则 B E=B F=2 x,FHhgX,由 A E=C E+g B E 得A H=C E+2A/3X V 3

36、X ,又 t a n N D A B -3 AH即 诉x获=1 ，解得C E 知-可r，CE瓦 3二-V丁3当点D在 C B 延长线时，由（2）全等的结论知N C=N A,A E=C E-V 3 B E（CE 3+A/3与点D在 BC上的解法相同，可得三三：一 7-1 6.（2 0 2 0.内蒙古包头）如图，在 R tZ X A B C 中，Z A C B=9 0,A C=4,B C=2,R tZ X A B C 绕点 C 按顺时针方向旋转得到R tA A B C,A C 与 A B 交于点D。（1）如图，当 A B A C 时，过点B作 B E L A,C,垂足为E,连接A E.s求证：A

37、D=B D 求 产 的 值；、AABE（2）如图，当 A C L A B 时，过点D作 D MA,B ,交 B C 于点N,交 A C 的延长线于点M,求解析：（1）由旋转的性质 知N A =N C A B,又析B A C 可得N A =N A C A,Z C A B =Z A C A,A D=D C.由等角的余角相等，可得/D B C=N D C B,可得D C=D B,；.A D=D BBE AC 2V5 475由B E CS A C B 得，有=力 7=2 ,在 R tA B E C 中由勾股定理可得E C=.B E-oCH BC 5 5A C=4,B C=2 可得 A B=2 后，D

38、C=A D=J ,A DE=-这样就有 D E:E C=3：2,就得 S z!A D E:S Z A E C=3：2,而 S Z A B E=2 S Z A D E因此,S 1AACE 1S 3AABE26DC BC 1(3)先证N D C 丝Z X B C D 可得C N=B D,D N=B C=2。由 A D C s A C B,得 芯=丁=彳，设D C=x,A L 乙475则 A D=2 x,A C=4,由勾股 定理可得x=y一,4百 875 275 MN NC 田，一3.八、D C=，A D=，C N=D B=.又C N Ms/A D M,；.=将相应的值 代入，555MN+2 AD2

39、 DN解得故=33 NM1 7.(2 0 2 0.安徽)如图，已知四边形A B C D 是矩形，点 E在 B A 的延长线上，A E=A D,E C 与 B D相交于点G,与 A D 相交于点F,A F=A B.(1)求 证:B D 1 E C；(2)若 A B=L 求 A E 的长;(3)如图，连接A G,求证:E G T)G=&A G解析：(1)由 A E=A D,/E A F=N D A B,A F=A B 可证a E A F丝Z X D A B,；./FE A=/A D B,又Z A D B+ND B A=9 0 ,.,.Z FE A+Z D B A=9 0,Z E G B=9 0,即 B D _ L E CDF DC(2)设 A E=x,贝 l j D F=x-l,A F=A B=1,由 D C Fs2 A E F,可得工=工，代入整理得：X-X T=0,FA AE解得:1 +6一 1-V5x=-或 x=一-22(舍去)(3)过点A作 A H A G 交 E G 于点H 由 N E=A D G,A E=A D,/H A E=N G A D,可得H A E g Z X G A D .-.A H=A G,H E=I)G 由勾股定理得27HG=V2 AG*：EG-HE=GH,EG-DG=叵 AG28