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1、2021年天津市北辰区高考数学模拟试卷一、单 选 题（本大题共9小题，共4 5.0分）1.己知全集U =R,A=x|x2-3 x +2 0,B=x|x-2|2,则An（C u B）等于（）A.(-o o,0)U (4,+o o)D.0,1)U (2,4 下列命题中，真命题是（）A.存在弱点廨*唾姮B.黑：崂 制 是 硒1的充分条件C.任意上混属著等金D.豫节海=：如的充要条件是在解=鬻、解=!（8叫 君、解=笑承这三个函数中，当邮T：?0时,矿 一 6 0,则使得/(x)0成立的X的取值范围是16已知抛物线G：丁2 =4后的焦点为凡其准线与双曲线J：-彳=l(a 0/0)相交于a n43两点，
2、双曲线的一条渐近线与抛物线g 在第一象限内的交点的横坐标为石，且A尸 为 正三角形，则双曲线a的方程为1 1.若(1+2x)i=a0+at(x-1)+a2(x l)1 2 34-卜 a10 0(x-l)1 0 0,则%+a2 T-卜1P a b-1 4.已知a?+b2=2,则a+b的 取 值 范 围 是 .1 5.已知 ABC的重心为G,内角力、B、C的对边分别是a,b,c,且满足：sinA 耐+s讥B 旗+-sinC-GC=O,则A=.3三、解答题(本大题共5 小题，共 75.0分)1 6.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=?.(1)请从下面两个条件中选择一个作为已知
3、条件，求sin4的值；b=遍，c-V 2;a=3,c-y/2-(2)若力=花，a+c 3,求ABC的面积.17.在直三棱柱ABC-4避1的中，已知4B=5,4C=4,BC=3,A 4 =4,%点。在棱4B上.(I)若。是AB中点，求证：AC1平面&CD；、(H)当黑=：时，求二面角B-CD/的余弦值.18.点 M到点尸(4,0)的距离比它到直线I：x+6=0的距离小2.(1)求点M的轨迹方程；(2)若直线y=x-5与(1)中的轨迹交于4、B两点，求线段4B的长度.12.过点P(l,l)作直线咬圆/+y 2 =4于，B两点，若|48|=2次，则直线1的方程为13.随机变量f 的分布列如右图，其中
4、a,b,1成等差数列，则E(f)=.f-1 0 11 9.已知数列也黯是等比数列,且公比q不等于1,数列%满足册=2%.(I)求证：数列 匕 是等差数列;(II)若a 1=2,3 a 3 =2 a 2 +a4,求数列%不 一 的前n项和S“.DnLUfJ2an+i2 0 .已知函数/(%)=sinx xcosx.(I)求曲线y =/(%)在点(兀/6)处的切线方程；(n)求证：当xe(0,)时，/(x)kx-x c o sx对 e(0 ,力恒成立，求实数k的最大值.参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查集合的运算.先根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法求得集合A,B,再求补集和交集运算即可
5、.解：全集U=R,A=(xx2 3x+2 0=xx 2,B=xx-2|2=x|x 4,所以 CuB=x|0W xW 4,则 A C l(QB)=x0 x 1 或2 x 4.故选。.2.答案：B解析：试题分析：4 项：管姆住蜃=田：*须；8 项：则对1:虱I是余彻:就的充分条件，正确；C项：对=&4 盟=记；。项：$=-=贸+初=随 但”=错误.故选8.助&考点：1.命题的真假；2.充要条件；3.指、对函数单调性.3.答案：B解析：试题分析：画出三个函数的图像，从图像上知，对展=鬻 和朋=斓来说，在它们的图象上取任意两点，函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，所以不满足题意.而麻
6、 1=1曦 翼的图像正好相反，满足题意.考点：函数的奇偶性和单调性.4.答案：C解析：解：对于，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故错误；对于，根据相关性指数的定义和性质可知，相关指数R2是用来刻画回归效果的，R2的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好.故正确；对于，废品率x%和每吨生铁的成本y元之间的回归直线方程是9=2x+2 5 6,类比一次函数，可得废品率每增加1%,生铁的成本平均每吨增加2元，故正确；对于，“某彩票的中奖概率为 嬴”，说明该种彩票中奖的概率较小，买1000张这种彩票不一定能中奖，故错误.其中正确的个数为2.故选C.根据众数和中位数的性
7、质进行判断；根据相关性指数R2的意义进行判断；类比函数关系，可得回归直线方程为9=2x+256时，每增加1%,生铁成本每吨平均增加2元，即可判断；由概率的意义可得该种彩票中奖的概率较小，即可判断.本题考查概率统计的有关知识，考查概率和线性回归方程的意义、相关指数研究频率分布直方图的面积等，考查判断和理解能力，属于基础题.5.答案：A解析：解：如果奇函数/Q)在区间 2,8 上是增函数，且最大值为5,那么f(x)在 区 间 上 是 增 函 数，且有最小值为-5,故选：A.由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，即可得到所求结论.本题考查奇函数的单调性,注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间
8、上单调性相同，属于基础题.6.答案：A解析：本题考查直线与平面所成角和异面直线所成角，首先找出直线与平面所成角得出棱之间长度关系，然后找出异面直线所成角代入计算解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、cA。是B Q 与底面所成的角，则的 可 得 为。=咏=力，后是 G D 与底面所成的角，则NGZ)C=45,可得q u =T/5CD=、叵c,c=a因为4 刀,所以N C X 就是异面直线&C 和 G。所成角在人城空i中，(4 0 =又4刀=2&由余弦定理有B SN O M9 2.9 2(4cly认Dx 城+2一9+y)4726c故选A7.答案：C解析：试题分析：由 区1得：S ,当,此 时 方
9、程 只有一根，所以直线与双曲线仅有一个公共点；当 区 时，要满足题意需S ,此时无解。所 以 直 线S与 双 曲 线 仅有一个公共点，则 实 数0的值为1或-1。考点：直线与双曲线的位置关系。点评：在判断直线与双曲线的位置关系时，一般的方法是联立，组成方程组，消元，判断方程解的个数。一定要注意讨论二次项系数是否为o的情况。8.答案：D解析：解：命 题“若|x|+|y|十0,则x K 0且y羊0”的逆命题是若x#0且y片0,则|x|+|训中 0,故选：D.直接利用四种命题之间的关系进行分析即可.本题考查了四种命题，解题的关键是知道逆命题即为原命题的条件和结论互换.9.答案：A解析：解：当a 2
10、0时，/(a)=a(a+4),a(a+4)5,解得：-5 W al,0 a 1,当a:.a(a 4)解得：-l 4 a 5,-1 S a 0时，有xf，(x)-/(x)0,当%0时，g (x)0,.函数g(x)=专在(0,+8)上为增函数，.函数/(X)是奇函数，g(-x)=丝=g(x)，函数g(%)为定义域上的偶函数，9(%)在(-8,0)上递减,由/(l)=。得，g(1)=o,不等式/(%)0等价于%g(x)0,U r o4 i 或-y 0成立的的取值范围是(一 1,0)U(1,+00).故答案为(-1,0)U(1/+co).16.首先根据所给条件即可找到。与b的关系式，解方程即可求解此题
11、.解：由抛物线C：y 2=4、生 的 焦 点 为 尸，得 F(V 5,o)，因为双曲线的一条渐近线与抛物线c 在第一象限内的交点的横坐标为7 3 1所以，交点的坐标为(、/5,2 0)，双曲线的渐近线为y=：x，所以，有b=2a,因为A川格为正三角形，2 2可知准线与双曲线0：一 彳=1(0 0力 0)相交于A,B两点，a n(y/3 r 2)，由点4在双曲线上，可知=1,联立可得a 2=2,b2=8,a2 b2所以，双曲线的方程为过一片=1，2 S故答案为 匕=1.2 811.答 案:5100-3100解 析:解：在(1+2%)100=a。+%(%1)+a2(x I)2 4-卜。100(%1
12、)10 中，令 =2,得(1+2 x 2)1 =%+%+g+H Q i o o =51 00,令 =1,得(1+2)1。=a0=31 0 0,则4 +a2-*-1-i o o =5100 3100.故答案为：5100-31 00.用赋值法，分别令 =2和 =1,即可求得对应结果.本题考查了利用赋值法求二项式展开式系数和的应用问题，是基础题.12.答案：x=1 或y=1解析：解：当直线/的斜率不存在时，直线 的方程为久=1,联立：2；y2=4 得4(1，一百)，B(l,此时|4B|=2我，成立；当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y-1=k(x-1),即k x-y-k +l =0,圆 2+4
13、=4的圆心。(0,0),半径丁=2,圆心到直线1的距离d =嗡*V H+1 AB=2A/3.由d 2+(喋)2=产，得(/)2+(学)2=4,解得k =0.直线2的方程为y=1.直线I的方程为x =l 或y=l.故答案为：x-1或y-1.当直线，的斜率不存在时，直线，的方程为x=L成立；当直线，的斜率存在时，设直线I的方程为履-y-k +l=O,求出圆久2+丫2=4的圆心o（o,0）,半径=2,圆心到直线I的距离d=由小+（空）2=能求出直线（的方程.本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、圆的性质的合理运用.13.答案：|解析:解:a,6 1成等差数列，：
14、.2b=a+1 ,随机变量f的分布列的性质可知:a+b+；=1 ,解可得a=,b=.E（f）=-1 x 升 0 x-1 x 中.故答案为：，通过等比数列以及随机变量f的分布列的概率的性质求出a、b,然后求出E（f）.本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，分布列的性质的应用，考查计算能力.14.答案:-2,2解析：解：因为。2+炉=2,所以|一产 尹=1，即|a+b|W2,当且仅当a=b=l时取等号，所以a+b的取值范围为 2,2.故答案为：2,2.利用不等式中四个平均数的关系求解即可.本题考查了基本不等式变形式的应用，解题的关键是熟练掌握不等式中四个平均数的关系，属于中档题.15.答案
15、：JO解析：解：因为ABC的重心为G,故酢+而+方=1即训+旗=一 元由正弦定理s讥4-GA+sinB-GB+-sinC-GC=6即为a”+bGB+cGC=0,3 3 ,（a-y c）4+（b 誉c）面=0,/.a c=0,6 c=0,E fJa=c,b=c,3 3 3 3.b2+c2-a2 cosA=-2bc好+C 2 T 22 X*2V32则4=7o故答案为：7根据G为三角形重心，化简已知等式，用c表示出a与b,再利用余弦定理表示出c o s 4将表示出的a与b代入求出c o s A的值，即可确定出4的度数.此题考查了正、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于
16、中档题.16.答案：解：(1)选择条件b =而，c =V L由余弦定理扭=a2+c2-2accosB,得 5 =a2+2-2 x a x V 2 x 2即a?-2a 3=0,所以a =3或a =-1,0,I a =3,由正弦定理号=一之，得欧 九4=竺蟠=剋变.sinA sinB b 10选择条件Q=3,c=V 2,由余弦定理得/=a2+c2-2accosB=9+2-2 x 3 xV2 Xy =5,A b=y/5,由正弦定理、=号，得$m 4=吧 =犯 变.sinA sinB b 10(2)由余弦定理炉=a2+c2-2a c c o s B 得 5 =a2+c2 V 2a c,所以5 =(a
17、+c)2-(2+V 2)a c =9-(2+五)ac，得 a c =4-2位,所以 SM B C=a c s i n B =&-1.解析：(1)选择条件b =有，c =V 2,由余弦定理求出a的值，再用正弦定理求出s i n A,选择条件a =3,c =V 2,由余弦定理求出b的值，再用正弦定理求出s i n A.(2)由余弦定理求出a c的值，再用面积公式求出AB C的面积.本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，属于基础题.17.答案：解：(I)证明：连结BG，交B i C于E,连接DE.因为直三棱柱AB C 4 B 1 G，所以侧面B a
18、C1C为矩形，所以E为B C中点，又因为。是4B中点，0E为AAB Ci的中位线,所以DEACBD因为DE u 平面/CD,A G C 平面B i CD,所以4 的平面8 1。0(口)由(1)知4。_ 1_ 8。，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C x yz.则B (3,0,0),A(0,4,0),4i(0,4,4),B i(3,0,4)/D(a,b,0)(a 0,b 0),因为点0 在线段4 B 上,且 筹=:,即 前=：就AB 3 3所以a =2,b=,B D=(一1(,0),西=(3,0,4)，加=(2彳,0).平面B C。的法向量为五7=(0,0,1).设平面/C O 的法向量为五7
19、=(x,y,l),_ _(3 x 4-4=0由C8 7T 7=0,CD-n 7=得 12x +y=0，所以无=_*y=2，元 7=(_京2,1),所以cos。=i箸篙=霜3 3 111r l 2l V o l所以二面角B -C D-B 的余弦值为誓.解析：本题考查空间向量求解二面角的余弦函数值，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力.(1)连结8。1，交BC于E,连接DE.证明DE/1G.利用直线与平面平行的判定定理证明4 G 平面B Q.(口)以C为原点建立空间直角坐标系C-x yz.求出相关点的坐标，平面B C D 的法向量，平 面 C D 的法向量，利用向量的数量积
20、求解二面角的余弦函数值即可.18.答案：解：(1)由题意可知：点M到点尸(4,0)的距离与它到直线I：+4=0的距离相等，故点M的轨迹是以F 为焦点的抛物线.由=4得p =8,所以其方程为y2=i6 x.(2)法一设A%,%)，B(x2,y2)则|Z B|=|X j -x2|V l +k2-V 2|x j -x2y V _ 1 6xx_ 5 得：26%+25 =0,工与+小=26,%1%2=25,所以 1 工 1 X 2I=+外)2-4%I%2=V 262 4 x 25 =24,于是|48|=V2xr-x2=24V 2.法二设4(%i，yi)B(x2,y2)由M_ 26X+25=0,解得与=1
21、,小=25.所以4(1,一 4),8(25,20),从而 4B|=7(1-25)2+(-4-20)2=24V L解析：(1)由题意得，点M到直线x =4的距离和它到点(4,0)的距离相等，故点M的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线 =-4为准线的抛物线.(2设交点4,B 的坐标分别为4(%,y1)，B(x2,y2),由匕：y 出 得：x2-26x +25 =0,利用弦长公式或两点间的距离公式，求出线段4 B 的长.本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固.本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关
22、知识，解题时要注意合理地进行等价转化.1 9.答案：证明：(I)数列 斯 是等比数列，且公比q 不等于1,所 以 手=0an数列%满足0n=2 如，则 匕=log2an,所以匕+i _ bn=log2an+i-log2 n=/。贝 誓 =log2q.an故数列 b 是等差数列.解：(I I)由于的=2,3 3 =2 g +。4，可知3 x 2 q 2 =2 x 2 q +2 q 3.解得q =2 或q =1(舍去).即 时=2r l.设-=一=-,bnlog2an+1 n(n+l)n n+1UL I X I f Y 1.1 1 1 1 Y 1 7 1J 5 f r U Sn=i-+-+-+-=
23、1-.解析：(I)直接利用定义证明数列为等差数列.(口)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果.本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.20.答案：解：(I)/(%)=sinx-xcosx,/(%)=xsinx,=0,/(7 T)=7T,故切线方程是y-几=0；(n)证明：令g(x)=f(%)%G(0,),g(x)=xsinx%),令九()=sinx x,h!x=cosx 1 0,九在 G(0,今递减，故九(%)九(0)=。，9。)递减，9。)遍)=0，故当x 6(0,多 时,f(x)kx xcosx对x G(0,)恒成立，即k m()=I，故k w L k 的最大值是2TC n解析：(I)求出函数的导数，计算广(兀)，兀)，求出切线方程即可；(1。(均二人乃一炉，X 6(0)1),求出g(x)的单调性，从而证出结论；(HI)问题转化为k 等 对 G(0,今恒成立，令m(x)=卓，x 6(0,根据函数的单调性求出k的最大值即可.本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立，是一道中档题.