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1、3.1.2 3.1.2 空间向量数乘运算空间向量数乘运算第1页回回 顾顾aOb结论：结论：空间任意两个向量空间任意两个向量都可都可平移平移到同一个平面到同一个平面内，成为内，成为同一平面内向量同一平面内向量.所以凡是所以凡是包括包括空间任意两个向量问题，平面向量空间任意两个向量问题，平面向量中相关结论中相关结论仍适用仍适用于它们于它们.ba第2页一、空间向量数乘：一、空间向量数乘：2、空间向量数乘性质、空间向量数乘性质（1）当）当时，时，与与同向同向（2）当）当时，时，与与反向反向1 1、定义：、定义：实数实数 与空间向量与空间向量 乘积乘积 依然是一个向量，依然是一个向量，称为空间向量数乘称
2、为空间向量数乘（3）当）当时，时，第3页3、空间向量数乘运算律、空间向量数乘运算律（3）数乘结合律：）数乘结合律：（1）数乘分配律）数乘分配律1：（2）数乘分配律）数乘分配律2：第4页1 1、定义：、定义：假如表示空间向量有向线段所在直线相互平行假如表示空间向量有向线段所在直线相互平行或重合，或重合，则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量二、空间中共线向量二、空间中共线向量 （或平行向量）（或平行向量）（3 3）非零共线向量传递性：）非零共线向量传递性：（1 1）零向量与任一向量共线，）零向量与任一向量共线，第5页第6页（4 4）空间共线向量定理：）空间共线向量定理：对空间任意两个向量对
3、空间任意两个向量有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使使思索思索1 1：为何要强调：为何要强调思索思索2 2：这个定理有什么作用？：这个定理有什么作用？1 1、判定两个向量是否共线、判定两个向量是否共线2 2、判定三点是否共线、判定三点是否共线第7页OABPa若若P P为为A,BA,B中点中点,则则向量参数表示式向量参数表示式推论推论:假如假如 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零向且平行已知非零向量量 直线直线,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上充要条上充要条件是存在实数件是存在实数t,t,满足等式满足等式 其中向量其中向量 叫做直线叫做直线 方向向量方向向量
4、.若若 则则A、B、P三点共线。三点共线。第8页A A、B B、P P三点共线三点共线结论结论1:1:第9页三、共面向量三、共面向量:1.1.平行于同一平面向量平行于同一平面向量,叫做叫做共面向量共面向量.注意：注意：空间任意两个向量是共面空间任意两个向量是共面，但空间任，但空间任意三个向量意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac第10页由由平面向量基本定理平面向量基本定理知，假如知，假如 ，是平面内两个不共线向量，那么是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量对于这一平面内任意向量 ，有且，有且只有一对实数只有一对实数 ，使使 假如空间向量假如空间向量 与两
5、不共线向量与两不共线向量 ，共面，那么可共面，那么可将三个向量平移到同一平面将三个向量平移到同一平面 ，则有，则有 那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？第11页反过来，对空间任意两个不共线向量反过来，对空间任意两个不共线向量 ，假如，假如 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 ,有什么位置关系？有什么位置关系？C第12页2.2.共面向量定理：共面向量定理：假如两个向量假如两个向量 ，不共线不共线，则向量则向量 与向量与向量 ，共面充要共面充要条件是条件是存在实数对存在实数对x,y使使推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内充要条件是存在有内充要条件是
6、存在有序实数对序实数对x,yx,y使使C第13页对空间任一点对空间任一点O,O,有有填空：填空：1-x-yxyC C 式称为空间平面式称为空间平面ABCABC向量表示式，空间中任意平向量表示式，空间中任意平面由空面由空 间一点及两个不共线向量唯一确定间一点及两个不共线向量唯一确定.由此可判断空间任意四点共面由此可判断空间任意四点共面第14页共面向量定理剖析共面向量定理剖析 假如两个向量假如两个向量 a a，b b 不共线不共线,向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面存在唯一一对实数存在唯一一对实数x x，y y，使，使 c cx xa ay yb b c cx xa ay yb b向
7、量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面(性质性质)(判定判定)P P、A A、B B、C C 四点共面四点共面结论结论2:2:第15页解析：由共面向量定理知，要证实解析：由共面向量定理知，要证实P P、A A、B B、C C四点共面，只要四点共面，只要证实存在有序实数对（证实存在有序实数对（x,yx,y）使得）使得例例1.1.已知已知A A、B B、C C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABCABC外任一外任一点点O O，确定在以下各条件下，点，确定在以下各条件下，点P P是否与是否与A A、B B、C C一定一定共面？共面？第16页第17页练习练习3.以下说法正确是：以下说法
8、正确是：(A)平面内任意两个向量都共线平面内任意两个向量都共线(B)空间任意三个向量都不共面空间任意三个向量都不共面(C)空间任意两个向量都共面空间任意两个向量都共面(D)空间任意三个向量都共面空间任意三个向量都共面第18页例例2(书本例书本例)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.第19页例例2(书本例书本例)已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.证实：证实：四
9、边形四边形ABCD为为（）（）代入）代入所以所以 E、F、G、H共面。共面。第20页例例2(书本例书本例)已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证实：证实：由面面平行判定定理推论得：由面面平行判定定理推论得：由由知知第21页AMCGDB例例3:3:如图如图,已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD中，中，向量向量若若M M为为BCBC中点，中点，G G为为BCDBCD重心，试用重心，试用 表示以下向表示以下向量：量：第22页例例4 4平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1
10、N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.分析分析:要用要用a,b,c表示表示MN,只要结合图形只要结合图形,充充分利用空间向量加法分利用空间向量加法和数乘运算律即可和数乘运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN第23页解解:连连AN,则则MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA=AC=AC=(a+b)1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND=（2 2 b+c)13=（a+b+c)13MN=MA+ANMN=MA+AN例例4 4平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.ABCDA1B1D1C1MN第24页 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线相互平行或重合平行于同一平面向量,叫做共面向量.定理定理推论推论利用判断三点共线，或两判断三点共线，或两向量平行向量平行判断四点共面，或三向判断四点共面，或三向量共面量共面小结小结共面共面第25页